Bodový súčin vektorov

Ďalej sa zaoberáme vektormi. Na prvej hodine Vektory pre figuríny skúmali sme pojem vektora, akcie s vektormi, súradnice vektora a najjednoduchšie úlohy s vektormi. Ak ste na túto stránku prišli prvýkrát z vyhľadávacieho nástroja, vrelo odporúčam prečítať si vyššie uvedený úvodný článok, pretože na zvládnutie látky je potrebné orientovať sa v pojmoch a notáciách, ktoré používam, mať základné vedomosti o vektoroch a vedieť vyriešiť elementárne problémy. Táto lekcia je logickým pokračovaním témy a podrobne v nej rozoberiem typické úlohy, pri ktorých sa používa bodový súčin vektorov. Toto je veľmi dôležitá činnosť... Snažte sa nevynechať príklady, sú sprevádzané užitočným bonusom - cvičenie vám pomôže konsolidovať materiál, ktorý ste prebrali, a „dostane sa vám do rúk“ riešenie bežných problémov analytickej geometrie.

Sčítanie vektorov, násobenie vektora číslom…. Bolo by naivné si myslieť, že matematici neprišli s ničím iným. Okrem už uvažovaných akcií existuje aj niekoľko ďalších operácií s vektormi, menovite: bodový produkt vektorov, vektorový produkt vektorov a zmiešaný produkt vektorov... Skalárny súčin vektorov nám je známy už zo školy, ďalšie dva súčasti tradične súvisia s chodom vyššej matematiky. Témy sú jednoduché, algoritmus riešenia mnohých problémov je šablónový a jasný. Jediná vec. Existuje veľa informácií, takže je nežiaduce pokúšať sa zvládnuť, vyriešiť VŠETKO RÝCHLO. Platí to najmä pre čajníky, verte mi, autor sa vôbec nechce cítiť z matematiky ako Chikatilo. No, a samozrejme, nie ani z matematiky \u003d) Pripravenejší študenti môžu materiály selektívne používať, v určitom zmysle „získať“ chýbajúce vedomosti, pre vás budem neškodný gróf Dracula \u003d)

Na záver otvorme dvere a s nadšením sledujme, čo sa stane, keď sa stretnú dva vektory ...

Stanovenie bodového súčinu vektorov.
Vlastnosti produktu. Typické úlohy

Koncept produktu dot

Najprv o uhol medzi vektormi... Myslím, že každý intuitívne chápe, aký je uhol medzi vektormi, ale pre prípad trochu podrobnejších informácií. Zvážte bezplatné nenulové vektory a. Ak odložíte tieto vektory z ľubovoľného bodu, získate obrázok, ktorý si už mnohí v mysli predstavili:

Priznám sa, že tu som načrtol situáciu iba na úrovni porozumenia. Ak potrebujete presnú definíciu uhla medzi vektormi, obráťte sa na učebnicu, ale pre praktické problémy to v zásade nepotrebujeme. Tiež TU A ĎALŠIE budem na niektorých miestach ignorovať nulové vektory kvôli ich nízkemu praktickému významu. Urobil som rezerváciu špeciálne pre pokročilých návštevníkov stránky, ktorí mi môžu vyčítať teoretickú neúplnosť niektorých nasledujúcich vyhlásení.

môže nadobúdať hodnoty od 0 do 180 stupňov (od 0 do radiánov) vrátane. Analyticky je táto skutočnosť napísaná vo forme dvojitej nerovnosti: alebo (v radiánoch).

V literatúre je ikona uhla často prehliadaná a napísaná jednoducho.

Definícia: Skalárny súčin dvoch vektorov je ČÍSLO rovnajúce sa súčinu dĺžok týchto vektorov kosínusom uhla medzi nimi:

Toto je už dosť prísna definícia.

Zameriavame sa na základné informácie:

Označenie: bodový produkt je označený alebo jednoducho.

Výsledkom operácie je ČÍSLO: Vektor sa vynásobí vektorom a získa sa číslo. Ak sú dĺžky vektorov čísla, je kosínus uhla číslo, potom ich súčin bude tiež číslo.

Len pár príkladov na zahriatie:

Príklad 1

Rozhodnutie: Používame vzorec ... V tomto prípade:

Odpoveď:

Kosínové hodnoty nájdete v trigonometrická tabuľka... Odporúčam vytlačiť - bude sa vyžadovať takmer vo všetkých častiach veže a bude sa vyžadovať mnohokrát.

Z čisto matematického hľadiska je bodový súčin bezrozmerný, to znamená, že výsledkom je v tomto prípade iba číslo a je to. Z hľadiska problémov fyziky má bodový súčin vždy určitý fyzikálny význam, to znamená, že po výsledku musí byť uvedená jedna alebo iná fyzikálna jednotka. Kanonický príklad výpočtu práce sily nájdete v akejkoľvek učebnici (vzorec je presne bodový súčin). Sila práce sa preto meria v Jouloch a odpoveď bude napísaná celkom konkrétne, napríklad.

Príklad 2

Nájdi ak a uhol medzi vektormi je.

Toto je príklad riešenia pre domácich majstrov, odpoveď je na konci tutoriálu.

Uhol medzi vektormi a hodnotou bodového súčinu

V príklade 1 sa bodový súčin ukázal ako pozitívny a v príklade 2 sa ukázal ako záporný. Poďme zistiť, od čoho závisí znamienko bodového produktu. Pozeráme sa na náš vzorec: ... Dĺžky nenulových vektorov sú vždy kladné :, takže znamienko môže závisieť iba od hodnoty kosínu.

Poznámka: Pre lepšie pochopenie nasledujúcich informácií je lepšie študovať kosínusový graf v príručke Funkčné grafy a vlastnosti... Zistite, ako sa kosínus chová v danom segmente.

Ako už bolo uvedené, uhol medzi vektormi sa môže meniť v rámci a sú možné nasledujúce prípady:

1) Ak uhol medzi vektormi akútna: (od 0 do 90 stupňov), potom a bodový produkt bude pozitívny spolurežírovaný, potom sa uhol medzi nimi považuje za nulový a bodový súčin bude tiež kladný. Pretože vzorec je zjednodušený :.

2) Ak uhol medzi vektormi hlúpy: (od 90 do 180 stupňov), potom a zodpovedajúcim spôsobom bodový súčin je záporný:. Špeciálny prípad: ak vektory opačný smer, potom sa zváži uhol medzi nimi nasadený: (180 stupňov). Bodový súčin je tiež negatívny

Platia aj opačné tvrdenia:

1) Ak, potom je uhol medzi týmito vektormi ostrý. Alternatívne sú vektory codirectional.

2) Ak, potom je uhol medzi danými vektormi tupý. Alternatívne sú vektory opačné.

Tretí prípad je však obzvlášť zaujímavý:

3) Ak uhol medzi vektormi rovno: (90 stupňov), potom bodový produkt je nula:. Platí to aj naopak: ak, potom. Vyhlásenie je formulované kompaktne takto: Skalárny súčin dvoch vektorov je nulový práve vtedy, ak sú tieto vektory ortogonálne... Krátka matematická notácia:

! Poznámka : opakovať základy matematickej logiky: ikona obojstranných logických následkov sa zvyčajne číta „vtedy a až potom“, „ak a len ak“. Ako vidíte, šípky sú nasmerované oboma smermi - „z toho vyplýva toto a naopak - z toho, čo z toho vyplýva.“ Mimochodom, aký je rozdiel od ikony jednosmerného sledovania? Ikona tvrdí len to, žeže „z toho vyplýva“ a nie je skutočnosťou, že opak je pravdou. Napríklad: ale nie každé zviera je panter, takže v tomto prípade ikonu nemožno použiť. Zároveň namiesto ikony môcť použite jednosmernú ikonu. Napríklad pri riešení úlohy sme zistili, že vektory sú ortogonálne: - takýto záznam bude správny a ešte vhodnejší ako .

Tretí prípad má veľký praktický význam.pretože vám umožňuje skontrolovať, či sú vektory ortogonálne alebo nie. Tento problém budeme riešiť v druhej časti hodiny.

Vlastnosti produktu

Vráťme sa k situácii, keď dva vektory spolurežírovaný... V takom prípade je uhol medzi nimi nula, a vzorec bodového súčinu má tvar :.

Čo sa stane, ak sa vektor znásobí sám? Je zrejmé, že vektor je navzájom smerový, takže použijeme vyššie uvedený zjednodušený vzorec:

Číslo sa volá skalárny štvorec vektor a označený ako.

Touto cestou, skalárny štvorec vektora sa rovná štvorcu dĺžky daného vektora:

Z tejto rovnosti môžete získať vzorec na výpočet dĺžky vektora:

Aj keď sa to zdá nejasné, úlohy lekcie dajú všetko na svoje miesto. Na riešenie problémov potrebujeme tiež bodové vlastnosti produktu.

Pre ľubovoľné vektory a akékoľvek číslo sú platné nasledujúce vlastnosti:

1) - posuvný alebo komutatívny zákon o skalárnych výrobkoch.

2) - distribúcia alebo distribučné zákon o skalárnych výrobkoch. Jednoducho môžete zátvorky rozšíriť.

3) - kombinácia alebo asociatívny zákon o skalárnych výrobkoch. Konštanta môže byť vytiahnutá z bodového súčinu.

Študenti často vnímajú najrôznejšie vlastnosti (ktoré je tiež potrebné preukázať!) Ako zbytočný odpad, ktorý si treba iba zapamätať a ihneď po ukončení skúšky bezpečne zabudnúť. Mohlo by sa zdať, že to, čo je tu dôležité, už od prvej triedy vie, že sa výrobok nezmení na základe obmeny faktorov :. Musím vás varovať, že pri vyššej matematike s týmto prístupom je ľahké lámať drevo. Napríklad vlastnosť posunutia nie je platná pre algebraické matice... Je tiež nesprávne pre vektorový produkt vektorov... Preto je prinajmenšom lepšie venovať sa všetkým vlastnostiam, na ktoré narazíte v priebehu vyššej matematiky, aby ste pochopili, čo môžete a čo nie.

Príklad 3

.

Rozhodnutie:Najskôr si objasnime situáciu s vektorom. Čo to vlastne je? Súčet vektorov a je dobre definovaný vektor, ktorý je označený. Geometrickú interpretáciu akcií s vektormi nájdete v článku Vektory pre figuríny... Rovnaká petržlenová vňať s vektorom je súčtom vektorov a.

Podmienkou je teda nájdenie produktu bodky. Teoreticky musíte použiť pracovný vzorec , ale problém je v tom, že nepoznáme dĺžky vektorov a uhol medzi nimi. Podmienka ale dáva podobné parametre pre vektory, takže pôjdeme opačným smerom:

(1) Náhradné vektorové výrazy.

(2) Konzoly rozširujeme podľa pravidla násobenia polynómov, vulgárny twister jazyka nájdete v článku Komplexné čísla alebo Integrácia zlomkovej racionálnej funkcie... Nebudem sa opakovať \u003d) Mimochodom, vlastnosť distribúcie bodového produktu nám umožňuje rozšíriť zátvorky. Máme právo.

(3) V prvom a poslednom termíne kompaktne napíšeme skalárne štvorce vektorov: ... V druhom termíne použijeme permutabilitu skalárneho súčinu :.

(4) Dávame podobné výrazy :.

(5) V prvom termíne používame vzorec skalárneho štvorca, ktorý bol spomenutý nie tak dávno. V poslednom termíne funguje to isté :. Druhý termín rozširujeme podľa štandardného vzorca .

(6) Tieto podmienky nahrádzame a POZORNE urobte konečné výpočty.

Odpoveď:

Záporná hodnota bodového súčinu udáva skutočnosť, že uhol medzi vektormi je tupý.

Úloha je typická, tu je príklad nezávislého riešenia:

Príklad 4

Nájdite skalárny súčin vektorov a ak je to známe .

Teraz ďalšia spoločná úloha, len pre nový vzorec dĺžky vektora. Označenia sa tu budú mierne prekrývať, takže kvôli prehľadnosti ich prepíšem iným písmenom:

Príklad 5

Nájdite dĺžku vektora, ak .

Rozhodnutie bude nasledovné:

(1) Zadajte vektorový výraz.

(2) Používame vzorec dĺžky :, zatiaľ čo celý výraz funguje ako vektor „ve“.

(3) Použijeme školský vzorec pre druhú mocninu súčtu. Všimnite si, ako to tu zvedavo funguje: - v skutočnosti je to druhá mocnina rozdielu a v skutočnosti je. Záujemcovia môžu usporiadať vektory na miestach: - dopadlo to rovnako až do nového usporiadania výrazov.

(4) Ostatné sú už známe z dvoch predchádzajúcich problémov.

Odpoveď:

Keďže hovoríme o dĺžke, nezabudnite uviesť rozmer - „jednotky“.

Príklad 6

Nájdite dĺžku vektora, ak .

Toto je príklad riešenia pre domácich majstrov. Kompletné riešenie a odpoveď na konci tutoriálu.

Z bodového produktu naďalej vytláčame užitočné veci. Pozrime sa znova na náš vzorec ... Podľa pravidla proporcie obnovme dĺžky vektorov na menovateľa ľavej strany:

A zameníme diely:

Aký význam má tento vzorec? Ak poznáte dĺžky dvoch vektorov a ich bodový súčin, môžete vypočítať kosínus uhla medzi týmito vektormi a následne samotný uhol.

Je bodový produkt číslo? Číslo. Sú dĺžky vektorov čísla? Čísla. Zlomok je teda tiež určité číslo. A ak je známy kosínus uhla: , potom pomocou inverznej funkcie je ľahké nájsť samotný uhol: .

Príklad 7

Nájdite uhol medzi vektormi a, ak je známe, že.

Rozhodnutie: Používame vzorec:

V záverečnej fáze výpočtov sa použila technika - odstránenie iracionality v menovateli. Aby som vylúčil iracionalitu, vynásobil som čitateľa a menovateľa číslom.

Takže ak , potom:

Hodnoty inverzných trigonometrických funkcií nájdete podľa trigonometrická tabuľka... Aj keď sa to stáva málokedy. V problémoch analytickej geometrie sa nejaký nemotorný medveď objavuje oveľa častejšie a hodnotu uhla je potrebné zistiť približne pomocou kalkulačky. Takýto obraz sa v skutočnosti dočkáme viackrát.

Odpoveď:

Opäť nezabudnite uviesť rozmer - radiány a stupne. Osobne, aby som vedome „vymazal všetky otázky“, radšej naznačím to aj to (pokiaľ samozrejme nie je podmienkou podmienené, že nie je potrebné uvádzať odpoveď iba v radiánoch alebo iba v stupňoch).

Teraz budete schopní zvládnuť náročnejšiu úlohu sami:

Príklad 7 *

Uvedené sú dĺžky vektorov a uhol medzi nimi. Nájdite uhol medzi vektormi.

Úloha nie je ani tak náročná ako viacstupňová.
Poďme analyzovať algoritmus riešenia:

1) Podľa podmienky je potrebné zistiť uhol medzi vektormi, a preto je potrebné použiť vzorec .

2) Nájdite bodový produkt (pozri príklady č. 3, 4).

3) Nájdite dĺžku vektora a dĺžku vektora (pozri príklady č. 5, 6).

4) Koniec riešenia sa zhoduje s príkladom č. 7 - poznáme číslo, čo znamená, že je ľahké nájsť samotný uhol:

Krátke riešenie a odpoveď na konci tutoriálu.

Druhá časť lekcie sa zameriava na rovnaký bodový produkt. Súradnice. Bude to ešte jednoduchšie ako v prvej časti.

Bodový produkt vektorov,
dané súradnicami v ortonormálnom základe

Odpoveď:

Netreba dodávať, že práca so súradnicami je oveľa príjemnejšia.

Príklad 14

Nájdite bodový súčin vektorov a ak

Toto je príklad riešenia pre domácich majstrov. Tu môžete použiť asociativitu operácie, to znamená, že sa nepočítajú, ale trojicu okamžite posunú z bodového súčinu a naposledy ju vynásobia. Riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Na konci odseku provokatívny príklad výpočtu dĺžky vektora:

Príklad 15

Nájdite dĺžky vektorov , Ak

Rozhodnutie:opäť sa naznačuje spôsob z predchádzajúcej časti :, ale existuje aj iná cesta:

Nájdite vektor:

A jeho dĺžka podľa triviálneho vzorca :

Bodový produkt tu neprichádza do úvahy!

Ako mimo podnikania to je pri výpočte dĺžky vektora:
Prestaň. Prečo nevyužiť zjavnú vlastnosť dĺžky vektora? A čo dĺžka vektora? Tento vektor je 5-krát dlhší ako vektor. Smer je opačný, ale to nevadí, pretože reč je o dĺžke. Je zrejmé, že dĺžka vektora sa rovná súčinu modul čísla na dĺžku vektora:
- znamienko modulu „zje“ možné mínus čísla.

Touto cestou:

Odpoveď:

Vzorec pre kosínus uhla medzi vektormi, ktoré sú dané súradnicami

Teraz máme úplné informácie na vyjadrenie predtým odvodeného vzorca pre kosínus uhla medzi vektormi z hľadiska súradníc vektorov:

Kosínus uhla medzi vektormi roviny a dané v ortonormálnom základe, vyjadrené vzorcom:
.

Kosínus uhla medzi vektormi vesmíru uvedené v ortonormálnom základe, vyjadrené vzorcom:

Príklad 16

Dané sú tri vrcholy trojuholníka. Nájdite (vrcholový uhol).

Rozhodnutie:Podľa podmienky sa nevyžaduje čerpanie, ale stále:

Požadovaný uhol je označený zeleným oblúkom. Okamžite si spomenieme na školské označenie uhla: - osobitná pozornosť priemer list - toto je vrchol rohu, ktorý potrebujeme. Pre stručnosť by sa to dalo napísať aj jednoducho.

Z výkresu je zrejmé, že uhol trojuholníka sa zhoduje s uhlom medzi vektormi, inými slovami: .

Je žiaduce naučiť sa mentálne vykonávať analýzu.

Nájdite vektory:

Vypočítajme bodový súčin:

A dĺžky vektorov:

Kosínus uhla:

Toto je poradie dokončenia úlohy, ktorú čajníkom odporúčam. Sofistikovanejší čitatelia môžu písať výpočty „do jedného riadku“:

Tu je príklad „zlej“ kosínusovej hodnoty. Výsledná hodnota nie je konečná, takže zbavenia sa iracionality v menovateli nemá zmysel.

Nájdite samotný roh:

Ak sa pozriete na výkres, výsledok je celkom pravdepodobný. Na kontrolu je možné uhol merať aj pomocou uhlomera. Nepoškodzujte kryt monitora \u003d)

Odpoveď:

V odpovedi na to nezabudni spýtal sa na uhol trojuholníka (a nie o uhle medzi vektormi), nezabudnite uviesť presnú odpoveď: a približnú hodnotu uhla: nájdené s kalkulačkou.

Tí, ktorým sa tento proces páčil, môžu vypočítať uhly a ubezpečiť sa, že kanonická rovnosť je pravdivá

Príklad 17

Trojuholník je v priestore definovaný súradnicami jeho vrcholov. Nájdite uhol medzi stranami a

Toto je príklad riešenia pre domácich majstrov. Kompletné riešenie a odpoveď na konci tutoriálu

Krátka záverečná časť bude venovaná projekciám, v ktorých je „zmiešaný“ aj skalárny produkt:

Projekcia typu vektor na vektor. Projekcia vektora do súradnicových osí.
Smerové kosíny vektora

Zvážte vektory a:

Premietnime vektor na vektor, preto ho od začiatku a konca vektora vynecháme kolmice na vektor (zelené bodkované čiary). Predstavte si, že lúče svetla padajú kolmo na vektor. Potom bude segment (červená čiara) „tieňom“ vektora. V tomto prípade je projekcia vektora na vektor LENGTH segmentu. To znamená, že PROJEKCIA JE ČÍSLO.

Toto ČÍSLO je označené takto :, „veľký vektor“ znamená vektor KTORÉ „malý dolný vektor“ označuje vektor ZAP ktorý sa projektuje.

Samotný záznam znie takto: „projekcia vektora„ a “na vektor„ bh ““.

Čo sa stane, ak je vektor „bs“ „príliš krátky“? Nakreslíme priamku obsahujúcu vektor „be“. Vektor „a“ sa už bude premietať v smere vektora „bs“, jednoducho - na priamke obsahujúcej vektor „be“. To isté sa stane, ak sa vektor „a“ posunie v tridsiatom desiatom kráľovstve - bude sa stále ľahko premietať na priamku obsahujúcu vektor „bh“.

Ak uhol medzi vektormi akútna (ako na obrázku), potom

Ako vektory kolmý, potom (priemet je bod, ktorého rozmery sa považujú za nulové).

Ak uhol medzi vektormi hlúpy(na obrázku mentálne usporiadajte šípku vektora), potom (rovnakú dĺžku, ale urobené so znamienkom mínus).

Odložme tieto vektory z jedného bodu:

Je zrejmé, že keď sa vektor pohybuje, jeho projekcia sa nemení

Nebudú chýbať ani úlohy nezávislého riešenia, na ktoré si môžete pozrieť odpovede.

Ak sú v úlohe obidve dĺžky vektorov a uhol medzi nimi prezentované „na striebornom podnose“, potom bude stav úlohy a jej riešenie vyzerať takto:

Príklad 1.Dané vektory. Nájdite bodový súčin vektorov, ak sú ich dĺžky a uhol medzi nimi reprezentované nasledujúcimi hodnotami:

Platná je aj iná definícia, ktorá je úplne ekvivalentná s definíciou 1.

Definícia 2... Skalárny súčin vektorov je číslo (skalárne) rovnajúce sa súčinu dĺžky jedného z týchto vektorov premietnutím druhého vektora na os určenú prvým z označených vektorov. Vzorec podľa definície 2:

Problém vyriešime pomocou tohto vzorca po ďalšom dôležitom teoretickom bode.

Určenie bodového súčinu vektorov z hľadiska súradníc

Rovnaký počet možno získať, ak sú vynásobené vektory dané ich súradnicami.

Definícia 3. Bodový súčin vektorov je číslo, ktoré sa rovná súčtu párových súčinov ich príslušných súradníc.

Na povrchu

Ak sú dva vektory a na rovine definované ich dvoma karteziánske obdĺžnikové súradnice

potom skalárny súčin týchto vektorov sa rovná súčtu párových súčinov ich príslušných súradníc:

.

Príklad 2.Nájdite číselnú hodnotu projekcie vektora na os rovnobežnú s vektorom.

Rozhodnutie. Vyhľadajte skalárny súčin vektorov pridaním párových súčinov ich súradníc:

Teraz musíme vyrovnať výsledný skalárny súčin s produktom dĺžky vektora a projekcie vektora na os rovnobežnú s vektorom (podľa vzorca).

Dĺžku vektora nájdeme ako druhú odmocninu zo súčtu druhých mocnín jeho súradníc:

.

Vypracujeme rovnicu a vyriešime ju:

Odpoveď. Požadovaná číselná hodnota je mínus 8.

Vo vesmíre

Ak sú dva vektory a v priestore definované ich tromi pravouhlými súradnicami

,

potom sa skalárny súčin týchto vektorov rovná súčtu párových súčinov ich zodpovedajúcich súradníc, ibaže už existujú tri súradnice:

.

Problém nájsť bodový produkt uvažovanou metódou je po analýze vlastností bodového produktu. Pretože v úlohe budete musieť určiť, aký uhol tvoria vynásobené vektory.

Vlastnosti bodových súčinov vektorov

Algebraické vlastnosti

1. (vlastnosť vysídlenia: veľkosť ich bodového súčinu sa nezmení od zmeny v miestach vynásobených vektorov).

2. (kombinovaná vlastnosť vzhľadom na číselný faktor: bodový súčin vektora vynásobený niektorým faktorom a iný vektor sa rovná bodovému súčinu týchto vektorov vynásobený rovnakým faktorom).

3. (distribučná vlastnosť vzhľadom na súčet vektorov: bodový súčin súčtu dvoch vektorov tretím vektorom sa rovná súčtu bodových súčinov prvého vektora tretím vektorom a druhého vektora tretím vektorom).

4. (skalárny štvorec vektora je väčší ako nula), ak je nenulový vektor a ak je nulový vektor.

Geometrické vlastnosti

V definíciách skúmanej operácie sme sa už dotkli konceptu uhla medzi dvoma vektormi. Je čas objasniť tento koncept.

Na obrázku vyššie sú viditeľné dva vektory, ktoré sú privedené do spoločného pôvodu. A prvá vec, ktorú treba venovať pozornosť: medzi týmito vektormi sú dva uhly - φ 1 a φ 2 ... Ktorý z týchto uhlov sa nachádza v definíciách a vlastnostiach bodového súčinu vektorov? Súčet uvažovaných uhlov je 2 π a preto sú kosiny týchto uhlov rovnaké. Definícia bodového súčinu zahŕňa iba kosínus uhla, nie hodnotu jeho vyjadrenia. Ale vo vlastnostiach sa uvažuje iba s jedným rohom. A toto je jeden z dvoch uhlov, ktorý neprekonáva π , teda 180 stupňov. Na obrázku je tento uhol označený ako φ 1 .

1. Nazývajú sa dva vektory kolmý a uhol medzi týmito vektormi je priamka (90 stupňov alebo π / 2) ak bodový produkt týchto vektorov je nulový :

.

Ortogonalita vo vektorovej algebre je kolmosť dvoch vektorov.

2. Tvoria sa dva nenulové vektory ostrý roh (od 0 do 90 stupňov, alebo, čo je rovnaké - menej π bodový produkt je pozitívny .

3. Tvoria sa dva nenulové vektory tupý uhol (od 90 do 180 stupňov, alebo, čo je to isté - viac π / 2) ak a len ak ich bodový súčin je záporný .

Príklad 3. Vektory sú uvedené v súradniciach:

.

Vypočítajte bodové produkty všetkých párov daných vektorov. Aký uhol (ostrý, rovný, tupý) tvoria tieto páry vektorov?

Rozhodnutie. Vypočítame sčítaním súčinov zodpovedajúcich súradníc.

Prijalo záporné číslo, takže vektory tvoria tupý uhol.

Dostali sme kladné číslo, takže vektory zvierajú ostrý uhol.

Dostali sme nulu, takže vektory zvierajú pravý uhol.

Dostali sme kladné číslo, takže vektory zvierajú ostrý uhol.

.

Dostali sme kladné číslo, takže vektory zvierajú ostrý uhol.

Pre autotest môžete použiť online kalkulačka Bodový súčin vektorov a kosínusu uhla medzi nimi .

Príklad 4. Dávajú sa dĺžky dvoch vektorov a uhol medzi nimi:

.

Určte, pri akej hodnote čísla sú vektory ortogonálne (kolmé).

Rozhodnutie. Násobíme vektory podľa pravidla násobenia polynómov:

Teraz vypočítajme každý výraz:

.

Zostavme rovnicu (rovnosť produktu na nulu), dajme podobné výrazy a vyriešme rovnicu:

Odpoveď: dostali sme hodnotu λ \u003d 1,8, pre ktoré sú vektory ortogonálne.

Príklad 5.Dokážte, že vektor ortogonálne (kolmé) na vektor

Rozhodnutie. Aby sme skontrolovali ortogonalitu, vynásobíme vektory a ako polynómy a nahradíme ich výrazom uvedeným v problémovom výpise:

.

Aby ste to dosiahli, musíte vynásobiť každý výraz (výraz) prvého polynómu každým výrazom druhého a pridať výsledné produkty:

.

Vďaka tomu sa zlomok zníži na úkor. Výsledok je nasledovný:

Záver: v dôsledku násobenia sme dostali nulu, preto je dokázaná ortogonálnosť (kolmosť) vektorov.

Vyriešte problém sami a potom uvidíte riešenie

Príklad 6. Vzhľadom na dĺžky vektorov a a a uhol medzi týmito vektormi je π / 4. Určte, v akej hodnote μ vektory a sú navzájom kolmé.

Pre autotest môžete použiť online kalkulačka Bodový súčin vektorov a kosínusu uhla medzi nimi .

Maticová reprezentácia bodového súčinu vektorov a súčinu n-rozmerných vektorov

Niekedy je pre prehľadnosť výhodné reprezentovať dva vektory vynásobené maticami. Potom je prvý vektor predstavovaný ako riadková matica a druhý ako stĺpcová matica:

Potom bude skalárny súčin vektorov produkt týchto matíc :

Výsledok je rovnaký ako výsledok získaný metódou, ktorú sme už zvážili. Získa sa jedno jediné číslo a súčin riadkovej matice a stĺpcovej matice je tiež jedno jediné číslo.

Je vhodné reprezentovať produkt abstraktných n-rozmerných vektorov v maticovej forme. Takže produkt dvoch štvorrozmerných vektorov bude produktom matice riadkov so štyrmi prvkami a matice stĺpcov tiež so štyrmi prvkami, produkt dvoch päťdimenzionálnych vektorov bude produktom matice riadkov s piatimi prvkami a matice stĺpcov tiež s piatimi prvkami atď.

Príklad 7. Nájdite bodové produkty párov vektorov

,

pomocou maticovej reprezentácie.

Rozhodnutie. Prvý pár vektorov. Prvý vektor reprezentujeme ako riadkovú maticu a druhý ako stĺpcovú maticu. Skalárny súčin týchto vektorov nájdeme ako súčin matice riadkov maticou stĺpca:

Podobne reprezentujeme druhý pár a nájdeme:

Ako vidíte, výsledky sú rovnaké ako výsledky rovnakých párov z príkladu 2.

Uhol medzi dvoma vektormi

Odvodenie vzorca pre kosínus uhla medzi dvoma vektormi je veľmi pekné a krátke.

Na vyjadrenie bodového súčinu vektorov

(1)

v súradnicovej podobe nájdeme najskôr skalárny súčin jednotkových vektorov. Bodový súčin vektora podľa definície:

To, čo je napísané vo vyššie uvedenom vzorci, znamená: samotný bodový súčin vektora sa rovná štvorcu jeho dĺžky... Kosínus nula sa rovná jednej, takže štvorec každého ortu sa bude rovnať jednej:

Pretože vektory

sú párové kolmé, potom sa párové produkty jednotkových vektorov budú rovnať nule:

Teraz urobme násobenie vektorových polynómov:

Na pravú stranu rovnosti dosadíme hodnoty zodpovedajúcich skalárnych súčinov jednotkových vektorov:

Dostaneme vzorec pre kosínus uhla medzi dvoma vektormi:

Príklad 8.Vzhľadom na tri body A(1;1;1), B(2;2;1), C.(2;1;2).

Nájdite roh.

Rozhodnutie. Nájdite súradnice vektorov:

,

.

Podľa vzorca pre kosínus uhla dostaneme:

Preto.

Pre autotest môžete použiť online kalkulačka Bodový súčin vektorov a kosínusu uhla medzi nimi .

Príklad 9.Uvádzajú sa dva vektory

Nájdite medzi nimi súčet, rozdiel, dĺžku, bodový súčin a uhol.

2. Rozdiel

Definícia 1

Skalárny súčin vektorov je číslo rovnajúce sa súčinu dyn týchto vektorov a kosínusu uhla medzi nimi.

Zápis súčinu vektorov a → a b → má tvar a →, b →. Poďme konvertovať na vzorec:

a →, b → \u003d a → b → cos a →, b → ^. a → a b → označujú dĺžky vektorov, a →, b → ^ označujú uhol medzi danými vektormi. Ak je aspoň jeden vektor nula, to znamená, že má hodnotu 0, bude výsledok nulový, a →, b → \u003d 0

Keď vynásobíme vektor sám, dostaneme štvorec jeho dĺžky:

a →, b → \u003d a → b → cos a →, a → ^ \u003d a → 2 cos 0 \u003d a → 2

Definícia 2

Skalárne množenie vektora ako takého sa nazýva skalárny štvorec.

Vypočítané podľa vzorca:

a →, b → \u003d a → b → cos a →, b → ^.

Zápis a →, b → \u003d a → b → cos a →, b → ^ \u003d a → npa → b → \u003d b → npb → a → ukazuje, že npb → a → je numerická projekcia a → na b →, npa → a → je projekcia b → na a →.

Sformulujme definíciu produktu pre dva vektory:

Skalárny súčin dvoch vektorov a → o b → sa nazýva súčin dĺžky vektora a → projekciou b → smerom a → alebo súčin dĺžky b → projekciou a →.

Produkt bodky v súradniciach

Bodový súčin možno vypočítať prostredníctvom súradníc vektorov v danej rovine alebo v priestore.

Skalárny súčin dvoch vektorov v rovine, v trojrozmernom priestore, sa nazýva súčet súradníc daných vektorov a → a b →.

Pri výpočte skalárneho súčinu daných vektorov a → \u003d (a x, a y), b → \u003d (b x, b y) v karteziánskej sústave použite:

a →, b → \u003d a x b x + a y b y,

pre trojrozmerný priestor platí tento výraz:

a →, b → \u003d a x b x + a y b y + a z b z.

V skutočnosti ide o tretiu definíciu bodového produktu.

Poďme to dokázať.

Dôkaz 1

Na dôkaz použite a →, b → \u003d a → b → cos a →, b → ^ \u003d ax bx + ay by pre vektory a → \u003d (ax, ay), b → \u003d (bx, by) na Karteziánsky systém.

Vektory by sa mali odložiť

O A → \u003d a → \u003d a x, a y a O B → \u003d b → \u003d b x, b y.

Potom sa dĺžka vektora A B → bude rovnať A B → \u003d O B → - O A → \u003d b → - a → \u003d (b x - a x, b y - a y).

Zvážte trojuholník O A B.

A B 2 \u003d O A 2 + O B 2 - 2 O A O B cos (∠ A O B) platí na základe kosínovej vety.

Podľa podmienky vidno, že O A \u003d a →, O B \u003d b →, A B \u003d b → - a →, ∠ A O B \u003d a →, b → ^, teda vzorec na hľadanie uhla medzi vektormi je napísaný odlišne

b → - a → 2 \u003d a → 2 + b → 2 - 2 a → b → cos (a →, b → ^).

Potom z prvej definície vyplýva, že b → - a → 2 \u003d a → 2 + b → 2 - 2 (a →, b →), teda (a →, b →) \u003d 1 2 (a → 2 + b → 2 - b → - a → 2).

Použitím vzorca na výpočet dĺžky vektorov dostaneme:
a →, b → \u003d 1 2 ((a 2 x + ay 2) 2 + (b 2 x + o 2) 2 - ((bx - os) 2 + (o - ay) 2) 2) \u003d \u003d 1 2 (a 2 x + a 2 y + b 2 x + b 2 y - (bx - os) 2 - (o - ay) 2) \u003d \u003d sekera bx + ay o

Dokážme rovnosť:

(a →, b →) \u003d a → b → cos (a →, b → ^) \u003d \u003d a x b x + a y b y + a z b z

- respektíve pre vektory trojrozmerného priestoru.

Skalárny súčin vektorov so súradnicami hovorí, že skalárny štvorec vektora sa rovná súčtu druhých mocnín jeho súradníc v priestore a na rovine. a → \u003d (a x, a y, a z), b → \u003d (b x, b y, b z) a (a →, a →) \u003d a x 2 + a y 2.

Bodový výrobok a jeho vlastnosti

Existujú vlastnosti produktu bodka, ktoré sú použiteľné pre a →, b → a c →:

1. komutativita (a →, b →) \u003d (b →, a →);
2. distribúcia (a → + b →, c →) \u003d (a →, c →) + (b →, c →), (a → + b →, c →) \u003d (a →, b →) + (a → , c →);
3. kombinujúca vlastnosť (λ a →, b →) \u003d λ (a →, b →), (a →, λ b →) \u003d λ (a →, b →), λ je akékoľvek číslo;
4. skalárny štvorec je vždy väčší ako nula (a →, a →) ≥ 0, kde (a →, a →) \u003d 0 v prípade, keď a → je nula.

Príklad 1

Vlastnosti sú vysvetliteľné vďaka definícii bodového súčinu v rovine a vlastnostiam sčítania a násobenia reálnych čísel.

Dokážte komutatívnu vlastnosť (a →, b →) \u003d (b →, a →). Z definície máme to (a →, b →) \u003d a y b y + a y b y a (b →, a →) \u003d b x a x + b y a y.

Vlastnosťou komutativity sú rovnosti a x b x \u003d b x a x a a y b y \u003d b y a y pravdivé, takže a x b x + a y b y \u003d b x a x + b y a y.

Z toho vyplýva, že (a →, b →) \u003d (b →, a →). Q.E.D.

Distribučnosť platí pre všetky čísla:

(a (1) → + a (2) → + .. + a (n) →, b →) \u003d (a (1) →, b →) + (a (2) →, b →) +. ... ... + (a (n) →, b →)

a (a →, b (1) → + b (2) → + .. + b (n) →) \u003d (a →, b (1) →) + (a →, b (2) →) + ... ... ... + (a →, b → (n)),

teda máme

(a (1) → + a (2) → + .. + a (n) →, b (1) → + b (2) → + ... + b (m) →) \u003d (a ( 1) →, b (1) →) + (a (1) →, b (2) →) +. ... ... + (a (1) →, b (m) →) + + (a (2) →, b (1) →) + (a (2) →, b (2) →) +. ... ... + (a (2) →, b (m) →) +. ... ... + + (a (n) →, b (1) →) + (a (n) →, b (2) →) +. ... ... + (a (n) →, b (m) →)

Produkt s bodkami s príkladmi a riešeniami

Akýkoľvek problém takéhoto plánu je vyriešený pomocou vlastností a vzorcov súvisiacich s bodovým produktom:

1. (a →, b →) \u003d a → b → cos (a →, b → ^);
2. (a →, b →) \u003d a → n p a → b → \u003d b → n p b → a →;
3. (a →, b →) \u003d a x b x + a y b y alebo (a →, b →) \u003d a x b x + a y b y + a z b z;
4. (a →, a →) \u003d a → 2.

Uvažujme o niekoľkých príkladoch riešenia.

Príklad 2

Dĺžka a → je 3, dĺžka b → je 7. Nájdite bodový súčin, ak je uhol 60 stupňov.

Rozhodnutie

Podmienkou máme všetky údaje, takže počítame podľa vzorca:

(a →, b →) \u003d a → b → cos (a →, b → ^) \u003d 3 7 cos 60 ° \u003d 3 7 1 2 \u003d 21 2

Odpoveď: (a →, b →) \u003d 21 2.

Príklad 3

Dané vektory a → \u003d (1, - 1, 2 - 3), b → \u003d (0, 2, 2 + 3). Čo je to bodový produkt.

Rozhodnutie

V tomto príklade sa berie do úvahy vzorec na výpočet pomocou súradníc, pretože sú uvedené vo výpise problému:

(a →, b →) \u003d sekera bx + ay by + az bz \u003d \u003d 1 0 + (- 1) 2 + (2 + 3) (2 + 3) \u003d \u003d 0 - 2 + ( 2 - 9) \u003d - 9

Odpoveď: (a →, b →) \u003d - 9

Príklad 4

Nájdite bodový súčin A B → a A C →. Body A (1, - 3), B (5, 4), C (1, 1) sú uvedené v súradnicovej rovine.

Rozhodnutie

Najskôr sa vypočítajú súradnice vektorov, pretože súradnice bodov sú dané podmienkou:

A B → \u003d (5 - 1, 4 - (- 3)) \u003d (4, 7) A C → \u003d (1 - 1, 1 - (- 3)) \u003d (0, 4)

Dosadením do vzorca pomocou súradníc dostaneme:

(AB →, AC →) \u003d 4 0 + 7 4 \u003d 0 + 28 \u003d 28.

Odpoveď: (A B →, A C →) \u003d 28.

Príklad 5

Dané vektory a → \u003d 7 m → + 3 n → a b → \u003d 5 m → + 8 n →, nájdite ich súčin. m → sa rovná 3 a n → sa rovná 2 jednotkám, sú kolmé.

Rozhodnutie

(a →, b →) \u003d (7 m → + 3 n →, 5 m → + 8 n →). Použitím distribučného majetku získame:

(7 m → + 3 n →, 5 m → + 8 n →) \u003d \u003d (7 m →, 5 m →) + (7 m →, 8 n →) + (3 n →, 5 m →) + (3 n →, 8 n →)

Vyberieme koeficient pre znamienko výrobku a dostaneme:

(7 m →, 5 m →) + (7 m →, 8 n →) + (3 n →, 5 m →) + (3 n →, 8 n →) \u003d \u003d 7 5 (m →, m →) + 7 8 (m →, n →) + 3 5 (n →, m →) + 3 8 (n →, n →) \u003d \u003d 35 (m →, m →) + 56 (m →, n →) + 15 (n →, m →) + 24 (n →, n →)

Vlastnosťou komutativity transformujeme:

35 (m →, m →) + 56 (m →, n →) + 15 (n →, m →) + 24 (n →, n →) \u003d 35 (m →, m →) + 56 (m →, n →) + 15 (m →, n →) + 24 (n →, n →) \u003d 35 (m →, m →) + 71 (m →, n →) ) + 24 (n →, n →)

Vo výsledku dostaneme:

(a →, b →) \u003d 35 (m →, m →) + 71 (m →, n →) + 24 (n →, n →).

Teraz použijeme vzorec pre bodový súčin s uhlom určeným podmienkou:

(a →, b →) \u003d 35 (m →, m →) + 71 (m →, n →) + 24 (n →, n →) \u003d \u003d 35 m → 2 + 71 m → n → cos (m →, n → ^) + 24 n → 2 \u003d \u003d 35 3 2 + 71 3 2 cos π 2 + 24 2 2 \u003d 411.

Odpoveď: (a →, b →) \u003d 411

Ak existuje numerická projekcia.

Príklad 6

Nájdite bodový súčin a → a b →. Vektor a → má súradnice a → \u003d (9, 3, - 3), priemet b → so súradnicami (- 3, - 1, 1).

Rozhodnutie

Podľa hypotézy sú vektory a → a projekcia b → smerované opačne, pretože a → \u003d - 1 3 · n p a → b → →, takže projekcia b → zodpovedá dĺžke n p a → b → →, a so znamienkom „-“:

n p a → b → → \u003d - n p a → b → → \u003d - (- 3) 2 + (- 1) 2 + 1 2 \u003d - 11,

Dosadením do vzorca dostaneme výraz:

(a →, b →) \u003d a → n p a → b → → \u003d 9 2 + 3 2 + (- 3) 2 (- 11) \u003d - 33.

Odpoveď: (a →, b →) \u003d - 33.

Problémy so známym bodovým súčinom, pri ktorom je potrebné zistiť dĺžku vektora alebo numerického priemetu.

Príklad 7

Akú hodnotu má mať λ pre daný skalárny súčin a → \u003d (1, 0, λ + 1) a b → \u003d (λ, 1, λ) sa bude rovnať -1.

Rozhodnutie

Vzorec ukazuje, že je potrebné nájsť súčet súradníc súradníc:

(a →, b →) \u003d 1 λ + 0 1 + (λ + 1) λ \u003d λ 2 + 2 λ.

Vzhľadom na to, že máme (a →, b →) \u003d - 1.

Aby sme našli λ, vypočítame rovnicu:

λ 2 + 2 λ \u003d - 1, teda λ \u003d - 1.

Odpoveď: λ \u003d - 1.

Fyzický význam bodového súčinu

Mechanika uvažuje o aplikácii bodového produktu.

Pri práci A s konštantnou silou F → telo sa pohybovalo z bodu M do N, môžete nájsť súčin dĺžok vektorov F → a M N → s kosínusom uhla medzi nimi, čo znamená, že práca sa rovná súčinu vektorov sily a posunu:

A \u003d (F-, MN-).

Príklad 8

Pohyb hmotného bodu o 3 metre pod vplyvom sily rovnajúcej sa 5 nton je smerovaný pod uhlom 45 stupňov vzhľadom na os. Nájsť.

Rozhodnutie

Pretože práca je produktom silového vektora a posunu, znamená to, že na základe podmienky F → \u003d 5, S → \u003d 3, (F →, S → ^) \u003d 45 °, dostaneme A \u003d (F →, S →) \u003d F → S → cos (F →, S → ^) \u003d 5 3 cos (45 °) \u003d 15 2 2.

Odpoveď: A \u003d 15 2 2.

Príklad 9

Hmotný bod, pohybujúci sa z M (2, - 1, - 3) na N (5, 3 λ - 2, 4) pod silou F → \u003d (3, 1, 2), vykonal prácu rovnú 13 J. Vypočítajte dĺžku pohybu.

Rozhodnutie

Pre dané súradnice vektora M N → máme M N → \u003d (5 - 2, 3 λ - 2 - (- 1), 4 - (- 3)) \u003d (3, 3 λ - 1, 7).

Podľa vzorca pre nájdenie práce s vektormi F → \u003d (3, 1, 2) a MN → \u003d (3, 3 λ - 1, 7) dostaneme A \u003d (F ⇒, MN →) \u003d 3 3 + 1 (3 λ - 1) + 2 7 \u003d 22 + 3 λ.

Hypotézou sa uvádza, že A \u003d 13 J, čo znamená 22 + 3 λ \u003d 13. Preto λ \u003d - 3, teda M N → \u003d (3, 3 λ - 1, 7) \u003d (3, - 10, 7).

Ak chcete zistiť dĺžku posunutia M N →, použite vzorec a nahraďte hodnoty:

M N → \u003d 3 2 + (- 10) 2 + 7 2 \u003d 158.

Odpoveď: 158.

Ak spozorujete chybu v texte, vyberte ju a stlačte Ctrl + Enter

Prednáška: Vektorové súradnice; bodový produkt vektorov; uhol medzi vektormi

Vektorové súradnice

Ako už bolo spomenuté vyššie, vektory sú smerovaným segmentom, ktorý má svoj vlastný začiatok a koniec. Ak je začiatok a koniec reprezentovaný niektorými bodmi, potom majú svoje vlastné súradnice v rovine alebo v priestore.

Ak má každý bod svoje vlastné súradnice, potom môžeme získať súradnice celého vektora.

Predpokladajme, že máme nejaký vektor, ktorého začiatok a koniec vektora má nasledujúce označenie a súradnice: A (A x; Ay) a B (B x; By)

Na získanie súradníc tohto vektora je potrebné od súradníc konca vektora odpočítať príslušné súradnice začiatku:

Ak chcete určiť súradnice vektora v priestore, použite nasledujúci vzorec:

Bodový súčin vektorov

Existujú dva spôsoby, ako definovať bodový produkt:

• Geometrickým spôsobom. Bodový súčin sa podľa neho rovná súčinu hodnôt týchto modulov kosínusom uhla medzi nimi.

• Algebraický význam. Z pohľadu algebry je bodový súčin dvoch vektorov určitá veličina, ktorá sa získa ako výsledok súčtu súčinov zodpovedajúcich vektorov.

Ak sú vektory dané v priestore, mali by ste použiť podobný vzorec:

Vlastnosti:

• Ak násobíte dva rovnaké vektory skalárne, potom ich bodový súčin nebude negatívny:

• Ak sa skalárny súčin dvoch rovnakých vektorov ukázal byť rovný nule, potom sa tieto vektory považujú za nulové:

• Ak sa nejaký vektor sám vynásobí, skalárny súčin sa bude rovnať štvorcu jeho modulu:

• Skalárny produkt má komunikatívnu vlastnosť, to znamená, že skalárny produkt sa nezmení z permutácie vektorov:

• Skalárny súčin nenulových vektorov môže byť nulový, iba ak sú vektory navzájom kolmé:

• Pre skalárny súčin vektorov platí zákon posunutia v prípade vynásobenia jedného z vektorov číslom:

• S bodkovým produktom môžete tiež použiť distribučnú vlastnosť násobenia:

Uhol medzi vektormi

Vektorový a bodový súčin uľahčuje výpočet uhla medzi vektormi. Nech sú dané dva vektory $ \\ overline (a) $ a $ \\ overline (b) $, ktorých orientovaný uhol je $ \\ varphi $. Vypočítajte hodnoty $ x \u003d (\\ overline (a), \\ overline (b)) $ a $ y \u003d [\\ overline (a), \\ overline (b)] $. Potom $ x \u003d r \\ cos \\ varphi $, $ y \u003d r \\ sin \\ varphi $, kde $ r \u003d | \\ overline (a) | \\ cdot | \\ overline (b) | $ a $ \\ varphi $ sú povinné uhol, to znamená, že bod $ (x, y) $ má polárny uhol rovný $ \\ varphi $, a preto $ \\ varphi $ možno nájsť ako atan2 (y, x).

Plocha trojuholníka

Pretože krížový súčin obsahuje súčin dvoch dĺžok vektora o kosínus uhla medzi nimi, je možné použiť krížový súčin na výpočet plochy trojuholníka ABC:

$ S_ (ABC) \u003d \\ frac (1) (2) | [\\ overline (AB), \\ overline (AC)] | $.

Lineárny bod patriaci

Nechajte bod $ P $ a priamku $ AB $ (dané dvoma bodmi $ A $ a $ B $). Je potrebné skontrolovať, či bod patrí do riadku $ AB $.

Bod patrí priamke $ AB $ práve vtedy, ak sú vektory $ AP $ a $ AB $ kolineárne, to znamená, ak $ [\\ overline (AP), \\ overline (AB)] \u003d 0 $.

Patriaci bod k lúču

Nech je daný bod $ P $ a lúč $ AB $ (daný dvoma bodmi - začiatkom lúča $ A $ a bodom na lúči $ B $). Je potrebné skontrolovať, či bod patrí lúču $ AB $.

K podmienke, že bod $ P $ patrí do riadku $ AB $, je potrebné pridať ďalšiu podmienku - vektory $ AP $ a $ AB $ sú smerové, to znamená, že sú kolineárne a ich skalárny súčin je nezáporný, to znamená $ (\\ overline (AB), \\ overline (AP )) \\ ge 0 $.

Bod patrí do úsečky

Nechajte bod $ P $ a segment $ AB $. Je potrebné skontrolovať, či bod patrí do segmentu $ AB $.

V takom prípade musí bod patriť lúčom $ AB $ i paprsku $ BA $, takže je potrebné skontrolovať nasledujúce podmienky:

$ [\\ overline (AP), \\ overline (AB)] \u003d 0 $,

$ (\\ overline (AB), \\ overline (AP)) \\ ge 0 $,

$ (\\ overline (BA), \\ overline (BP)) \\ ge 0 $.

Vzdialenosť od bodu k čiare

Nechajte bod $ P $ a priamku $ AB $ (dané dvoma bodmi $ A $ a $ B $). Je potrebné zistiť vzdialenosť od bodu priamky $ AB $.

Zvážte trojuholník ABP. Na jednej strane je jeho plocha $ S_ (ABP) \u003d \\ frac (1) (2) | [\\ overline (AB), \\ overline (AP)] | $.

Na druhej strane, jeho plocha je $ S_ (ABP) \u003d \\ frac (1) (2) h | AB | $, kde $ h $ je výška spadnutá z bodu $ P $, to znamená vzdialenosť od $ P $ do $ AB $. Odkiaľ $ h \u003d | [\\ overline (AB), \\ overline (AP)] | / | AB | $.

Vzdialenosť bodu od lúča

Nech je daný bod $ P $ a lúč $ AB $ (daný dvoma bodmi - pôvod lúča $ A $ a bod na lúči $ B $). Je potrebné nájsť vzdialenosť od bodu k lúču, to znamená dĺžku najkratšieho segmentu od bodu $ P $ k ľubovoľnému bodu na lúči.

Táto vzdialenosť sa rovná dĺžke $ AP $ alebo vzdialenosti od bodu $ P $ k priamke $ AB $. Ktorý z prípadov sa stane, je ľahké určiť podľa relatívnej polohy lúča a bodu. Ak je uhol PAB ostrý, to znamená $ (\\ overline (AB), \\ overline (AP))\u003e 0 $, potom bude odpoveďou vzdialenosť od bodu $ P $ k priamke $ AB $, inak bude odpoveďou dĺžka segmentu $ AB $.

Vzdialenosť od bodu k čiare

Nechajte bod $ P $ a segment $ AB $. Je potrebné nájsť vzdialenosť od $ P $ do segmentu $ AB $.

Ak základňa kolmice klesla z $ P $ na čiaru $ AB $ padá na segment $ AB $, čo sa dá overiť podmienkami

$ (\\ overline (AP), \\ overline (AB)) \\ ge 0 $,

$ (\\ overline (BP), \\ overline (BA)) \\ ge 0 $,

potom je odpoveďou vzdialenosť z bodu $ P $ do línie $ AB $. V opačnom prípade bude vzdialenosť $ \\ min (AP, BP) $.