Čo sa nazýva hodnota algebraického zlomku. Video lekcia „Algebraické zlomky

Táto lekcia sa zaoberá konceptom algebraického zlomku. Ľudia sa so zlomkami stretávajú v najjednoduchších životných situáciách: keď je potrebné rozdeliť predmet na niekoľko častí, napríklad rozkrojiť tortu rovnomerne na desať ľudí. Je zrejmé, že každý dostane kúsok koláča. V tomto prípade sa stretávame s pojmom číselný zlomok, ale je možná situácia, keď je objekt rozdelený na neznámy počet častí, napríklad x. V tomto prípade vzniká koncept zlomkového výrazu. S celými výrazmi (neobsahujúcimi delenie na výrazy s premennými) a ich vlastnosťami ste sa zoznámili už v 7. ročníku. Ďalej sa pozrieme na koncept racionálneho zlomku, ako aj na prijateľné hodnoty premenných.

Predmet:Algebraické zlomky. Aritmetické operácie na algebraických zlomkoch

lekcia:Základné pojmy

1. Definícia a príklady algebraických zlomkov

Racionálne výrazy sa delia na celočíselné a zlomkové výrazy.

Definícia. Racionálny zlomok je zlomkové vyjadrenie tvaru , kde sú polynómy. - menovateľ čitateľa.

Príklady racionálne vyjadrenia:- zlomkové výrazy; - celé výrazy. Napríklad v prvom výraze je čitateľ a menovateľ je .

Význam algebraický zlomok ako ktokoľvek algebraický výraz, závisí od číselnej hodnoty premenných, ktoré sú v ňom zahrnuté. Najmä v prvom príklade závisí hodnota zlomku od hodnôt premenných a a v druhom príklade iba od hodnoty premennej .

2. Výpočet hodnoty algebraického zlomku a dvoch základných zlomkových úloh

Zoberme si prvú typickú úlohu: výpočet hodnoty racionálny zlomok pre rôzne hodnoty premenných v ňom zahrnutých.

Príklad 1. Vypočítajte hodnotu zlomku pre a) , b) , c)

Riešenie. Dosaďte hodnoty premenných do uvedeného zlomku: a) , b) , c) - neexistuje (keďže nemôžete deliť nulou).

Odpoveď: 3; 1; neexistuje.

Ako vidíte, pre každý zlomok vznikajú dva typické problémy: 1) výpočet zlomku, 2) nájdenie platné a neplatné hodnoty písmenové premenné.

Definícia. Platné hodnoty premenných- hodnoty premenných, pri ktorých má výraz zmysel. Volá sa množina všetkých možných hodnôt premenných ODZ alebo domény.

3. Prijateľné (ADV) a neprijateľné hodnoty premenných v zlomkoch s jednou premennou

Hodnota doslovných premenných môže byť neplatná, ak je menovateľ zlomku pri týchto hodnotách nula. Vo všetkých ostatných prípadoch sú hodnoty premenných platné, pretože zlomok je možné vypočítať.

Príklad 2. Stanovte, pri akých hodnotách premennej zlomok nedáva zmysel.

Riešenie. Aby tento výraz dával zmysel, je potrebné a postačujúce, aby sa menovateľ zlomku nerovnal nule. Neplatné teda budú iba tie hodnoty premennej, ktorých menovateľ je rovný nule. Menovateľ zlomku je , takže riešime lineárnu rovnicu:

Preto vzhľadom na hodnotu premennej nemá zlomok žiadny význam.

Z riešenia príkladu vyplýva pravidlo na nájdenie neplatných hodnôt premenných - menovateľ zlomku sa rovná nule a nájdu sa korene zodpovedajúcej rovnice.

Pozrime sa na niekoľko podobných príkladov.

Príklad 3. Stanovte, pri akých hodnotách premennej zlomok nedáva zmysel.

Riešenie. .

Odpoveď. .

Príklad 4. Stanovte, pri akých hodnotách premennej zlomok nedáva zmysel.

Riešenie..

Existujú aj iné formulácie tohto problému - nájsť domény alebo rozsah prijateľných hodnôt výrazu (APV). To znamená nájsť všetky platné hodnoty premenných. V našom príklade sú to všetky hodnoty okrem . Je vhodné zobraziť oblasť definície na číselnej osi.

Aby sme to dosiahli, vyrežeme na ňom bod, ako je znázornené na obrázku:

teda doména definície frakcií budú tam všetky čísla okrem 3.

odpoveď..

Príklad 5. Stanovte, pri akých hodnotách premennej zlomok nedáva zmysel.

Riešenie..

Výsledné riešenie znázornime na číselnej osi:

odpoveď..

4. Grafické znázornenie oblasti prijateľných (AP) a neprijateľných hodnôt premenných v zlomkoch

Príklad 6. Stanovte, pri akých hodnotách premenných zlomok nedáva zmysel.

Riešenie.. Získali sme rovnosť dvoch premenných, uvedieme číselné príklady: alebo, atď.

Znázornime toto riešenie na grafe v karteziánskom súradnicovom systéme:

Ryža. 3. Graf funkcií.

Súradnice ktoréhokoľvek bodu ležiaceho na tomto grafe nie sú zahrnuté v rozsahu prijateľných zlomkových hodnôt.

Odpoveď. .

5. Prípad typu „delenie nulou“.

V diskutovaných príkladoch sme sa stretli so situáciou, kedy došlo k deleniu nulou. Teraz zvážte prípad, keď nastane zaujímavejšia situácia s delením typov.

Príklad 7. Stanovte, pri akých hodnotách premenných zlomok nedáva zmysel.

Riešenie..

Ukazuje sa, že zlomok nemá zmysel pri . Niekto by však mohol namietať, že to tak nie je, pretože: .

Môže sa zdať, že ak je výsledný výraz rovný 8 na , potom sa dá vypočítať aj pôvodný, a preto dáva zmysel pri . Ak to však dosadíme do pôvodného výrazu, dostaneme – nemá to zmysel.

odpoveď..

Aby sme tento príklad pochopili podrobnejšie, vyriešme nasledujúci problém: pri akých hodnotách sa uvedený zlomok rovná nule?

(zlomok je nula, keď je jeho čitateľ nula) . Pôvodnú rovnicu je ale potrebné riešiť zlomkom a pre , to nemá zmysel, keďže pri tejto hodnote premennej je menovateľ nula. To znamená, že táto rovnica má iba jeden koreň.

6. Pravidlo pre zistenie ODZ

Môžeme teda sformulovať presné pravidlo na nájdenie rozsahu prípustných hodnôt zlomku: nájsť ODZzlomky je potrebné a postačujúce prirovnať jej menovateľa k nule a nájsť korene výslednej rovnice.

Zvažovali sme dve hlavné úlohy: výpočet hodnoty zlomku pre zadané hodnoty premenných a nájdenie rozsahu prijateľných hodnôt zlomku.

Pozrime sa teraz na niekoľko ďalších problémov, ktoré môžu nastať pri práci so zlomkami.

7. Rôzne úlohy a závery

Príklad 8. Dokážte, že pre ľubovoľné hodnoty premennej je zlomok .

Dôkaz. Čitateľ je kladné číslo. . Výsledkom je, že čitateľ aj menovateľ sú kladné čísla, preto je zlomok kladné číslo.

Osvedčené.

Príklad 9. Je známe, že , nájdite .

Riešenie. Rozdeľme zlomkový člen podľa členu. Máme právo znížiť o, berúc do úvahy skutočnosť, že ide o neplatnú premennú hodnotu pre daný zlomok.

odpoveď..

V tejto lekcii sme prebrali základné pojmy súvisiace so zlomkami. V ďalšej lekcii sa na to pozrieme hlavná vlastnosť zlomku.

Bibliografia

1. Bashmakov M. I. Algebra 8. ročník. - M.: Vzdelávanie, 2004.

2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E. A. a kol., Algebra 8. - 5. vydanie. - M.: Vzdelávanie, 2010.

3. Nikolsky S. M., Potapov M. A., Reshetnikov N. N., Shevkin A. V. Algebra 8. ročník. Učebnica pre všeobecnovzdelávacie inštitúcie. - M.: Vzdelávanie, 2006.

1. Festival pedagogických myšlienok.

2. Stará škola.

3. Internetový portál lib2.podelise. ru.

Domáca úloha

1. č. - M.: Vzdelávanie, 2010.

2. Napíšte racionálny zlomok, ktorého definičný obor je: a) množina, b) množina, c) celý číselný rad.

3. Dokážte, že pre všetky možné hodnoty premennej je hodnota zlomku nezáporná.

4. Nájdite doménu výrazu. Návod: zvážte oddelene dva prípady: keď je menovateľ dolného zlomku nula a keď menovateľ pôvodného zlomku je nula.

V § 42 bolo povedané, že ak nie je možné vykonať delenie polynómov úplne, potom sa podiel zapíše v tvare zlomku, v ktorom deliteľ je čitateľ a deliteľ je menovateľ.

Príklady zlomkových výrazov:

Čitateľ a menovateľ zlomkového výrazu môžu byť samotnými zlomkovými výrazmi, napríklad:

Zo zlomkových algebraických výrazov sa najčastejšie musíte zaoberať tými, v ktorých čitateľ a menovateľ sú polynómy (najmä monočleny). Každý takýto výraz sa nazýva algebraický zlomok.

Definícia. Algebraický výraz, ktorý je zlomkom, ktorého čitateľ a menovateľ sú polynómy, sa nazýva algebraický zlomok.

Rovnako ako v aritmetike sa čitateľ a menovateľ algebraického zlomku nazývajú členy zlomku.

V budúcnosti, po štúdiu operácií s algebraickými zlomkami, budeme môcť transformovať akýkoľvek zlomkový výraz na algebraický zlomok pomocou identických transformácií.

Príklady algebraických zlomkov:

Všimnite si, že celý výraz, teda polynóm, je možné zapísať ako zlomok, na to stačí tento výraz napísať do čitateľa a do menovateľa 1. Napríklad:

2. Prijateľné písmenové hodnoty.

Písmená zahrnuté iba v čitateli môžu nadobudnúť akékoľvek hodnoty (pokiaľ stav problému nezavádza ďalšie obmedzenia).

Pre písmená zahrnuté v menovateli sú platné iba tie hodnoty, ktoré menovateľa nevynulujú. Preto v nasledujúcom budeme vždy predpokladať, že menovateľ algebraického zlomku sa nerovná nule.

Keď študent nastúpi na strednú školu, matematika je rozdelená do dvoch predmetov: algebra a geometria. Konceptov je čoraz viac, úlohy sú čoraz ťažšie. Niektorí ľudia majú problém porozumieť zlomkom. Zmeškal som prvú lekciu na túto tému a voila. zlomky? Otázka, ktorá ma bude trápiť počas celého školského života.

Pojem algebraického zlomku

Začnime s definíciou. Pod algebraický zlomok sa týka výrazov P/Q, kde P je čitateľ a Q menovateľ. Pod zadávaním písmen sa môže skrývať číslo, číselný výraz alebo číselno-abecedný výraz.

Predtým, ako sa budete čudovať, ako vyriešiť algebraické zlomky, musíte najprv pochopiť, že takýto výraz je súčasťou celku.

Celé číslo je spravidla 1. Číslo v menovateli ukazuje, na koľko častí je jednotka rozdelená. Čitateľ je potrebný na zistenie, koľko prvkov sa odoberá. Zlomkový stĺpec zodpovedá deliacemu znaku. Je povolené napísať zlomkový výraz ako matematickú operáciu „Rozdelenie“. V tomto prípade je čitateľom dividenda, menovateľom je deliteľ.

Základné pravidlo bežných zlomkov

Keď študenti študujú túto tému v škole, dostanú príklady na posilnenie. Aby ste ich správne vyriešili a našli rôzne východiská zo zložitých situácií, musíte použiť základnú vlastnosť zlomkov.

Znie to takto: Ak vynásobíte čitateľa aj menovateľa rovnakým číslom alebo výrazom (iným ako nula), hodnota spoločného zlomku sa nezmení. Špeciálnym prípadom tohto pravidla je delenie oboch strán výrazu rovnakým číslom alebo polynómom. Takéto transformácie sa nazývajú identické rovnosti.

Nižšie sa pozrieme na to, ako riešiť sčítanie a odčítanie algebraických zlomkov, násobenie, delenie a zmenšovanie zlomkov.

Matematické operácie so zlomkami

Pozrime sa na to, ako riešiť, hlavnú vlastnosť algebraického zlomku a ako ju aplikovať v praxi. Ak potrebujete vynásobiť dva zlomky, sčítať ich, deliť jeden druhým alebo odčítať, vždy musíte dodržiavať pravidlá.

Pre operáciu sčítania a odčítania je teda potrebné nájsť ďalší faktor, aby sa výrazy dostali do spoločného menovateľa. Ak sú zlomky na začiatku uvedené s rovnakými výrazmi Q, tento odsek by sa mal vynechať. Keď sa nájde spoločný menovateľ, ako vyriešite algebraické zlomky? Musíte pridať alebo odčítať čitateľa. Ale! Je potrebné si uvedomiť, že ak je pred zlomkom znak „-“, všetky znaky v čitateli sú obrátené. Niekedy by ste nemali vykonávať žiadne substitúcie alebo matematické operácie. Stačí zmeniť znamienko pred zlomkom.

Koncept sa často používa ako redukčné frakcie. To znamená nasledovné: ak je čitateľ a menovateľ rozdelený výrazom odlišným od jedného (rovnakým pre obe časti), získa sa nový zlomok. Deliteľ a deliteľ sú menšie ako predtým, ale vďaka základnému pravidlu zlomkov zostávajú rovnaké ako v pôvodnom príklade.

Účelom tejto operácie je získať nový neredukovateľný výraz. Tento problém môžete vyriešiť znížením čitateľa a menovateľa o najväčší spoločný faktor. Operačný algoritmus pozostáva z dvoch bodov:

Nájdenie gcd pre obe strany zlomku.
Delenie čitateľa a menovateľa nájdeným výrazom a získanie nezredukovateľného zlomku rovného predchádzajúcemu.

Nižšie je tabuľka zobrazujúca vzorce. Pre pohodlie si ho môžete vytlačiť a nosiť so sebou v notebooku. Aby sa však v budúcnosti pri riešení testu alebo skúšky nevyskytli žiadne ťažkosti v otázke riešenia algebraických zlomkov, tieto vzorce sa musia naučiť naspamäť.

Niekoľko príkladov s riešeniami

Z teoretického hľadiska sa uvažuje nad otázkou, ako riešiť algebraické zlomky. Príklady uvedené v článku vám pomôžu lepšie pochopiť materiál.

1. Preveďte zlomky a priveďte ich k spoločnému menovateľovi.

2. Preveďte zlomky a priveďte ich k spoločnému menovateľovi.

Po preštudovaní teoretickej časti a zvážení praktickej časti by už nemali vzniknúť žiadne otázky.

Racionálne výrazy sa delia na celočíselné a zlomkové výrazy.

Definícia.Racionálny zlomok je zlomkové vyjadrenie tvaru , kde sú polynómy. - menovateľ čitateľa.

Príkladyracionálne vyjadrenia:- zlomkové výrazy; - celé výrazy. Napríklad v prvom výraze je čitateľ a menovateľ je .

Zoberme si prvú typickú úlohu: výpočet hodnoty racionálny zlomok pre rôzne hodnoty premenných v ňom zahrnutých.

Príklad 1 Vypočítajte hodnotu zlomku pre a) , b) , c)

Riešenie. Dosaďte hodnoty premenných do uvedeného zlomku: a) , b) , c) - neexistuje (keďže nemôžete deliť nulou).

odpoveď: a) 3; b) 1; c) neexistuje.

Ako vidíte, pre každý zlomok vznikajú dva typické problémy: 1) výpočet zlomku, 2) nájdenie platné a neplatné hodnoty písmenové premenné.

Definícia.Platné hodnoty premenných- hodnoty premenných, pri ktorých má výraz zmysel. Volá sa množina všetkých možných hodnôt premenných ODZ alebo domény.

Príklad 2

Riešenie. Aby tento výraz dával zmysel, je potrebné a postačujúce, aby sa menovateľ zlomku nerovnal nule. Neplatné teda budú iba tie hodnoty premennej, ktorých menovateľ je rovný nule. Menovateľ zlomku je , takže riešime lineárnu rovnicu:

Preto vzhľadom na hodnotu premennej nemá zlomok žiadny význam.

odpoveď: -5.

Z riešenia príkladu vyplýva pravidlo na nájdenie neplatných hodnôt premenných - menovateľ zlomku sa rovná nule a nájdu sa korene zodpovedajúcej rovnice.

Pozrime sa na niekoľko podobných príkladov.

Príklad 3 Stanovte, pri akých hodnotách premennej zlomok nedáva zmysel .

Riešenie..

Odpoveď..

Príklad 4. Stanovte, pri akých hodnotách premennej zlomok nedáva zmysel.

Riešenie..

Aby sme to dosiahli, vyrežeme na ňom bod, ako je znázornené na obrázku:

Ryža. 1

teda doména definície frakcií budú tam všetky čísla okrem 3.

Odpoveď..

Príklad 5. Stanovte, pri akých hodnotách premennej zlomok nedáva zmysel.

Riešenie..

Výsledné riešenie znázornime na číselnej osi:

Ryža. 2

Odpoveď..

Príklad 6.

Riešenie.. Získali sme rovnosť dvoch premenných, uvedieme číselné príklady: alebo atď.

Znázornime toto riešenie na grafe v karteziánskom súradnicovom systéme:

Ryža. 3. Graf funkcie

Súradnice ktoréhokoľvek bodu ležiaceho na tomto grafe nie sú zahrnuté v rozsahu prijateľných zlomkových hodnôt.

Odpoveď..

V diskutovaných príkladoch sme sa stretli so situáciou, kedy došlo k deleniu nulou. Teraz zvážte prípad, keď nastane zaujímavejšia situácia s delením typov.

Príklad 7. Stanovte, pri akých hodnotách premenných zlomok nedáva zmysel.

Riešenie..

Ukazuje sa, že zlomok nemá zmysel pri . Niekto by však mohol namietať, že to tak nie je, pretože: .

Odpoveď..

Aby sme tento príklad pochopili podrobnejšie, vyriešme nasledujúci problém: pri akých hodnotách sa uvedený zlomok rovná nule?

§ 1 Pojem algebraického zlomku

Algebraický zlomok je výraz

kde P a Q sú polynómy; P je čitateľ algebraického zlomku, Q je menovateľ algebraického zlomku.

Tu sú príklady algebraických zlomkov:

Akýkoľvek polynóm je špeciálny prípad algebraického zlomku, pretože každý polynóm môže byť zapísaný v tvare

Napríklad:

Hodnota algebraického zlomku závisí od hodnoty premenných.

Vypočítajme napríklad hodnotu zlomku

V prvom prípade dostaneme:

Všimnite si, že tento zlomok možno znížiť:

Výpočet hodnoty algebraického zlomku je teda zjednodušený. Využime to.

V druhom prípade dostaneme:

Ako vidíte, so zmenou hodnôt premenných sa zmenila hodnota algebraického zlomku.

§ 2 Prípustné hodnoty premenných algebraického zlomku

Zvážte algebraický zlomok

Hodnota x = -1 je pre tento zlomok neplatná, pretože menovateľ zlomku pri tejto hodnote x sa stane nulou. Pri tejto hodnote premennej nemá algebraický zlomok žiadny význam.

Prípustné hodnoty premenných algebraického zlomku sú teda tie hodnoty premenných, pri ktorých menovateľ zlomku nezmizne.

Poďme vyriešiť niekoľko príkladov.

Pri akých hodnotách premennej nedáva algebraický zlomok zmysel:

Na nájdenie neplatných hodnôt premenných sa menovateľ zlomku nastaví na nulu a nájdu sa korene zodpovedajúcej rovnice.

Pri akých hodnotách premennej sa algebraický zlomok rovná nule:

Zlomok sa rovná nule, ak je čitateľ nula. Prirovnajme čitateľa nášho zlomku k nule a nájdime korene výslednej rovnice:

Pre x = 0 a x = 3 teda tento algebraický zlomok nedáva zmysel, čo znamená, že tieto hodnoty premennej musíme z odpovede vylúčiť.

Takže v tejto lekcii ste sa naučili základné pojmy algebraického zlomku: čitateľ a menovateľ zlomku, ako aj prijateľné hodnoty premenných algebraického zlomku.

Zoznam použitej literatúry:

Mordkovich A.G. "Algebra" 8. ročník. O 2 hod.. 1. časť Učebnica pre vzdelávacie inštitúcie / A.G. Mordkovič. – 9. vyd., prepracované. – M.: Mnemosyne, 2007. – 215 s.: chor.
Mordkovich A.G. "Algebra" 8. ročník. O 2 hod.. Časť 2 Problémová kniha pre vzdelávacie inštitúcie / A.G. Mordkovich, T.N. Mišustina, E.E. Tulčinskaja. – 8. vyd., – M.: Mnemosyne, 2006 – 239 s.
Algebra. 8. trieda. Testy pre študentov vzdelávacích inštitúcií L.A. Alexandrov, vyd. A.G. Mordkovich 2. vyd., vymazané. - M.: Mnemosyne 2009. - 40 s.
Algebra. 8. trieda. Samostatná práca pre študentov vzdelávacích inštitúcií: k učebnici A.G. Mordkovich, L.A. Alexandrov, vyd. A.G. Mordkovič. 9. vyd., vymazané. - M.: Mnemosyne 2013. - 112 s.

Pravopis nie s číslicami

Používanie priestorových predložiek