V trigonometrii sa mnohé vzorce ľahšie odvodzujú, ako zapamätávajú. Kosínus dvojitého uhla je úžasný vzorec! Umožňuje vám získať vzorce zmenšenia a vzorce polovičného uhla.
Potrebujeme teda kosínus dvojitého uhla a trigonometrickú jednotku:
Sú dokonca podobné: vo vzorci kosínusu dvojitého uhla - rozdiel medzi štvorcami kosínusu a sínusu a v trigonometrickej jednotke - ich súčet. Ak vyjadríme kosínus z trigonometrickej jednotky:
a dosadíme ho do kosínusu dvojitého uhla, dostaneme:
Toto je ďalší vzorec pre kosínus dvojitého uhla:
Tento vzorec je kľúčom k získaniu redukčného vzorca:
Takže vzorec na zníženie stupňa sínusu je:
Ak je v ňom uhol alfa nahradený polovičným uhlom alfa na polovicu a dvojitý uhol dva alfa je nahradený uhlom alfa, dostaneme vzorec pre polovičný uhol pre sínus:
Teraz z trigonometrickej jednotky vyjadríme sínus:
Dosaďte tento výraz do vzorca pre kosínus dvojitého uhla:
Máme ďalší vzorec pre kosínus dvojitého uhla:
Tento vzorec je kľúčom k nájdeniu vzorca kosínusovej redukcie a polovičného uhla pre kosínus.
Vzorec na zníženie stupňa kosínusu je teda:
Ak v ňom nahradíme α za α/2 a 2α za α, dostaneme vzorec pre polovičný argument pre kosínus:
Keďže dotyčnica je pomer sínusu ku kosínusu, vzorec pre dotyčnicu je:
Kotangens je pomer kosínusu k sínusu. Takže vzorec pre kotangens je:
Samozrejme, v procese zjednodušovania goniometrických výrazov nemá zmysel zakaždým odvodzovať vzorce polovičného uhla alebo znižovať stupeň. Je oveľa jednoduchšie položiť pred seba hárok vzorcov. A zjednodušenie bude napredovať rýchlejšie a vizuálna pamäť sa zapne na zapamätanie.
Ale stále stojí za to odvodiť tieto vzorce niekoľkokrát. Potom si budete úplne istí, že počas skúšky, keď neexistuje spôsob, ako použiť cheat sheet, ich v prípade potreby ľahko získate.
Sínusové hodnoty sú v rozsahu [-1; 1], t.j. -1 ≤ sin α ≤ 1. Preto, ak |a| > 1, potom rovnica sin x = a nemá korene. Napríklad rovnica sin x = 2 nemá korene.
Poďme k niektorým úlohám.
Vyriešte rovnicu sin x = 1/2.
Riešenie.
Všimnite si, že sin x je ordináta bodu jednotkovej kružnice, ktorá sa získa ako výsledok rotácie bodu Р (1; 0) o uhol x okolo počiatku.
V dvoch bodoch kružnice M 1 a M 2 je ordináta rovná ½.
Pretože 1/2 \u003d sin π / 6, potom sa bod M 1 získa z bodu P (1; 0) otočením cez uhol x 1 \u003d π / 6, ako aj cez uhly x \u003d π / 6 + 2πk, kde k \u003d +/-1, +/-2, …
Bod M 2 sa získa z bodu P (1; 0) ako výsledok otáčania cez uhol x 2 = 5π/6, ako aj cez uhly x = 5π/6 + 2πk, kde k = +/- 1, +/-2, ..., t.j. v uhloch x = π – π/6 + 2πk, kde k = +/-1, +/-2, ….
Takže všetky korene rovnice sin x = 1/2 možno nájsť pomocou vzorcov x = π/6 + 2πk, x = π - π/6 + 2πk, kde k € Z.
Tieto vzorce je možné skombinovať do jedného: x \u003d (-1) n π / 6 + πn, kde n € Z (1).
Ak totiž n je párne číslo, t.j. n = 2k, potom zo vzorca (1) dostaneme х = π/6 + 2πk, a ak je n nepárne číslo, t.j. n = 2k + 1, potom zo vzorca (1) získame х = π – π/6 + 2πk.
Odpoveď. x \u003d (-1) n π / 6 + πn, kde n € Z.
Vyriešte rovnicu sin x = -1/2.
Riešenie.
Na osi -1/2 sú dva body jednotkovej kružnice M 1 a M 2, kde x 1 = -π/6, x 2 = -5π/6. Preto všetky korene rovnice sin x = -1/2 možno nájsť pomocou vzorcov x = -π/6 + 2πk, x = -5π/6 + 2πk, k ∈ Z.
Tieto vzorce môžeme spojiť do jedného: x \u003d (-1) n (-π / 6) + πn, n € Z (2).
Ak totiž n = 2k, potom podľa vzorca (2) dostaneme x = -π/6 + 2πk a ak n = 2k – 1, potom podľa vzorca (2) nájdeme x = -5π/6 + 2πk.
Odpoveď. x \u003d (-1) n (-π / 6) + πn, n € Z.
Každá z rovníc sin x = 1/2 a sin x = -1/2 má teda nekonečný počet koreňov.
Na segmente -π/2 ≤ x ≤ π/2 má každá z týchto rovníc iba jeden koreň:
x 1 \u003d π / 6 - koreň rovnice sin x \u003d 1/2 a x 1 \u003d -π / 6 - koreň rovnice sin x \u003d -1/2.
Číslo π/6 sa nazýva arcsínus čísla 1/2 a píše sa: arcsin 1/2 = π/6; číslo -π/6 sa nazýva arcsínus čísla -1/2 a píšu: arcsin (-1/2) = -π/6.
Vo všeobecnosti má rovnica sin x \u003d a, kde -1 ≤ a ≤ 1, na segmente -π / 2 ≤ x ≤ π / 2 iba jeden koreň. Ak a ≥ 0, potom koreň je uzavretý v intervale; Ak< 0, то в промежутке [-π/2; 0). Этот корень называют арксинусом числа а и обозначают arcsin а.
Arkussínus čísla a € [–1; 1] takéto číslo sa nazýva € [–π/2; π/2], ktorého sínus je a.
arcsin a = α, ak sin α = a a -π/2 ≤ x ≤ π/2 (3).
Napríklad arcsin √2/2 = π/4, keďže sin π/4 = √2/2 a – π/2 ≤ π/4 ≤ π/2;
arcsin (-√3/2) = -π/3, keďže sin (-π/3) = -√3/2 a – π/2 ≤ 
– π/3 ≤ π/2.
Podobne ako pri riešení úloh 1 a 2 je možné ukázať, že korene rovnice sin x = a, kde |a| ≤ 1 sú vyjadrené vzorcom
x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n € Z (4).
Môžeme tiež dokázať, že pre akékoľvek € [-1; 1] platí vzorec arcsin (-a) = -arcsin a.
Zo vzorca (4) vyplýva, že korene rovnice
sin x \u003d a pre \u003d 0, a \u003d 1, a \u003d -1 možno nájsť pomocou jednoduchších vzorcov:
hriech x \u003d 0 x \u003d πn, n EUR Z (5)
hriech x \u003d 1 x \u003d π / 2 + 2πn, n EUR Z (6)
sin x \u003d -1 x \u003d -π / 2 + 2πn, n EUR Z (7)
stránky, s úplným alebo čiastočným kopírovaním materiálu, je potrebný odkaz na zdroj.
|BD| - dĺžka oblúka kružnice so stredom v bode A.
α je uhol vyjadrený v radiánoch.
Tangenta ( tgα) je goniometrická funkcia závislá od uhla α medzi preponou a ramenom pravouhlého trojuholníka, ktorý sa rovná pomeru dĺžky protiľahlého ramena |BC| na dĺžku susednej nohy |AB| .
Kotangens ( ctgα) je goniometrická funkcia závislá od uhla α medzi preponou a ramenom pravouhlého trojuholníka, ktorý sa rovná pomeru dĺžky susedného ramena |AB| na dĺžku opačnej nohy |BC| .
Tangenta
Kde n- celý.
V západnej literatúre sa dotyčnica označuje takto:
.
;
;
.
Graf funkcie dotyčnice, y = tg x
Kotangens
Kde n- celý.
V západnej literatúre sa kotangens označuje takto:
.
Prijala sa aj nasledujúca notácia:
;
;
.
Graf funkcie kotangens, y = ctg x
Vlastnosti dotyčnice a kotangens
Periodicita
Funkcie y= tg x a y= ctg x sú periodické s periódou π.
Parita
Funkcie tangens a kotangens sú nepárne.
Domény definície a hodnôt, vzostupné, zostupné
Funkcie tangens a kotangens sú spojité na svojom definičnom obore (pozri dôkaz spojitosti). Hlavné vlastnosti tangenty a kotangens sú uvedené v tabuľke ( n- celé číslo).
| y= tg x | y= ctg x | |
| Rozsah a kontinuita | ||
| Rozsah hodnôt | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| Vzostupne | - | |
| Zostupne | - | |
| Extrémy | - | - |
| Nuly, y= 0 | ||
| Priesečníky s osou y, x = 0 | y= 0 | - |
Vzorce
Výrazy v zmysle sínus a kosínus
;
;
;
;
;
Vzorce pre tangens a kotangens súčtu a rozdielu
Zvyšok vzorcov sa dá ľahko získať napr
Súčin dotyčníc
Vzorec pre súčet a rozdiel dotyčníc
Táto tabuľka zobrazuje hodnoty dotyčníc a kotangens pre niektoré hodnoty argumentu. 
Výrazy z hľadiska komplexných čísel
Výrazy z hľadiska hyperbolických funkcií
;
;
Deriváty
; .
.
Derivácia n-tého rádu vzhľadom na premennú x funkcie:
.
Odvodenie vzorcov pre dotyčnicu > > > ; pre kotangens >> >
Integrály
Rozšírenia do sérií
Ak chcete získať rozšírenie tangens v mocninách x, musíte vziať niekoľko členov expanzie v mocninnom rade pre funkcie hriech x a cos x a rozdeliť tieto polynómy na seba , . Výsledkom sú nasledujúce vzorce.
o .
v .
kde B n- Bernoulliho čísla. Určujú sa buď zo vzťahu opakovania:
;
;
kde .
Alebo podľa Laplaceovho vzorca: 
Inverzné funkcie
Inverzné funkcie k dotyčnici a kotangensu sú arkustangens a arkustangens.
Arctangens, arctg
, kde n- celý.
Arc tangens, arcctg
, kde n- celý.
Referencie:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Príručka matematiky pre inžinierov a študentov vysokých škôl, Lan, 2009.
G. Korn, Príručka matematiky pre výskumníkov a inžinierov, 2012.
