Cieľ učenia:
zopakujte si definície rovnice, identity;
naučiť sa rozlišovať medzi pojmami rovnica a identita;
identifikovať spôsoby preukázania totožnosti;
zopakujte si metódy uvedenia jednočlenu do štandardného tvaru, sčítanie mnohočlenov, násobenie jednočlenu mnohočlenom pri dokazovaní totožnosti.
Cieľ vývoja:
rozvíjať kompetentnú matematickú reč žiakov (obohacovať a komplikovať slovnú zásobu pri používaní špeciálnych matematických termínov),
rozvíjať myslenie: schopnosť porovnávať, analyzovať, robiť analógie, predpovedať, vyvodzovať závery (pri výbere spôsobov preukázania identity);
rozvíjať vzdelávacie a kognitívne kompetencie žiakov.
vzdelávací cieľ:
rozvíjať schopnosť pracovať v skupine, koordinovať svoju činnosť s ostatnými účastníkmi vzdelávacieho procesu;
pestovať toleranciu.
Typ lekcie: komplexná aplikácia vedomostí.
Kroky lekcie: prípravný, aplikácia poznatkov, výsledok.
Hranica poznania - nevedomosti:
vie aplikovať operácie redukcie monomiálu na štandardnú formu;
sčítanie mnohočlenov, násobenie mnohočlenu mnohočlenom.
Rozlišujte medzi pojmami rovnica a identita;
vykonať dôkaz totožnosti;
racionálne voliť a uplatňovať metódy preukazovania totožnosti.
Predná práca
Verbálne
vizuálny
Aplikácia vedomostí (zabezpečenie asimilácie nových poznatkov a metód konania na úrovni aplikácie v zmenenej učebnej situácii)
Na základe premien ľavej a pravej časti daného
matematická rovnosť, identifikovať spôsoby preukazovania totožnosti;
Identifikujte racionálnu metódu z navrhnutých a vypracujte výber racionálneho riešenia pre danú podmienku identít
Vyhľadávanie
Praktické
Výsledok (analýza a hodnotenie úspešnosti dosiahnutia cieľa)
Zhrnutie práce na hodine vykonaním samostatnej práce, kde sa navrhuje vybrať identitu z prezentovaných rovníc a dokázať ju ktorýmkoľvek z navrhovaných spôsobov (najlepšie racionálnym);
Potom študenti sebahodnotia svoju prácu na hodine podľa zadaných (od začiatku hodiny) kritérií.
Predné
Verbálne
Náčrt lekcie (stručne):
1. fáza (prípravná)
Zvážte matematický zápis: (predná práca)
Študenti 7. ročníka sa spravidla domnievajú, že ide o rovnicu a po jej vyriešení dostanú lineárnu rovnicu v tvare: 0 x \u003d 0, platí pre ľubovoľné x.
Potom učiteľ ukáže prácu inej triedy a deti čelia rozporu - v práci inej triedy žiaci dokazujú, že je to to isté.
Výkon: treba venovať pozornosť tomu, že rovnakú rovnosť možno považovať za identitu a za rovnicu. Závisí to od podmienky pre danú prácu: ak je potrebné určiť, pri akej hodnote premennej rovnosti nastáva, potom táto- rovnica. A ak chcete dokázať, že rovnosť platí pre akékoľvek hodnoty premenných -identity.
2. Fáza (aplikácia)
Hľadanie spôsobov, ako dokázať totožnosť: (skupinová práca)
Napísaný výraz:
Praktická úloha v skupinách identifikovať spôsoby preukázania totožnosti:
Dodržiavať pravidlá pre prácu v skupinách (sú vytlačené na ceduľkách vyvesených učiteľom na pracoviskách žiakov)
Na papieri Whatman v spoločnej práci vykonajte niektoré transformácie podľa určitej technológie uvedenej v úlohe pre skupinu a dokážte, že daný výraz nezávisí od hodnôt premenných, čo znamená, že ide o identitu;
Vysvetlite vykonanú prácu a urobte záver: čo je to za spôsob preukazovania totožnosti;
Skupina úloh 1:
Presuňte pravú stranu rovnice na ľavú stranu. Dokážte, že tento výraz nezávisí od hodnoty premenných.
Skupina úloh 2:
Transformujte ľavú stranu rovnice. Dokážte, že sa rovná tej pravej, čo znamená, že tento výraz nezávisí od hodnoty premenných.
Skupina úloh 3:
Transformujte ľavú a pravú stranu rovnice súčasne. Dokážte, že táto rovnosť nezávisí od hodnoty premenných.
Pri zvažovaní práce, ktorú chlapci vykonali na preukázanie totožnosti, je vhodné znázorniť výsledky aplikovaných metód vo forme diagramov na samostatných listoch papiera s číselným ukazovateľom, aby bolo možné tieto diagramy v budúcnosti používa sa nielen v tejto, ale aj v iných lekciách algebry.
3. Fáza (výsledok)
a) Identity pre výber racionálneho riešenia: (predná práca)
5)
Príklad 2 Dokázať identitu
Túto identitu preukážeme transformáciou výrazu na pravej strane.
Metóda 1.
Preto 
Metóda 2.
V prvom rade si všimnite, že ctg α =/= 0; inak by výraz tg nedával zmysel α = 1/ctg α . Ale ak ctg α =/= 0, potom čitateľa a menovateľa radikálneho výrazu možno vynásobiť ctg α bez zmeny hodnoty zlomku. v dôsledku toho
Pomocou identít tg α ctg α = 1 a 1+ ctg 2 α = cosec 2 α , dostaneme
Preto 
Q.E.D.
Komentujte. Je potrebné venovať pozornosť tomu, že ľavá strana preukázanej totožnosti (sin α ) je definovaný pre všetky hodnoty α , a ten správny - len keď α =/= π / 2 n.
Preto len vtedy všetky prípustné hodnoty α Vo všeobecnosti tieto výrazy nie sú navzájom ekvivalentné.
Príklad 3 Dokázať identitu
hriech (3/2 π + α ) + cos ( π - α ) = cos(2 π + α )-3sin( π / 2 - α )
Ľavú a pravú časť tejto identity transformujeme pomocou redukčných vzorcov:
hriech (3/2 π + α ) + cos ( π - α ) = - čos α - čos α = - 2 kos α ;
pretože (2 π + α )-3sin( π / 2 - α ) = čos α - 3 cos α = - 2 kos α .
Teda výrazy v oboch častiach tejto identity sú redukované do rovnakej formy. Totožnosť je teda preukázaná.
Príklad 4 Dokázať identitu
hriech 4 α + pretože 4 α - 1 = - 2 hriech 2 α pretože 2 α .
Ukážme, že rozdiel medzi ľavou a pravou časťou. tejto identity je nula.
(hriech 4 α + pretože 4 α - 1) - (- 2 hriechy 2 α pretože 2 α ) = (hriech 4 α +2 hriech2 α pretože 2 α + pretože 4 α ) - 1 =
= (hriech 2 α + cos2 α ) 2 - 1 = 1 - 1 = 0.
Totožnosť je teda preukázaná.
Príklad 5 Dokázať identitu
Túto identitu možno považovať za proporčnú. Ale na preukázanie platnosti podielu a / b = c / d stačí ukázať, že súčin jeho extrémnych členov inzerát sa rovná súčinu jeho stredných členov bc. Tak to urobíme aj v tomto prípade. Ukážme, že (1 - hriech α ) (1+ hriech α ) = cos α cos α .
Naozaj, (1 - hriech α ) (1 + hriech α ) = 1-sin 2 α = cos2 α .
Dôkaz totožnosti. V matematike existuje veľa pojmov. Jednou z nich je identita.
- Identita je rovnosť, ktorá platí pre všetky hodnoty premenných, ktoré sú v nej zahrnuté.
Niektoré identity už poznáme. Napríklad všetky skrátené vzorce násobenia sú identity.
Dokázať identitu- to znamená stanoviť, že pre akúkoľvek prípustnú hodnotu premenných sa jej ľavá strana rovná pravej.
V algebre existuje niekoľko rôznych spôsobov dokazovania identity.
Spôsoby preukázania totožnosti
- ľavá strana identity. Ak sa nakoniec dostaneme na správnu stranu, identita sa považuje za preukázanú.
- Vykonajte ekvivalentné transformácie pravá strana identity. Ak nakoniec získame ľavú stranu, identita sa považuje za preukázanú.
- Vykonajte ekvivalentné transformácie ľavá a pravá strana identity. Ak vo výsledku dostaneme rovnaký výsledok, potom sa totožnosť považuje za preukázanú.
- Odpočítajte ľavú stranu od pravej strany identity.
- Odčítajte pravú stranu od ľavej strany identity. Na rozdiele vykonáme ekvivalentné transformácie. A ak nakoniec dostaneme nulu, identita sa považuje za preukázanú.
Malo by sa tiež pamätať na to, že identita je platná iba pre prípustné hodnoty premenných.
Ako vidíte, existuje veľa spôsobov. Aký spôsob zvoliť v tomto konkrétnom prípade závisí od totožnosti, ktorú potrebujete preukázať. Keď budete preukazovať rôzne identity, prídu skúsenosti s výberom spôsobu dokazovania.
Pozrime sa na niekoľko jednoduchých príkladov
Príklad 1
Dokážte totožnosť x*(a+b) + a*(b-x) = b*(a+x).
Riešenie.
Keďže na pravej strane je malý výraz, skúsme transformovať ľavú stranu rovnosti.
- x*(a+b) + a*(b-x) = x*a+x*b+a*b – a*x.
Uvádzame podobné výrazy a vynímame spoločný faktor zo zátvorky.
- x*a+x*b+a*b – a*x = x*b+a*b = b*(a+x).
Dostali sme, že ľavá strana sa po transformáciách stala rovnakou ako pravá. Preto je táto rovnosť identitou.
Príklad 2
Dokážte identitu a^2 + 7*a + 10 = (a+5)*(a+2).
Riešenie.
V tomto príklade môžete urobiť nasledovné. Otvorme zátvorky na pravej strane rovnosti.
- (a+5)*(a+2) = (a^2) +5*a +2*a +10= a^2+7*a+10.
Vidíme, že po transformáciách sa pravá strana rovnosti stala rovnakou ako ľavá strana rovnosti. Preto je táto rovnosť identitou.
V procese učenia by si študenti mali rozvíjať zručnosti dokazovania identity nasledujúcimi spôsobmi.
Ak chcete dokázať, že A=B, potom môžete
1. dokážte, že A - B \u003d O,
2. dokázať, že A/B = 1,
3. previesť A na formu B,
4. previesť B na formu A,
5. previesť A a B na rovnakú formu C.
Vlastnosti aritmetických operácií sa používajú ako podpora, na ktorej sú postavené dôkazy totožnosti. Niekedy sú do dôkazu zahrnuté geometrické koncepty a metódy. Geometrické dôkazy sú nielen poučné a názorné, ale pomáhajú aj upevňovať medziodborové prepojenia.
Dôkazy totožnosti možno rozdeliť do troch typov v závislosti od toho, ako spĺňajú požiadavky prísnosti:
a) Nie úplne rigorózne zdôvodnenie, ktoré si vyžaduje použitie metódy matematickej indukcie, ktorá im poskytne úplnú presnosť. Tieto dôkazy sa používajú na odvodenie pravidla pre akcie s polynómami, vlastnosti stupňov s prirodzenými exponentmi. Napríklad,
a k a r = (a a·····a) (a a······a) = a a······a = a k+p
k krát p krát k+r krát
b) Úplne rigorózne uvažovanie založené na základných vlastnostiach aritmetických operácií a bez použitia iných vlastností číselnej sústavy. Hlavnou oblasťou použitia takýchto dôkazov sú identity zníženého násobenia. Mnohé výroky vyjadrené vzorcami skráteného násobenia umožňujú vizuálno-geometrickú ilustráciu.
Príklad Pre identitu Učiteľ môže navrhnúť nasledujúcu ilustráciu:
c) Úplne rigorózna úvaha využívajúca podmienky riešiteľnosti pre rovnice tvaru Ψ(x) = a, kde Ψ je skúmaná elementárna funkcia. Takéto dôkazy sú typické pre odvodzovanie vlastností stupňa s racionálnym exponentom a logaritmickou funkciou. Napríklad pri dokazovaní vlastnosti aritmetického koreňa
(1)
budeme sa spoliehať na preformulovanie definície aritmetickej druhej odmocniny: pre nezáporné čísla x a y je rovnosť y \u003d 
A
y 2 = x sú ekvivalentné, takže (1) je ekvivalentné ( 
) 2
= (
) 2 (2). Odkiaľ nasleduje a v = ( 
) 2 (
) 2 = a c.
Metóda dôkazu, ktorá tu bola použitá, sa používa pomerne zriedka, je však potrebné zdôrazniť, že hlavnou myšlienkou dôkazu je porovnanie dvoch operácií (alebo funkcií) - priamej a inverznej k nej, ktoré budú použité už v r. stredná škola.
Technologický reťazec tvorby algoritmov a techník
identické premeny výrazov v hlavnej škole
|
Algoritmus a metódy výpočtu |
|
|
Celočíselné výrazy Typy celočíselných výrazov (monomické, mnohočlenné), ich stupeň, štandardný tvar, špeciálne prípady, skrátené vzorce na násobenie. Akcie s celočíselnými výrazmi: rozklad polynómu na faktory; výber celého štvorca v trojčlenke. |
1. Algoritmy na vykonávanie základných akcií s celočíselnými výrazmi. 2. Techniky faktorizácie polynómu. 3. Špeciálna technika na zvýraznenie celého štvorca v trojčlenke. 4. Zovšeobecnená metóda zjednodušenia celého výrazu. 5. Techniky preukazovania totožnosti. |
|
Racionálne výrazy Hlavná vlastnosť zlomkového výrazu a jej dôsledky. Redukcia zlomkových výrazov. Akcie s racionálnym výrazov. |
6. Techniky zápisu premien racionálnych výrazov. 7. Techniky použitia analógie s operáciami na racionálnych číslach vo všeobecných a konkrétnych prípadoch. 8. Zovšeobecnenie 4. a 5. metódy. |
|
Iracionálne výrazov Hlavná vlastnosť koreňa, najjednoduchšie premeny koreňov. Akcie s koreňmi, povýšenie výrazu na mocninu so zlomkovým exponentom. |
9. Špeciálne techniky pre základné transformácie aritmetických koreňov. 10. Techniky transformácie výrazov s mocninami s racionálnym exponentom. 11. Prijatie dôkazu o nerovnostiach. 12. Zovšeobecnenie techník 2, 4, 5 a 11. |
Zadanie na prednášku
Po analýze školských učebníc zostavte tabuľku identických rovnosti s uvedením súboru, na ktorom sa vykonáva.
Príklad
, М 1 – tie х, pre ktoré f(x) dáva zmysel.
PREDNÁŠKA №3 Preukazovanie totožnosti
Cieľ: 1. Zopakujte definície identity a identicky rovnocenných výrazov.
2.Zaviesť pojem identická transformácia výrazov.
3. Násobenie mnohočlenu mnohočlenom.
4. Rozklad polynómu na faktory metódou zoskupovania.
Máj každý deň a každú hodinu
Dostaneme niečo nové
Nech je naša myseľ dobrá
A srdce bude múdre!
V matematike existuje veľa pojmov. Jednou z nich je identita.
Identita je rovnosť, ktorá platí pre všetky hodnoty premenných, ktoré sú v nej zahrnuté. Niektoré identity už poznáme.
Napríklad všetky skrátené vzorce násobenia sú identity.
Skrátené vzorce násobenia
1. (a ± b)2 = a 2 ± 2 ab + b 2,
2. (a ± b)3 = a 3 ± 3 a 2b + 3ab 2 ± b 3,
3. a 2 - b 2 = (a - b)(a + b),
4. a 3 ± b 3 = (a ± b)(a 2 ab + b 2).
Dokázať identitu- to znamená stanoviť, že pre akúkoľvek prípustnú hodnotu premenných sa jej ľavá strana rovná pravej.
V algebre existuje niekoľko rôznych spôsobov dokazovania identity.
Spôsoby preukázania totožnosti
- Vykonajte ekvivalentné transformácie ľavá strana identity. Ak sa nakoniec dostaneme na správnu stranu, identita sa považuje za preukázanú. Vykonajte ekvivalentné transformácie pravá strana identity. Ak nakoniec získame ľavú stranu, identita sa považuje za preukázanú. Vykonajte ekvivalentné transformácie ľavá a pravá strana identity. Ak vo výsledku dostaneme rovnaký výsledok, potom sa totožnosť považuje za preukázanú. Odpočítajte ľavú stranu od pravej strany identity. Na rozdiele vykonáme ekvivalentné transformácie. A ak nakoniec dostaneme nulu, identita sa považuje za preukázanú. Odčítajte pravú stranu od ľavej strany identity. Na rozdiele vykonáme ekvivalentné transformácie. A ak nakoniec dostaneme nulu, identita sa považuje za preukázanú.
Malo by sa tiež pamätať na to, že identita je platná iba pre prípustné hodnoty premenných.
Ako vidíte, existuje veľa spôsobov. Aký spôsob zvoliť v tomto konkrétnom prípade závisí od totožnosti, ktorú potrebujete preukázať. Keď budete preukazovať rôzne identity, prídu skúsenosti s výberom spôsobu dokazovania.
Identita je rovnica, ktorá je splnená identicky, to znamená, že je platná pre všetky prípustné hodnoty jej základných premenných. Dokázať identitu znamená zistiť, že pre všetky prípustné hodnoty premenných sú jej ľavá a pravá časť rovnaké.
Spôsoby preukázania totožnosti:
1. Transformujte ľavú stranu a získajte pravú stranu ako výsledok.
2. Vykonajte premeny na pravej strane a nakoniec získajte ľavú stranu.
3. Samostatne sa transformuje pravá a ľavá časť a získa sa rovnaký výraz v prvom a druhom prípade.
4. Zložte rozdiel medzi ľavou a pravou časťou a v dôsledku jeho transformácií získajte nulu.
Pozrime sa na niekoľko jednoduchých príkladov
Príklad 1 Dokázať identitu x (a + b) + a (b-x) = b (a + x).
Riešenie.
Keďže na pravej strane je malý výraz, skúsme transformovať ľavú stranu rovnosti.
x (a + b) + a (b-x) = x a + x b + a b - a x.
Uvádzame podobné výrazy a vynímame spoločný faktor zo zátvorky.
x a + x b + a b – a x = x b + a b = b (a + x).
Dostali sme, že ľavá strana sa po transformáciách stala rovnakou ako pravá. Preto je táto rovnosť identitou.
Príklad 2 Dokážte totožnosť: a² + 7a + 10 = (a+5)(a+2).
Riešenie:
V tomto príklade môžete urobiť nasledovné. Otvorme zátvorky na pravej strane rovnosti.
(a+5) (a+2) = (a²) + 5 a +2 a +10 = a² + 7 a + 10.
Vidíme, že po transformáciách sa pravá strana rovnosti stala rovnakou ako ľavá strana rovnosti. Preto je táto rovnosť identitou.
„Nahradenie jedného výrazu iným, ktorý je mu zhodne rovný, sa nazýva identická transformácia výrazu“
Zistite, ktorá rovnosť je identita:
1. - (a - c) \u003d - a - c;
2. 2 (x + 4) = 2x - 4;
3. (x - 5) (-3) \u003d - 3x + 15.
4. pxy (- p2 x 2 y) = - p3 x 3 y3.
"Na dôkaz, že nejaká rovnosť je identita, alebo, ako sa hovorí, na preukázanie identity, sa používajú rovnaké transformácie výrazov."
Rovnosť platí pre všetky hodnoty premenných, tzv identity. Dokázať, že nejaká rovnosť je identita, alebo, ako sa hovorí inak, k preukázať totožnosť, použite identické transformácie výrazov.
Dokážme totožnosť:
xy - 3 roky - 5x + 16 = (x - 3) (y - 5) + 1
xy - 3r - 5x + 16 = (xy - 3y) + (- 5x + 15) +1 = y(x - 3) - 5 (x -3) +1 = (y - 5) (x - 3) + 1 V dôsledku toho transformácia identityľavú stranu polynómu, získali sme jeho pravú stranu a tým sme dokázali, že táto rovnosť je identity.
Pre doklady totožnosti transformovať jeho ľavú stranu na pravú stranu alebo jeho pravú stranu na ľavú stranu, alebo ukázať, že ľavá a pravá strana pôvodnej rovnosti sa zhodne rovnajú tomu istému výrazu.
Násobenie mnohočlenu mnohočlenom
Vynásobme polynóm a+b na polynóm c + d. Poskladáme súčin týchto polynómov:
(a+b)(c+d).
Označte dvojčlenku a+b list X a výsledný súčin transformovať podľa pravidla o násobení monočlenu polynómom:
(a+b)(c+d) = x(c+d) = xc + xd.
Vo výraze xc + xd. nahradiť namiesto X polynóm a+b a znova použite pravidlo na násobenie monomílu polynómom:
xc + xd = (a+b)c + (a+b)d = ac + bc + ad + bd.
Takže: (a+b)(c+d) = ac + bc + ad + bd.
Súčin polynómov a+b A c + d sme uviedli vo forme polynómu ac+bc+ad+bd. Tento polynóm je súčtom všetkých monočlenov získaných vynásobením každého člena polynómu a+b pre každý člen polynómu c + d.
Výkon:
súčin akýchkoľvek dvoch polynómov môže byť reprezentovaný ako polynóm.
pravidlo:
ak chcete vynásobiť polynóm polynómom, musíte vynásobiť každý člen jedného polynómu každým členom druhého polynómu a sčítať výsledné produkty.
Všimnite si, že pri násobení polynómu obsahujúceho m výrazy na polynóme obsahujúce nčlenov v produkte, pred redukciou podobných členov, by sa malo ukázať mnčlenov. Toto sa dá použiť na ovládanie.
Rozklad polynómu na faktory metódou zoskupovania:
Už dávnejšie sme sa zoznámili s rozkladom polynómu na faktory vyňatím spoločného faktora zo zátvoriek. Niekedy je možné faktorizovať polynóm pomocou inej metódy - zoskupenie svojich členov.
Faktorizácia polynómu
ab - 2b + 3a - 6
ab - 2b + 3a - 6 = (ab - 2b) + (3a - 6) = b(a - 2) + 3(a - 2) Každý člen výsledného výrazu má spoločný činiteľ (a - 2). Vyberme tento spoločný faktor zo zátvoriek:
b(a - 2) + 3 (a - 2) = (b + 3) (a - 2) Výsledkom je, že pôvodný polynóm sme zohľadnili:
ab - 2b + 3a - 6 = (b + 3)(a - 2) Metóda, ktorú sme použili na rozklad polynómu, je tzv. spôsob zoskupovania.
Polynomický rozklad ab - 2b + 3a - 6 možno vynásobiť odlišným zoskupením jeho výrazov:
ab - 2b + 3a - 6 = (ab + 3a) + (- 2b - 6) = a (b + 3) -2 (b + 3) = (a - 2) (b + 3)
Opakujte:
1. Spôsoby preukazovania totožnosti.
2. Čo sa nazýva identická transformácia výrazu.
3. Násobenie mnohočlenu mnohočlenom.
4. Faktorizácia polynómu metódou zoskupovania
