A személyazonosság bizonyításának módjai. Identitás

Tanulási cél:

ismételje meg az egyenlet definícióit, azonosságokat;

megtanulják megkülönböztetni az egyenlet és az azonosság fogalmát;

azonosítani kell a személyazonosság bizonyításának módjait;

ismételje meg az azonosságok bizonyításakor a monom standard formába hozásának, polinomok összeadásának, monomiális polinommal való szorzásának módszereit.

Fejlesztési cél:

a tanulók kompetens matematikai beszédének fejlesztése (különleges matematikai kifejezések használatakor gazdagítsa és bonyolítsa a szókincset),

gondolkodás fejlesztése: az összehasonlítás, elemzés, analógiák levonása, előrejelzés, következtetések levonásának képessége (az azonosságok bizonyításának módjainak kiválasztásakor);

a tanulók nevelési és kognitív kompetenciájának fejlesztése.

oktatási cél:

fejleszteni kell a csoportban való munkavégzés képességét, összehangolni tevékenységeiket az oktatási folyamat többi résztvevőjével;

toleranciát ápolni.

Az óra típusa: az ismeretek komplex alkalmazása.

Az óra lépései: felkészítés, ismeretek alkalmazása, eredmény.

A tudás határa - tudatlanság:

tudja alkalmazni a monomiális redukciós műveleteket szabványos alakra;

polinomok összeadása, polinom szorzása polinommal.

Tegyen különbséget az egyenlet és az azonosság fogalma között;

elvégzi a személyazonosság igazolását;

racionálisan megválasztani és alkalmazni az azonosságok bizonyításának módszereit.

Elülső munka

Szóbeli

vizuális

A tudás alkalmazása (új ismeretek és cselekvési módszerek asszimilációjának biztosítása az alkalmazás szintjén egy megváltozott tanulási helyzetben)

Az adott bal és jobb oldali részének transzformációi alapján

matematikai egyenlőség, azonosítani kell az azonosságok bizonyításának módjait;

Azonosítson egy racionális utat a javasoltak közül, és dolgozzon ki egy racionális megoldást az azonosságok adott feltétele szerint

csoportmunka

Önálló munkavégzés

Keresés

Gyakorlati

Eredmény (a cél elérésének sikerességének elemzése és értékelése)

A leckében végzett munka összegzése egyéni munka elvégzésével, ahol javasoljuk, hogy a bemutatott egyenlőségek közül válasszunk egy azonosságot és bizonyítsuk azt a javasolt módok bármelyikével (lehetőleg racionálisan);

Ezután a tanulók a meghatározott (az óra elejétől) szempontok szerint önértékelik az órán végzett munkájukat.

Elülső

Szóbeli

Az óra vázlata (röviden):

1. szakasz (előkészítő)

Tekintsük a matematikai jelölést: (elülső munka)

A 7. osztályos tanulók általában úgy vélik, hogy ez egy egyenlet, és ennek megoldása során egy lineáris egyenletet kapnak, amelynek alakja: 0 x \u003d 0, igaz bármely x-re.

Ezután a tanár egy másik osztály munkáját mutatja be, és a gyerekek ellentmondásba kerülnek - egy másik osztály munkájában a tanulók bizonyítják, hogy ez ugyanaz.

Kimenet: figyelni kell arra, hogy ugyanaz az egyenlőség tekinthető azonosságnak és egyenletnek. Ez az adott munka feltételétől függ: ha meg kell állapítani, hogy a változó melyik értékénél következik be az egyenlőség, akkor ez- az egyenlet. És ha be akarja bizonyítani, hogy a változók bármely értékére egyenlőség áll fenn -identitás.

2. szakasz (alkalmazás)

A személyazonosság bizonyításának módjai: (csoportmunka)

Írott kifejezés:

Gyakorlati feladat csoportos személyazonosság bizonyítási módok azonosítására:

A csoportos munkavégzés szabályait be kell tartani (ezek a tanár által a tanulók munkahelyén kihelyezett táblákra vannak nyomtatva)

Whatman papíron közös munkában hajtson végre néhány transzformációt a feladatban megjelölt technológia szerint a csoport számára, és bizonyítsa be, hogy az adott kifejezés nem függ a változók értékétől, ami azt jelenti, hogy azonosságról van szó;

Készítsen magyarázatot az elvégzett munkáról, és kösse le a következtetést: mi ez a személyazonosság-bizonyítási módszer;

1. feladat csoport:

Mozgassa az egyenlet jobb oldalát a bal oldalra. Bizonyítsuk be, hogy ez a kifejezés nem függ a változók értékétől.

2. feladat csoport:

Alakítsa át az egyenlet bal oldalát! Bizonyítsuk be, hogy egyenlő a megfelelővel, ami azt jelenti, hogy ez a kifejezés nem függ a változók értékétől.

3. feladat csoport:

Alakítsa át az egyenlet bal és jobb oldalát egyszerre! Bizonyítsuk be, hogy ez az egyenlőség nem függ a változók értékétől.

Ha figyelembe vesszük a srácok által a személyazonosság bizonyítása érdekében végzett munkát, célszerű az alkalmazott módszerek eredményeit diagramok formájában ábrázolni külön papírlapokon, számjelzővel, hogy a jövőben ezek a diagramok nem csak ezen, hanem más algebraórákon is használják.

3. szakasz (eredmény)

a) A racionális megoldás kiválasztásához szükséges azonosságok: (elülső munka)

5)

2. példa Bizonyítsa be az azonosságot

Ezt az azonosságot a jobb oldali kifejezés átalakításával fogjuk bizonyítani.

1. módszer.

Ezért

2. módszer.

Először is vegye figyelembe, hogy a ctg α =/= 0; különben a tg kifejezésnek nem lenne értelme α = 1/ctg α . De ha ctg α =/= 0, akkor a gyök kifejezés számlálója és nevezője megszorozható ctg-vel α tört értékének megváltoztatása nélkül. Következésképpen,

A tg α ctg α = 1 és 1+ ctg 2 α = cosec 2 α , kapunk

Ezért Q.E.D.

Megjegyzés. Figyelni kell arra, hogy a bizonyított személyazonosság bal oldala (bűn α ) minden értékhez definiálva van α , a megfelelő pedig – csak akkor, amikor α =/= π / 2 n.

Ezért csak akkor, ha minden elfogadhatóértékeket α Általában ezek a kifejezések nem egyenértékűek egymással.

3. példa Bizonyítsa be az azonosságot

bűn (3/2 π + α ) + cos ( π - α ) = cos(2 π + α )-3sin( π / 2 - α )

Ennek az azonosságnak a bal és jobb oldali részét a redukciós képletekkel alakítjuk át:

bűn (3/2 π + α ) + cos ( π - α ) = - cos α - cos α = - 2 cos α ;

cos (2 π + α )-3sin( π / 2 - α ) = cos α - 3 cos α = - 2 cos α .

Tehát az azonosság mindkét részének kifejezései ugyanarra a formára redukálódnak. Így az azonosság bizonyított.

4. példa Bizonyítsa be az azonosságot

bűn 4 α + cos 4 α - 1 = - 2 sin 2 α cos 2 α .

Mutassuk meg, hogy a bal és jobb oldali rész közötti különbség. ennek az azonosságnak nulla.

(bűn 4 α + cos 4 α - 1) - (- 2 bűn 2 α cos 2 α ) = (bűn 4 α +2sin2 α cos 2 α + cos 4 α ) - 1 =

= (bűn 2 α + cos2 α ) 2 - 1 = 1 - 1 = 0.

Így az azonosság bizonyított.

5. példa Bizonyítsa be az azonosságot

Ez az azonosság arányként fogható fel. De az a / b = c / d arány érvényességének bizonyításához elegendő megmutatni, hogy szélső tagjainak szorzata hirdetés egyenlő a középső tagjainak szorzatával időszámításunk előtt. Így ebben az esetben is megtesszük. Mutassuk meg, hogy (1 - bűn α ) (1+ bűn α ) = cos α kötözősaláta α .

Valóban, (1 - bűn α ) (1 + sin α ) = 1-sin 2 α = cos2 α .

Személyazonosságok igazolása. A matematikában sok fogalom létezik. Az egyik az identitás.

• Az azonosság egy egyenlőség, amely a benne szereplő változók összes értékére érvényes.

Néhány személyazonosságot már ismerünk. Például minden rövidített szorzási képlet azonosság.

Bizonyítsa be az azonosságot- ez azt jelenti, hogy a változók bármely megengedett értékénél annak bal oldala egyenlő a jobb oldallal.

Az algebrában az azonosságok bizonyításának többféle módja van.

A személyazonosság bizonyításának módjai

• az identitás bal oldala. Ha végül megkapjuk a jobb oldalt, akkor az azonosság bizonyítottnak minősül.
• Végezzen egyenértékű átalakításokat az identitás jobb oldala. Ha végül a bal oldalt kapjuk, akkor az azonosság bizonyítottnak minősül.
• Végezzen egyenértékű átalakításokat az identitás bal és jobb oldala. Ha ennek eredményeként ugyanazt az eredményt kapjuk, akkor az azonosság bizonyítottnak minősül.
• Vonja le az identitás jobb oldalát a bal oldalról.
• Vonja ki az identitás bal oldalából a jobb oldalt. A különbségen ekvivalens transzformációkat hajtunk végre. És ha a végén nullát kapunk, akkor az azonosság bizonyítottnak minősül.

Emlékeztetni kell arra is, hogy az azonosság csak a változók megengedett értékeire érvényes.

Amint látja, sok módja van. Az, hogy ebben az esetben melyik módot választja, az igazolandó személyazonosságtól függ. A különféle azonosságok bizonyítása során jön a tapasztalat a bizonyítási módszer kiválasztásában.

Nézzünk néhány egyszerű példát

1. példa

Igazolja az x*(a+b) + a*(b-x) = b*(a+x) azonosságot.

Megoldás.

Mivel a jobb oldalon van egy kis kifejezés, próbáljuk meg átalakítani az egyenlőség bal oldalát.

• x*(a+b) + a*(b-x) = x*a+x*b+a*b – a*x.

Hasonló kifejezéseket mutatunk be, és a közös tényezőt kivesszük a zárójelből.

• x*a+x*b+a*b – a*x = x*b+a*b = b*(a+x).

Azt kaptuk, hogy a bal oldal az átalakítások után ugyanaz lett, mint a jobb oldal. Ezért ez az egyenlőség identitás.

2. példa

Igazolja az a^2 + 7*a + 10 = (a+5)*(a+2) azonosságot.

Megoldás.

Ebben a példában a következőket teheti. Nyissuk meg az egyenlőség jobb oldalán lévő zárójeleket.

• (a+5)*(a+2) = (a^2) +5*a +2*a +10= a^2+7*a+10.

Azt látjuk, hogy az átalakítások után az egyenlőség jobb oldala azonos lett az egyenlőség bal oldalával. Ezért ez az egyenlőség identitás.

A tanulás során a tanulók az alábbi módokon fejlesszék az identitásbizonyítás készségeit.

Ha be akarja bizonyítani, hogy A=B, akkor megteheti

1. bizonyítsd be, hogy A - B = O,

2. bizonyítsd be, hogy A/B = 1,

3. alakítsa át A-t B formává,

4. konvertálja B-t A formává,

5. alakítsa át A-t és B-t ugyanarra a C formára.

Az aritmetikai műveletek tulajdonságai támaszként szolgálnak, amelyre az azonosságok bizonyítása épül. Néha geometriai fogalmak és módszerek is szerepet kapnak a bizonyításban. A geometriai bizonyítások nemcsak tanulságosak és szemléletesek, hanem segítik az interdiszciplináris kapcsolatok erősítését is.

A személyazonosság-igazolások három típusra oszthatók, attól függően, hogy mennyire felelnek meg a szigor követelményeinek:

a) Nem teljesen szigorú érvelés, amely megköveteli a matematikai indukció módszerének használatát, hogy teljes szigort kapjanak. Ezeket a bizonyításokat arra használjuk, hogy szabályt származtassunk polinomokkal, fokok természetes kitevőjű tulajdonságaival. Például,

a k a r = (a a······a) (a a·······a) = a a·······a = a k+p

k-szer p-szer k+r-szer

b) Teljesen szigorú érvelés, amely az aritmetikai műveletek alapvető tulajdonságain alapul, és nem használja a numerikus rendszer egyéb tulajdonságait. Az ilyen bizonyítások fő alkalmazási területe a csökkentett szorzás azonossága. A rövidített szorzás képleteivel kifejezett állítások közül sok vizuális-geometriai szemléltetést tesz lehetővé.

Példa Az identitásért A tanár javasolhatja a következő illusztrációt:

c) Teljesen szigorú érvelés a Ψ(x) = a alakú egyenletek megoldhatósági feltételeivel, ahol Ψ a vizsgált elemi függvény. Az ilyen bizonyítások jellemzőek a racionális kitevővel és logaritmikus függvénnyel rendelkező fok tulajdonságainak levezetésére. Például egy számtani gyök tulajdonságának bizonyításakor

(1)

az aritmetikai négyzetgyök definíciójának újrafogalmazására fogunk hagyatkozni: nem negatív x és y számok esetén az y egyenlőség \u003d
És

y 2 = x ekvivalens, tehát (1) ekvivalens (
) 2 = (
) 2 (2). Innen következik, és in = (
) 2 (
) 2 = a c.

Az itt alkalmazott bizonyítási módszert meglehetősen ritkán alkalmazzák, azonban hangsúlyozni kell, hogy a bizonyítás fő gondolata az, hogy összehasonlítsunk két műveletet (vagy függvényt) - direkt és inverzt, amelyeket használni fogunk. már középiskolában.

Algoritmusok és technikák kialakításának technológiai láncolata

kifejezések azonos transzformációi a főiskolában

	Algoritmus és számítási módszerek
Egész kifejezések Az egész kifejezések típusai (monomiális, polinom), mértékük, szabványos alak, speciális esetek, rövidített szorzóképletek. Műveletek egész kifejezésekkel: polinom faktorokra bontása; a teljes négyzet kiválasztása a hármasban.	1. Algoritmusok egész kifejezésekkel végzett alapvető műveletek végrehajtására. 2. Polinom faktorálási technikák. 3. Speciális technika a teljes négyzet kiemelésére trinomikusban. 4. Általánosított módszer az egész kifejezés egyszerűsítésére. 5. A személyazonosság igazolásának technikái.
Racionális kifejezések A törtkifejezés fő tulajdonsága és következményei. Törtkifejezések csökkentése. Cselekedetek racionálisan kifejezéseket.	6. Racionális kifejezések transzformációinak írási technikái. 7. A racionális számokra vonatkozó műveletekkel való analógia használatának technikái általában és egyedi esetekben. 8. A 4. és 5. technikák általánosítása.
Irracionális kifejezéseket A gyökér fő tulajdonsága, a gyökerek legegyszerűbb transzformációi. Gyökeres cselekvések, kifejezés törtkitevőjű hatványra emelése.	9. Számtani gyökök alapvető transzformációinak speciális technikái. 10. A racionális kitevővel rendelkező hatványokkal rendelkező kifejezések átalakításának technikái. 11. Az egyenlőtlenségek bizonyításának elfogadása. 12. A 2., 4., 5. és 11. technikák általánosítása.

Feladat az előadáshoz

Az iskolai tankönyvek elemzése után állítson össze egy táblázatot az azonos egyenlőségekről, jelezve a halmazt, amelyen elvégzi.

Példa
, М 1 – azok a х, amelyeknél f(x) értelmes.

3. ELŐADÁS Személyazonosságok igazolása

Cél: 1. Ismételje meg az azonosság definícióit és az azonos kifejezéseket.

2. Mutassa be a kifejezések azonos transzformációjának fogalmát!

3. Polinom szorzása polinommal.

4. Polinom faktorokra bontása csoportosítási módszerrel.

Május minden nap és minden órában

Kapunk valami újat

Legyen jó az elménk

És a szív okos lesz!

A matematikában sok fogalom létezik. Az egyik az identitás.

Az azonosság egy egyenlőség, amely a benne szereplő változók összes értékére érvényes. Néhány személyazonosságot már ismerünk.

Például az összes rövidített szorzóképletek identitások.

Rövidített szorzóképletek

1. (a ± b)2 = a 2 ± 2 ab + b 2,

2. (a ± b)3 = a 3 ± 3 a 2b + 3ab 2 ± b 3,

3. a 2 - b 2 = (a - b)(a + b),

4. a 3 ± b 3 = (a ± b)(a 2 ab + b 2).

Bizonyítsa be az azonosságot- ez azt jelenti, hogy a változók bármely megengedett értékénél annak bal oldala egyenlő a jobb oldallal.

Az algebrában az azonosságok bizonyításának többféle módja van.

A személyazonosság bizonyításának módjai

Végezzen egyenértékű átalakításokat az identitás bal oldala. Ha végül megkapjuk a jobb oldalt, akkor az azonosság bizonyítottnak minősül. Végezzen egyenértékű átalakításokat az identitás jobb oldala. Ha végül a bal oldalt kapjuk, akkor az azonosság bizonyítottnak minősül. Végezzen egyenértékű átalakításokat az identitás bal és jobb oldala. Ha ennek eredményeként ugyanazt az eredményt kapjuk, akkor az azonosság bizonyítottnak minősül. Vonja le az identitás jobb oldalát a bal oldalról. A különbségen ekvivalens transzformációkat hajtunk végre. És ha a végén nullát kapunk, akkor az azonosság bizonyítottnak minősül. Vonja ki az identitás bal oldalából a jobb oldalt. A különbségen ekvivalens transzformációkat hajtunk végre. És ha a végén nullát kapunk, akkor az azonosság bizonyítottnak minősül.

Emlékeztetni kell arra is, hogy az azonosság csak a változók megengedett értékeire érvényes.

Amint látja, sok módja van. Az, hogy ebben az esetben melyik módot választja, az igazolandó személyazonosságtól függ. A különféle azonosságok bizonyítása során jön a tapasztalat a bizonyítási módszer kiválasztásában.

Az azonosság olyan egyenlet, amely azonosan teljesül, azaz érvényes az alkotóváltozóinak bármely megengedett értékére. Az azonosság bizonyítása azt jelenti, hogy megállapítjuk, hogy a változók minden megengedett értéke esetén a bal és jobb oldali része egyenlő.
A személyazonosság igazolásának módjai:
1. Alakítsa át a bal oldalt, és ennek eredményeként kapja meg a jobb oldalt.
2. Hajtsa végre a transzformációkat a jobb oldalon, és végül kapja meg a bal oldalt.
3. Külön-külön a jobb és bal részt transzformáljuk, és ugyanazt a kifejezést kapjuk az első és a második esetben.
4. Állítsa össze a bal és jobb oldali rész különbségét, és ennek transzformációi eredményeként kapjon nullát!
Nézzünk néhány egyszerű példát

1. példa Bizonyítsa be az azonosságot x (a + b) + a (b-x) = b (a + x).

Megoldás.

Mivel a jobb oldalon van egy kis kifejezés, próbáljuk meg átalakítani az egyenlőség bal oldalát.

x (a + b) + a (b-x) = x a + x b + a b - a x.

Hasonló kifejezéseket mutatunk be, és a közös tényezőt kivesszük a zárójelből.

x a + x b + a b – a x = x b + a b = b (a + x).

Azt kaptuk, hogy a bal oldal az átalakítások után ugyanaz lett, mint a jobb oldal. Ezért ez az egyenlőség identitás.

2. példa Igazolja a személyazonosságot: a² + 7a + 10 = (a+5)(a+2).

Megoldás:

Ebben a példában a következőket teheti. Nyissuk meg az egyenlőség jobb oldalán lévő zárójeleket.

(a+5) (a+2) = (a²) + 5 a +2 a +10 = a² + 7 a + 10.

Azt látjuk, hogy az átalakítások után az egyenlőség jobb oldala azonos lett az egyenlőség bal oldalával. Ezért ez az egyenlőség identitás.

"Az egyik kifejezés lecserélését egy vele azonosan megegyező másikkal a kifejezés azonos transzformációjának nevezzük."

Tudja meg, melyik egyenlőség identitás:

1. - (a - c) \u003d - a - c;

2. 2 (x + 4) = 2x - 4;

3. (x - 5) (-3) \u003d - 3x + 15.

4. pxy (- p2 x2 y) = - p3 x3 y3.

"Annak bizonyítására, hogy bizonyos egyenlőség identitás, vagy ahogy mondani szokás, azonosság bizonyítására, a kifejezések azonos transzformációit használjuk."

Az egyenlőség a változók bármely értékére igaz, ún identitás. Annak bizonyítására, hogy bizonyos egyenlőség identitás, vagy ahogy másként mondják, annak igazolni a személyazonosságot, használja a kifejezések azonos transzformációit.
Bizonyítsuk be az azonosságot:
xy - 3y - 5x + 16 = (x - 3) (y - 5) + 1
xy - 3y - 5x + 16 = (xy - 3y) + (- 5x + 15) +1 = y(x - 3) - 5 (x -3) +1 = (y - 5) (x - 3) + 1 Ennek eredményeként identitás-átalakítás a polinom bal oldalát, megkaptuk a jobb oldalát, és ezzel bebizonyítottuk, hogy ez az egyenlőség identitás.
Mert személyazonossági igazolások alakítsa át a bal oldalát jobb oldalvá, vagy a jobb oldalát bal oldalává, vagy mutassa meg, hogy az eredeti egyenlőség bal és jobb oldala megegyezik ugyanazzal a kifejezéssel.

Polinom szorzása polinommal

Szorozzuk meg a polinomot a+b polinomhoz c + d. Összeállítjuk ezeknek a polinomoknak a szorzatát:
(a+b)(c+d).
Jelölje a binomiálist a+b levél xés a kapott szorzatot alakítsuk át a monom polinommal való szorzásának szabálya szerint:
(a+b)(c+d) = x(c+d) = xc + xd.
Kifejezésben xc + xd. helyett helyettesíteni x polinom a+bés ismét használja a szabályt a monom és a polinom szorzására:
xc + xd = (a+b)c + (a+b)d = ac + bc + ad + bd.
Így: (a+b)(c+d) = ac + bc + ad + bd.
Polinomok szorzata a+bÉs c + d polinom formájában mutattuk be ac+bc+ad+bd. Ez a polinom az összes monom összege, amelyet a polinom egyes tagjainak szorzásával kapunk a+b a polinom minden tagjára c + d.
Kimenet: bármely két polinom szorzata polinomként ábrázolható.
szabály: egy polinom polinommal való szorzásához meg kell szorozni az egyik polinom minden tagját a másik polinom minden tagjával, és össze kell adni a kapott szorzatokat.
Vegye figyelembe, hogy egy polinomot tartalmazó polinom szorzásakor m kifejezéseket tartalmazó polinomon n tagok a termékben, a hasonló tagok csökkentése előtt ki kell derülnie mn tagjai. Ez vezérlésre használható.

Egy polinom faktorokra bontása csoportosítási módszerrel:

Korábban megismerkedtünk a polinom faktorokra bontásával úgy, hogy a közös tényezőt zárójelekből kivesszük. Néha lehetséges egy polinom faktorizálása más módszerrel - tagjainak csoportosítása.
A polinom faktorálása
ab - 2b + 3a - 6
ab - 2b + 3a - 6 = (ab - 2b) + (3a - 6) = b(a - 2) + 3(a - 2) Az eredményül kapott kifejezés minden tagjának van egy közös tényezője (a - 2). Vegyük ki ezt a gyakori tényezőt a zárójelekből:
b(a - 2) + 3(a - 2) = (b + 3)(a - 2) Ennek eredményeként az eredeti polinomot faktoráltuk:
ab - 2b + 3a - 6 = (b + 3)(a - 2) A polinom faktorizálására használt módszer az ún. csoportosítás módja.
Polinomiális bomlás ab - 2b + 3a - 6 szorozható a kifejezések eltérő csoportosításával:
ab - 2b + 3a - 6 = (ab + 3a) + (- 2b - 6) = a(b + 3) -2 (b + 3) = (a - 2) (b + 3)

Ismétlés:

1. Az azonosságok bizonyításának módjai.

2. Mit nevezünk egy kifejezés azonos transzformációjának.

3. Polinom szorzása polinommal.

4. Polinom faktorizálása csoportosítási módszerrel