Súťaž pre mladých učiteľov
Brjanská oblasť
"Pedagogický debut - 2014"
akademický rok 2014-2015
Hodina upevňovania matematiky v 6. ročníku
na tému „NOD. Coprime čísla"
Miesto výkonu práce:MBOU "Stredná škola Glinishchevskaya" v regióne Bryansk
Ciele:
Vzdelávacie:
- Upevniť a systematizovať študovaný materiál;
- Rozvíjať schopnosti rozkladu čísel na prvočísla a nájdenie GCD;
- Skontrolujte vedomosti študentov a identifikujte medzery;
vyvíja sa:
- Prispievať k rozvoju logického myslenia žiakov, reči a zručností duševných operácií;
- Prispieť k formovaniu schopnosti všímať si vzory;
- Prispieť k zvýšeniu úrovne matematickej kultúry;
Vzdelávacie:
- Podporovať formovanie záujmu o matematiku; schopnosť vyjadrovať svoje myšlienky, počúvať ostatných, brániť svoj názor;
- výchova samostatnosti, koncentrácie, koncentrácie pozornosti;
- vštepiť zručnosti presnosti pri vedení zápisníka.
Typ lekcie: lekcia zovšeobecňovania a systematizácie vedomostí.
Vyučovacie metódy : výkladová a názorná, samostatná práca.
Vybavenie: počítač, obrazovka, prezentácia, leták.
Počas tried:
- Organizácia času.
"Zvonček zazvonil a stíchol - začína sa lekcia."
Ticho si sadol k svojim stolom, všetci sa na mňa pozreli.
Poprajte si navzájom úspechy svojimi očami.
A vpred za novými poznatkami.
Priatelia, na stoloch vidíte “Hodnotiaci hárok”, t.j. okrem môjho hodnotenia sa budete hodnotiť splnením každej úlohy.
Hodnotiaci papier
Chlapci, akú tému ste sa učili niekoľko hodín? (Naučili sme sa nájsť najväčšieho spoločného deliteľa).
Čo si myslíte, že dnes budeme robiť? Uveďte tému našej lekcie. (Dnes budeme pokračovať v práci s najväčším spoločným deliteľom. Témou našej lekcie je „Najväčší spoločný deliteľ“. V tejto lekcii nájdeme najväčšieho spoločného deliteľa viacerých čísel a vyriešime úlohy pomocou znalosti hľadania najväčšieho spoločný deliteľ.).
Otvorte zošity, zapíšte si číslo, triednu prácu a tému hodiny: „Najväčší spoločný deliteľ. Coprime čísla.
- Aktualizácia znalostí
Niekoľko teoretických otázok
Sú výroky pravdivé? "Áno" - __; "Nie" - /\. snímka 3-4
- Prvočíslo má práve dvoch deliteľov; (správny)
- 1 je prvočíslo; (nepravda)
- Najmenšie dvojciferné prvočíslo je 11; (správny)
- Najväčšie dvojciferné zložené číslo je 99; (správny)
- Čísla 8 a 10 sú coprime (nie sú pravdivé)
- Niektoré zložené čísla nemožno zahrnúť do prvočísel; (nepravda).
Kľúč: _ /\ _ _/\ /\.
Hodnotili svoju ústnu prácu v hodnotiacom hárku.
- Systematizácia vedomostí
Dnes v našej lekcii bude malá mágia.
Kde sa nachádza kúzlo? (v rozprávke)
Uhádni podľa obrázku, do akej rozprávky zapadneme. ( snímka 5 ) Rozprávka Husi-labute. Úplnú pravdu. Výborne. A teraz si skúsme všetci spoločne spomenúť na obsah tejto rozprávky. Reťaz je veľmi krátka.
Žili tam muž a žena. Mali dcéru a malého syna. Otec a matka odišli do práce a požiadali svoju dcéru, aby sa postarala o jej brata.
Posadila brata na trávu pod oknom a ona vybehla na ulicu, hrala sa, prechádzala sa. Keď sa dievča vrátilo, jej brat bol preč. Začala ho hľadať, kričala, volala naňho, no nikto sa neozval. Vybehla na otvorené pole a videla len: labutie husi sa prihnali v diaľke a zmizli za tmavým lesom. Potom si dievča uvedomilo, že jej zobrali brata. O tom, že labutie husi odnášajú malé deti, vedela už dávno.
Ponáhľala sa za nimi. Cestou stretla piecku, jabloň, rieku. Ale naša rieka nie je mliečna v želé bankách, ale obyčajná, v ktorej je veľmi, veľmi veľa rýb. Nikto z nich nenavrhol, kam husi leteli, pretože ona sama nesplnila ich požiadavky.
Dievča dlho bežalo po poliach, po lesoch. Deň sa už chýli ku koncu, zrazu vidí - je tu chatrč na kuracom stehne, s jedným oknom, točí sa samo. V chatrči stará Baba Yaga točí kúdeľ. A jej brat sedí na lavičke pri okne. Dievča nepovedalo, že si prišlo po brata, ale klamalo a tvrdilo, že sa stratilo. Keby nebolo tej malej myšky, ktorú kŕmila kašou, potom by ju Baba Yaga upražila v rúre a zjedla. Dievča rýchlo schmatlo brata a bežalo domov. Husi – labute si ich všimli a leteli za nimi. A či sa dostanú v poriadku domov - všetko teraz závisí od nás chlapov. Pokračujme v príbehu.
Bežia a utekajú a utekajú k rieke. Požiadali o pomoc rieke.
Ale rieka im pomôže schovať sa len vtedy, ak „chytíte“ všetky ryby.
Teraz budete pracovať vo dvojiciach. Každému páru dávam obálku - sieťku, v ktorej sú zamotané tri ryby. Vašou úlohou je získať všetky ryby, zapísať číslo 1 a vyriešiť
Rybie úlohy. Dokážte, že čísla sú coprime
1) 40 a 15 2) 45 a 49 3) 16 a 21
Vzájomné overovanie. Venujte pozornosť hodnotiacim kritériám. Snímka 6-7
Zovšeobecnenie: Ako dokázať, že čísla sú coprime?
Ohodnotené.
Výborne. Pomohol dievčaťu a chlapcovi. Rieka ich zasypala pod svojim brehom. Preleteli husi-labute.
Na znak vďačnosti pre vás chlapec strávi fyzickú minútu (video) Snímka 9
V akom prípade ich jabloň ukryje?
Ak dievča vyskúša svoje lesné jablko.
Správny. Poďme všetci spolu „jesť“ lesné jablká. A jablká na ňom nie sú jednoduché, s nezvyčajnými úlohami, nazývanými LOTTO. Veľké jablká „zjeme“ jedno na skupinu, t.j. pracujeme v skupinách. Nájdite GCD v každej bunke na malých kartách s odpoveďami. Keď sú všetky bunky zatvorené, otočte karty a mali by ste získať obrázok.
Úlohy o lesných jablkách
Nájsť GCD:
1 skupina | 2 skupina | ||
gcd(48,84)= | GCD (60,48)= | gcd(60,80)= | GCD (80,64)= |
gcd (12,15)= | gcd(15,20)= | GCD (50,30)= | gcd (12,16)= |
3 skupina | 4 skupina | ||
GCD (123,72)= | gcd(120,96)= | gcd(90,72)= | GCD(15;100)= |
gcd(45,30)= | GCD (15,9)= | gcd(14,42)= | GCD (34,51)= |
Kontrola: Prechádzam riadkami, kontrolujem obrázok
Zovšeobecnenie: Čo je potrebné urobiť, aby ste našli GCD?
Výborne. Jabloň ich prikryla konármi, prikryla lístím. Husi - labute ich stratili a leteli ďalej. Takže?
Znova sa rozbehli. Nebolo to ďaleko, vtedy ich zazreli husi, začali im biť krídlami, chceli im brata vytrhnúť z rúk. Bežali k sporáku. Sporák ich skryje, ak dievča vyskúša ražný koláč.
Pomôžme dievčaťu.Priradenie podľa možností, test
TEST
Téma
možnosť 1
- Ktoré čísla sú spoločnými deliteľmi 24 a 16?
1) 4, 8; 2) 6, 2, 4;
3) 2, 4, 8; 4) 8, 6.
- Je 9 najväčším spoločným deliteľom 27 a 36?
- Áno; 2) č.
- Dané čísla 128, 64 a 32. Ktoré z nich je najväčším deliteľom všetkých troch čísel?
1) 128; 2) 64; 3) 32.
- Sú čísla 7 a 418 koprimé?
1) áno; 2) č.
1) 5 a 25;
2) 64 a 2;
3) 12 a 10;
4) 100 a 9.
TEST
Téma : KÝVNUTIE. Coprime čísla.
možnosť 1
- Ktoré čísla sú spoločnými deliteľmi 18 a 12?
1) 9, 6, 3; 2) 2, 3, 4, 6;
3) 2, 3; 4) 2, 3, 6.
- Je 4 najväčší spoločný deliteľ 16 a 32?
- Áno; 2) č.
- Dané čísla 300, 150 a 600. Ktoré z nich je najväčším deliteľom všetkých troch čísel?
1) 600; 2) 150; 3) 300.
- Sú čísla 31 a 44 koprimé?
1) áno; 2) č.
- Ktoré z čísel sú relatívne prvočísla?
1) 9 a 18;
2) 105 a 65;
3) 44 a 45;
4) 6 a 16.
Vyšetrenie. Samokontrola zo sklíčka. Hodnotiace kritériá. Snímka 10-11
Výborne. Jedli koláče. Dievčatko a jej brat sedeli v stómii a schovali sa. Husi-labute lietali-leteli, kričali-kričali a odleteli k Baba Yaga bez ničoho.
Dievčina poďakovala sporáku a utekala domov.
Čoskoro sa otec aj matka vrátili z práce.
Zhrnutie lekcie. Keď sme pomáhali dievčaťu s chlapcom, aké témy sme si opakovali? (Nájdenie gcd dvoch čísel, prvočíselných čísel.)
Ako nájsť GCD niekoľkých prirodzených čísel?
Ako dokázať, že čísla sú coprime?
Počas hodiny som vám za každú úlohu dával známky a vy ste sa hodnotili. Ich porovnaním sa určí priemerné skóre za hodinu.
Reflexia.
Drahí priatelia! Keď to zhrnieme, rád by som počul váš názor na lekciu.
- Čo bolo na lekcii zaujímavé a poučné?
- Môžem si byť istý, že tento typ úlohy zvládnete?
- Ktorá z úloh sa ukázala ako najťažšia?
- Aké medzery vo vedomostiach sa objavili v lekcii?
- Aké problémy spôsobila táto lekcia?
- Ako hodnotíte úlohu učiteľa? Pomohlo vám to získať zručnosti a znalosti na riešenie týchto typov problémov?
Prilepte jablká na strom. Kto sa vyrovnal so všetkými úlohami a všetko bolo jasné - prilepte červené jablko. Kto mal otázku - zelený, kto nerozumel - žltý. snímka 12
Je výrok pravdivý? Najmenšie dvojciferné prvočíslo je 11
Je výrok pravdivý? Najväčšie dvojciferné zložené číslo je 99
Je výrok pravdivý? Čísla 8 a 10 sú coprime
Je výrok pravdivý? Niektoré zložené čísla nemožno zahrnúť do prvočísel
Kľúč k diktátu: _ /\ _ _ /\ /\ Hodnotiace kritériá Žiadne chyby - "5" 1-2 chyby - "4" 3 chyby - "3" Viac ako tri - "2"
Dokážte, že čísla 16 a 21 sú relatívne prvočísla 3 Dokážte, že čísla 40 a 15 sú relatívne prvočísla Dokážte, že čísla 45 a 49 sú relatívne prvočísla 2 1 40=2 2 2 5 15=3 5 gcd(40; 15) = 5, iné ako prvočísla 45=3 3 5 49=7 7 gcd(45; 49)=, druhé čísla 16=2 2 2 2 21=3 7 gcd(45; 49) =1, druhé čísla
Hodnotiace kritériá Žiadne chyby - "5" 1 chyba - "4" 2 chyby - "3" Viac ako dve - "2"
Skupina 1 GCD(48,84)= GCD(60,48)= GCD(12,15)= GCD(15,20)= Skupina 3 GCD(123,72)= GCD(120,96)= GCD(45, 30)= GCD(15,9)= Skupina 2 GCD( 60,80)= GCD(80,64)= GCD(50,30)= GCD(12,16)= Skupina 4 GCD(90,72)= GCD (15,100)= GCD (14,42)= GCD(34,51)=
Úlohy zo sporáka B1 3 2. 1 3. 3 4. 1 5. 4 B2 4 2. 2 3. 2 4. 1 5. 3
Hodnotiace kritériá Žiadne chyby - "5" 1-2 chyby - "4" 3 chyby - "3" Viac ako tri - "2"
Reflexia Všetko som pochopil, všetky úlohy som zvládol, vyskytli sa menšie ťažkosti, ale vyrovnal som sa s nimi, zostalo niekoľko otázok
Prvočísla a zložené čísla
Definícia 1. Spoločným deliteľom viacerých prirodzených čísel je číslo, ktoré je deliteľom každého z týchto čísel.
Definícia 2. Najväčší spoločný deliteľ je tzv najväčší spoločný deliteľ (gcd).
Príklad 1. Spoločnými deliteľmi čísel 30 , 45 a 60 budú čísla 3 , 5 , 15 . Najväčší spoločný deliteľ týchto čísel bude
gcd(30, 45, 10) = 15.
Definícia 3. Ak je najväčší spoločný deliteľ viacerých čísel 1, potom sa volajú tieto čísla nesúdeliteľné.
Príklad 2. Čísla 40 a 3 budú rovnaké, ale čísla 56 a 21 nie sú dvojčíslo, pretože čísla 56 a 21 majú spoločného deliteľa 7, ktorý je väčší ako 1.
Poznámka . Ak sú čitateľ zlomku a menovateľ zlomku relatívne prvočísla, potom je takýto zlomok nezredukovateľný.
Algoritmus na nájdenie najväčšieho spoločného deliteľa
Zvážte Algoritmus na nájdenie najväčšieho spoločného deliteľa niekoľko čísel v nasledujúcom príklade.
Príklad 3. Nájdite najväčšieho spoločného deliteľa čísel 100, 750 a 800.
Riešenie . Rozložme tieto čísla na prvočísla:
Prvočíslo 2 vstupuje do prvého rozkladu na mocninu 2, druhého rozkladu na mocninu 1 a tretieho rozkladu na mocninu 5. Označiť najmenej týchto stupňov s písmenom a. To je zrejmé a = 1 .
Prvočiniteľ 3 je zahrnutý v prvom rozklade na mocninu 0 (inými slovami, faktor 3 nie je zahrnutý v prvom rozklade vôbec), je zahrnutý v druhom rozklade na mocninu 1 a na tretia rozklad na mocninu 0. Označiť najmenej týchto stupňov s písmenom b. To je zrejmé b = 0 .
Prvočíslo 5 vstupuje do prvého rozkladu na mocninu 2, druhého rozkladu na mocninu 3 a tretieho rozkladu na mocninu 2. Označiť najmenej týchto stupňov písmenom c. To je zrejmé c = 2 .
mestskej časti Tolyatti
„Najväčší spoločný deliteľ. Coprime čísla.
Učiteľka Kostina T.K.
g. o. Tolyatti
Prezentácia na tému: "Najväčší spoločný deliteľ.
Coprime čísla"
Predbežná príprava na lekciu:žiaci by mali poznať témy: "Dely a násobky", "Znaky deliteľnosti 10, 5, 2, 3, 9", "Prvočísla a zložené čísla", "Rozklad na prvočiniteľa"
Ciele lekcie:
Vzdelávacie: študovať pojmy GCD a relatívne prvočísla; naučiť študentov nájsť čísla GCD; vytvárať podmienky na rozvíjanie schopnosti sumarizovať preberaný materiál, analyzovať, porovnávať a vyvodzovať závery.
Vzdelávacie: formovanie zručností sebaovládania; pestovanie zmyslu pre zodpovednosť.
Rozvíjanie: rozvoj pamäti, predstavivosti, myslenia, pozornosti, vynaliezavosti.
Počas vyučovania
Zápisnice logických úlohÚstna práca.
1. Starí rodičia priniesli zo záhrady nepárny počet marhúľ pre svoje dve vnúčatá. Dajú sa tieto marhule rozdeliť rovným dielom medzi vnúčatá? [môcť]
2. Z jednej dediny do druhej 3 km. Z týchto dedín vyšli oproti sebe dvaja ľudia rovnakou rýchlosťou. Stretnutie sa uskutočnilo o pol hodiny neskôr. Nájdite rýchlosť každého z nich.
3. Turista má za sebou 2/5 celej cesty. Potom musel prejsť o 4 km viac ako prekonal. Nájsť celú cestu.
4. Počet vajíčok v košíku je menší ako 40. Ak sa počítajú v pároch, zostane 1 vajce. Ak ich spočítate v trojiciach, potom bude stále každé jedno vajce. Koľko vajec je v košíku? (31)
2. Opakovanie.
Podľa tabuľky zopakujeme definíciu deliteľa, násobku, znaky deliteľnosti, definíciu prvočísel a zložených čísel. Na obrazovke sú diapozitívy zobrazujúce zvieratá, mapa regiónu Samara, fotografie VAZ.
3. Učenie sa nového materiálu formou rozhovoru.
Aké sú deliče čísla 18, 21, 24.
Rozloha VAZ je 500 hektárov. Na aké prvočísla možno toto číslo rozložiť? 500=2*5*2*5*5=2 2 *5 3
Aké sú spoločné deliče čísel 120 a 80.
Hmotnosť medveďa je 525 kg. Hmotnosť slona je 5025 kg. Vymenujte niektorých spoločných deliteľov
Bobor váži 24 kg a je dlhý 97 cm Ktoré čísla sú jednoduché alebo zložité? Pomenujte ich spoločných deliteľov.
56640 ton kyslíka spotrebuje 1 osobné lietadlo na 9 hodín prevádzky. Toto množstvo kyslíka sa uvoľňuje pri fotosyntéze 35 000 hektárov lesa. Vymenujte niektorých deliteľov tohto čísla.
Ktoré z týchto čísel sú prvočísla a ktoré sú zložené? 111, 313, 323, 437, 549, 677, 781, 891?
Ktoré číslo je deliteľné všetkými číslami bez zvyšku?
Aký je deliteľ akéhokoľvek prirodzeného čísla?
Je výraz 34*28+85*20 deliteľný 17?
Je výraz 4132*7008 deliteľný 3?
Aký je kvocient (3*5*2*7*13)/(5*2*13)=?
Aký je súčin (2*5*5*5*3)*(2*2*2*2*3)?
Vymenuj nejaké prvočísla.
Čím ďalej ideme v prirodzenom rade čísel, tým ťažšie je nájsť prvočísla. Predstavte si, že letíme v lietadle, ktoré letí pozdĺž prirodzenej línie. Všade naokolo je tma a svetielkami sú označené len prvočísla. Na začiatku cesty je veľa svetiel a potom čoraz menej.
Staroveký grécky vedec Euclid pred 2300 rokmi dokázal, že existuje nekonečne veľa prvočísel a že neexistuje najväčšie prvočíslo.
Problémom prvočísel sa zaoberali mnohí matematici vrátane starovekého gréckeho vedca Eratosthenesa. Jeho metóda zisťovania prvočísel sa nazývala Eratosthenovo sito.
Problémom prvočísel sa zaoberali Goldbach a Euler, ktorí žili v 18. storočí a boli členmi Petrohradskej akadémie vied. Predpokladali, že každé prirodzené číslo možno znázorniť ako súčet prvočísel, čo však nebolo dokázané. V roku 1937 sovietsky akademik Vinogradov tento návrh potvrdil.
Slon indický sa dožil 65 rokov, krokodíl 51 rokov, ťava 23 rokov a kôň 19 rokov. Ktoré z týchto čísel sú prvočísla a zložené?
Vlk prenasleduje zajaca, potrebuje sa dostať cez labyrint. Môžete prejsť, ak je odpoveďou prvočíslo [bludisko v tvare kruhov, na ktorých sú tri príklady a v strede je dom]
1000-2; 250*2+9; 310/5
24/4, 2 2 +41, 23+140
10-3; 133+12; 28*5
K úlohe na tabuli:
Deliče 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 48
Deliče 36: 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18, 36
GCD (48; 36) \u003d 12 12 darov určenie GCD deliteľa pravidlo na nájdenie GCD
A ako nájsť GCD veľkých čísel, keď je ťažké vypísať všetkých deliteľov. Podľa tabuľky a učebnice odvodíme pravidlo. Zvýrazňujeme hlavné slová: rozložiť, skladať, množiť.
Ukážem príklady hľadania GCD z veľkých čísel, tu môžeme povedať, že GCD veľkých čísel možno nájsť pomocou euklidovského algoritmu. S týmto algoritmom sa podrobne zoznámime v triede matematickej školy.
Algoritmus je pravidlo, podľa ktorého sa vykonávajú akcie. V 9. storočí dal takéto pravidlá arabský matematik Alkhvaruimi.
4. Pracujte v skupinách po 4 ľuďoch.
Každý dostane jednu zo 4 možností úloh, kde je uvedené nasledovné:
Žiak si musí naštudovať teóriu z učebnice a odpovedať na jednu otázku
Preštudujte si príklad nájdenia GCD
Plňte úlohy pre samostatnú prácu.
Na konci práce sa vykoná malá samostatná práca.
CSR karty
možnosť 1
1. Aké číslo sa nazýva prvočíslo? Čo je to zložené číslo?
2. Nájdite GCD (96; 36)
Ak chcete nájsť GCD čísel, musíte dané čísla rozložiť na prvočísla.
| 96 | 2 |
| 48 | 2 |
| 24 | 2 |
| 12 | 2 |
| 6 | 2 |
| 3 | 3 |
| 1 |
| 36 | 2 |
| 18 | 2 |
| 9 | 3 |
| 3 | 3 |
| 1 | |
36=2 2 *3 2
96=2 5 *3
Rozšírenie čísla, ktoré je GCD čísel 96 a 36, bude zahŕňať spoločné prvočísla s najmenším exponentom:
GCD (96;36) = 22*3=4*3=12
3. Rozhodnite sa sami. GCD(102; 84), GCD(75; 28), GCD(120; 144)
Možnosť 2
1. Čo znamená rozklad prirodzeného čísla na prvočísla? Aký je spoločný deliteľ týchto čísel?
2. Vzorka GCD (54; 72) = 18
3. Vyriešte sami GCD(144; 128), GCD(81; 64), GCD(360; 840)
Možnosť 3
1. Aké čísla sa nazývajú relatívne prvočísla? Uveďte príklad.
2. Vzorka GCD (72; 96) =24
3. Vyriešte sami GCD(102; 170), GCD(45; 64), GCD(864; 192)
Možnosť 4
1. Ako nájsť spoločného deliteľa čísel?
2. Ukážka GCD (360; 432)
3. Vyriešte sami GCD (135; 105), GCD (128; 75), GCD (360; 8400)
Samostatná práca
| možnosť 1 | Možnosť 2 | Možnosť 3 | Možnosť 4 |
| NOD (180; 120) | NOD (150; 375) | NOD (135; 315; 450) | NOD (250; 125; 375) |
| NOD (2016; 1320) | NOD (504; 756) | NOD (1575, 6615) | NOD (468; 702) |
| NOD (3120; 900) | NOD (1028; 1152) | NOD (1512; 1008) | NOD (3375; 2250) |
5. Zhrnutie lekcie. Vykazovanie známok za samostatnú prácu.
Spoločné deliče
Príklad 1
Nájdite spoločných deliteľov čísel $15$ a $–25$.
Riešenie.
Deliče čísla 15 $: 1, 3, 5, 15 $ a ich protiklady.
Deliče čísla $–25: $1, $5, $25 a ich protiklady.
Odpoveď: $15$ a $–25$ majú spoločných deliteľov $1, 5$ a ich protiklady.
Podľa vlastností deliteľnosti sú čísla $−1$ a $1$ deliteľmi akéhokoľvek celého čísla, takže $−1$ a $1$ budú vždy spoločnými deliteľmi pre akékoľvek celé čísla.
Každá množina celých čísel bude mať vždy aspoň $2$ spoločných deliteľov: $1$ a $-1$.
Všimnite si, že ak je celé číslo $a$ spoločným deliteľom niektorých celých čísel, potom -a bude tiež spoločným deliteľom týchto celých čísel.
Najčastejšie sa v praxi obmedzujú len na kladných deliteľov, no nezabúdajte, že každé celé číslo opačné k kladnému deliteľovi bude aj deliteľom tohto čísla.
Nájdenie najväčšieho spoločného deliteľa (GCD)
Podľa vlastností deliteľnosti má každé celé číslo aspoň jedného deliteľa iného ako nula a počet takýchto deliteľov je konečný. V tomto prípade sú aj spoloční delitelia daných čísel konečným číslom. Zo všetkých spoločných deliteľov daných čísel môžete vybrať najväčšie číslo.
Ak sú všetky tieto čísla rovné nule, nie je možné určiť najväčšieho zo spoločných deliteľov, pretože nula je deliteľná akýmkoľvek celým číslom, ktorých je nekonečné množstvo.
Najväčší spoločný deliteľ čísel $a$ a $b$ v matematike je označený ako $gcd(a, b)$.
Príklad 2
Nájdite gcd celých čísel 412 $ a $ – 30 $..
Riešenie.
Poďme nájsť deliteľa každého z čísel:
$12$: čísla $1, 3, 4, 6, 12 $ a ich protiklady.
$–30$: čísla $1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 $ a ich protiklady.
Spoločnými deliteľmi čísel $12$ a $–30$ sú $1, 3, 6$ a ich protiklady.
$gcd (12, -30)=6$.
Je možné určiť GCD troch alebo viacerých celých čísel rovnakým spôsobom ako definíciu GCD dvoch čísel.
GCD troch alebo viacerých celých čísel je najväčšie celé číslo, ktoré delí všetky čísla súčasne.
Označte najväčšieho deliteľa $n$ čísel $gcd(a_1, a_2, …, a_n)= b$.
Príklad 3
Nájdite gcd troch celých čísel $ – 12, 32, 56 $.
Riešenie.
Nájdite všetkých deliteľov každého z čísel:
$–12$: čísla $1, 2, 3, 4, 6, 12$ a ich protiklady;
$32$: čísla $1, 2, 4, 8, 16, 32 $ a ich protiklady;
$56$: čísla $1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56 $ a ich protiklady.
Spoločnými deliteľmi čísel $–12, 32, 56$ sú $1, 2, 4$ a ich protiklady.
Nájdite najväčšie z týchto čísel porovnaním iba kladných čísel: 1 USD
$gcd(-12, 32, 56)=4$.
V niektorých prípadoch môže byť gcd celých čísel jedným z týchto čísel.
Coprime čísla
Definícia 3
Celé čísla $a$ a $b$ – nesúdeliteľné, ak $gcd(a, b)=1$.
Príklad 4
Ukážte, že čísla $ 7 $ a $ 13 $ sú coprime.
Riešenie problémov z učebnice Vilenkin, Zhokhov, Chesnokov, Schwarzburd pre ročník 6 z matematiky na tému:
§ 1. Deliteľnosť čísel:
6. Najväčší spoločný deliteľ. Coprime čísla
146 Nájdite všetkých spoločných deliteľov čísel 18 a 60; 72, 96 a 120; 35 a 88.
RIEŠENIE
147 Nájdite rozklad na prvočíslo najväčšieho spoločného deliteľa aab, ak a = 2 2 3 3 a b = 2 3 3 5; a = 5 5 7 7 7 a b = 3 5 7 7.
RIEŠENIE
148 Nájdite najväčšieho spoločného deliteľa čísel 12 a 18; 50 a 175; 675 a 825; 7920 a 594; 324, 111 a 432; 320, 640 a 960.
RIEŠENIE
149 Sú čísla 35 a 40 coprime; 77 a 20; 10, 30, 41; 231 a 280?
RIEŠENIE
150 Sú čísla 35 a 40 coprime; 77 a 20; 10, 30, 41; 231 a 280?
RIEŠENIE
151 Napíšte všetky vlastné zlomky s menovateľom 12, ktorých čitateľ a menovateľ sú relatívne prvočísla.
RIEŠENIE
152 Chlapci dostali rovnaké darčeky na novoročný stromček. Všetky darčeky spolu obsahovali 123 pomarančov a 82 jabĺk. Koľko detí bolo prítomných pri vianočnom stromčeku? Koľko pomarančov a koľko jabĺk bolo v každom darčeku?
RIEŠENIE
153 Na cestu mimo mesta bolo zamestnancom závodu pridelených niekoľko autobusov s rovnakým počtom miest na sedenie. Do lesa išlo 424 ľudí a do jazera 477 ľudí. Všetky miesta v autobusoch boli obsadené a bez miesta nezostal ani jeden človek. Koľko autobusov bolo pridelených a koľko cestujúcich bolo v každom z nich?
RIEŠENIE
154 Vypočítajte slovne v stĺpci
RIEŠENIE
155 Pomocou obrázku 7 určite, či čísla a, b a c sú prvočísla.
RIEŠENIE
156 Existuje kocka, ktorej hrana je vyjadrená prirodzeným číslom a ktorej súčet dĺžok všetkých hrán je vyjadrený prvočíslom; plocha vyjadrená ako prvočíslo?
RIEŠENIE
157 Rozlož čísla 875; 2376; 5625; 2025; 3969; 13125.
RIEŠENIE
Prečo, ak sa jedno číslo dá rozložiť na dva prvočísla a druhé na tri, potom sa tieto čísla nerovnajú?
RIEŠENIE
159 Je možné nájsť štyri odlišné prvočísla tak, že súčin dvoch z nich sa rovná súčinu ostatných dvoch?
RIEŠENIE
160 Koľkými spôsobmi sa zmestí 9 cestujúcich do deväťmiestneho mikrobusu? Koľkými spôsobmi sa dokážu prispôsobiť, ak si vedľa vodiča sadne jeden z nich, ktorý dobre pozná trasu?
RIEŠENIE
161 Nájdite hodnoty výrazov (3 8 5-11): (8 11); (2 2 3 5 7): (2 3 7); (2 3 7 1 3): (3 7); (3 5 11 17 23): (3 11 17).
RIEŠENIE
162 Porovnaj 3/7 a 5/7; 11/13 a 8/13;1 2/3 a 5/3; 2 2/7 a 3 1/5.
RIEŠENIE
163 Použite uhlomer na zobrazenie AOB=35° a DEF=140°.
RIEŠENIE
164 1) Lúč OM rozdelil rozvinutý uhol AOB na dva: AOM a MOB. Uhol AOM je 3-krát väčší ako MOB. Aké sú uhly AOM a BOM. Postavte ich. 2) Lúč OK rozdelil rozvinutý uhol COD na dva: SOK a KOD. Uhol SOC je 4-krát menší ako KOD. Aké sú uhly COK a KOD? Postavte ich.
RIEŠENIE
165 1) Robotníci za tri dni opravili cestu dlhú 820 m. V utorok opravili 2/5 tejto cesty a v stredu 2/3 zvyšku. Koľko metrov cesty opravovali robotníci vo štvrtok? 2) Farma má kravy, ovce a kozy, spolu 3400 zvierat. Ovce a kozy spolu tvoria 9/17 všetkých zvierat a kozy tvoria 2/9 z celkového počtu oviec a kôz. Koľko kráv, oviec a kôz je na farme?
RIEŠENIE
166 Vyjadrite ako spoločný zlomok čísla 0,3; 0,13; 0,2 a ako desatinný zlomok 3/8; 4 1/2; 3 25. 7
RIEŠENIE
167 Vykonajte akciu a zapíšte každé číslo ako desatinný zlomok 1/2 + 2/5; 1 1/4 + 2 3/25
RIEŠENIE
168 Vyjadrite ako súčet prvočísel čísla 10, 36, 54, 15, 27 a 49 tak, aby ich bolo čo najmenej. Aké návrhy môžete urobiť v súvislosti s reprezentáciou čísel ako súčtu prvočísel?
RIEŠENIE
169 Nájdite najväčšieho spoločného deliteľa aab, ak a = 3 3 5 5 5 7, b = 3 5 5 11; a = 2 2 2 3 5 7, b = 3 11 13 .
