A Pitagorasz-tétel bizonyításának különböző módjai: példák, leírás és áttekintések. A Pitagorasz-tétel algebrai megfogalmazása

Kérdés - válasz Szög, melynek mértéke 90° KÖZVETLEN A háromszög derékszögével ellentétes oldal HIPOTENÚZUS A háromszög, négyzet, trapéz, kör geometriai ... ÁBRÁK A derékszögű háromszög kisebbik oldala CATETH A háromszögből kiinduló két sugár alkotta alakzat egy pont SZÖG Háromszög csúcsából a szemközti oldalt tartalmazó egyenesre húzott merőleges szakasz HEIGHT Olyan háromszög, amelynek két oldala egyenlő egyenlő szárú

Szamoszi Pythagoras (i. e. 580 körül - ie 500 körül) ókori görög matematikus és filozófus. Szamos szigetén született. Megszervezte saját iskoláját - a Pythagoras iskolát (Püthagorasz Unió), amely egyszerre volt filozófiai iskola, politikai párt és vallási testvériség. Ő volt az első, aki bebizonyította az összefüggést egy derékszögű háromszög befogója és lábai között.

A XII. századi indiai matematikus problémája, Bhaskara A folyó partján egy magányos nyárfa nőtt. Hirtelen egy széllökés törte ki a törzsét. Lehullott a szegény nyár. És egy egyenes szöge A folyó folyásával a törzse az volt. Emlékezz most arra, hogy ezen a helyen a B folyó mindössze négy láb széles volt, a fej a folyó szélére dőlt. Már csak három láb maradt a törzsből, könyörgöm, mondd meg most hamar: Milyen magas a nyárfa?

Shapovalova L.A. (Egorlykskaya állomás, MBOU ESOSH 11. sz.)

1. Glazer G.I. Matematika története az iskolában VII - VIII évfolyam, Útmutató tanároknak, - M: Nevelés, 1982.

2. Dempan I.Ya., Vilenkin N.Ya. „Matematika tankönyv lapjai mögött” Kézikönyv 5-6. – M.: Felvilágosodás, 1989.

3. Zenkevich I.G. "A matematika óra esztétikája". – M.: Felvilágosodás, 1981.

4. Litzman V. A Pitagorasz-tétel. - M., 1960.

5. Voloshinov A.V. "Püthagorasz". - M., 1993.

6. Pichurin L.F. "Túl egy algebrai tankönyv lapjain". - M., 1990.

7. Zemljakov A.N. – Geometria a 10. osztályban. - M., 1986.

8. „Matematika” újság 17/1996.

9. „Matematika” újság 3/1997.

10. Antonov N.P., Vygodskii M.Ya., Nikitin V.V., Sankin A.I. „Feladatgyűjtemény az elemi matematikában”. - M., 1963.

11. Dorofejev G.V., Potapov M.K., Rozov N.Kh. "Matematika kézikönyv". - M., 1973.

12. Shchetnikov A.I. "Pitagorasz szám- és nagyságtan". - Novoszibirszk, 1997.

13. „Valós számok. Irracionális kifejezések» 8. évfolyam. Tomszki Egyetemi Nyomda. – Tomszk, 1997.

14. Atanasyan M.S. „Geometria” 7-9. – M.: Felvilágosodás, 1991.

15. URL: www.moypifagor.narod.ru/

16. URL: http://www.zaitseva-irina.ru/html/f1103454849.html.

Ebben a tanévben megismerkedtem egy érdekes tétellel, amely, mint kiderült, ősidők óta ismert:

"A derékszögű háromszög hipotenuszára épített négyzet egyenlő a lábakra épített négyzetek összegével."

Ennek az állításnak a felfedezését általában az ókori görög filozófusnak és matematikusnak, Pythagorasnak tulajdonítják (Kr. e. VI. század). De az ókori kéziratok tanulmányozása kimutatta, hogy ez az állítás már jóval Pitagorasz születése előtt ismert volt.

Azon tűnődtem, hogy ebben az esetben miért kapcsolódik Pitagorasz nevéhez.

A téma aktualitása: A Pitagorasz-tétel nagy jelentőséggel bír: a geometriában szó szerint, minden lépésnél használatos. Úgy gondolom, hogy Pythagoras művei továbbra is aktuálisak, mert bármerre nézünk, mindenhol láthatjuk nagyszerű ötleteinek gyümölcsét, a modern élet különböző ágaiban megtestesülve.

Kutatásom célja az volt, hogy megtudjam, ki volt Püthagorasz, és milyen kapcsolata van ezzel a tétellel.

Tanulmányozva a tétel történetét, úgy döntöttem, hogy megtudom:

Vannak más bizonyítékai ennek a tételnek?

Mi ennek a tételnek a jelentősége az emberek életében?

Milyen szerepet játszott Pitagorasz a matematika fejlődésében?

Pythagoras életrajzából

Szamoszi Pythagoras nagy görög tudós. Hírneve a Pitagorasz-tétel nevéhez fűződik. Bár ma már tudjuk, hogy ezt a tételt az ókori Babilonban 1200 évvel Pitagorasz előtt, Egyiptomban pedig 2000 évvel előtte ismerték a 3, 4, 5 oldalú derékszögű háromszöget, mégis ennek az ősinek a nevén nevezzük. tudós.

Szinte semmi biztosat nem tudni Pythagoras életéről, de számos legenda fűződik nevéhez.

Pythagoras ie 570-ben született Szamosz szigetén.

Pythagoras jóképű volt, hosszú szakállt viselt, fején arany diadém volt. A Pythagoras nem név, hanem becenév, amelyet a filozófus azért kapott, mert mindig helyesen és meggyőzően beszélt, mint egy görög jóslat. (Püthagorasz – „meggyőző beszéd”).

Kr.e. 550-ben Pythagoras döntést hoz és Egyiptomba megy. Tehát egy ismeretlen ország és egy ismeretlen kultúra nyílik meg Pythagoras előtt. Pythagorast nagyon lenyűgözte és meglepte ebben az országban, és az egyiptomiak életének néhány megfigyelése után Pythagoras rájött, hogy a papok kasztja által védett tudáshoz a valláson keresztül vezet az út.

Tizenegy év egyiptomi tanulás után Pythagoras hazájába megy, ahol útközben babiloni fogságba esik. Ott ismerkedik meg a babiloni tudománnyal, amely fejlettebb volt, mint az egyiptomi. A babilóniaiak tudták, hogyan kell lineáris, másodfokú és bizonyos típusú köbös egyenleteket megoldani. A fogságból megszökve nem maradhatott sokáig hazájában az ott uralkodó erőszak és zsarnokság légköre miatt. Úgy döntött, hogy Crotonba költözik (egy görög gyarmat Észak-Olaszországban).

Crotonban kezdődik Pythagoras életének legdicsőségesebb időszaka. Ott valami vallásetikai testvériséget vagy titkos szerzetesrendet hozott létre, amelynek tagjai az úgynevezett pitagoreus életmódot követték.

Pythagoras és a pitagoreusok

Pythagoras az Appennin-félsziget déli részén található görög kolónián vallási és etikai testvériséget szervezett, például szerzetesrendet, amelyet később Pitagorasz Uniónak neveztek el. A szakszervezet tagjainak be kellett tartaniuk bizonyos alapelveket: egyrészt törekedni kell a szépre és a dicsőségesre, másodsorban a hasznosságra, harmadrészt pedig a nagy örömre.

Az erkölcsi és etikai szabályok rendszerét, amelyet Pythagoras tanítványaira hagyott, a püthagoreusok egyfajta erkölcsi kódexévé állította össze "Aranyversek", amelyek nagyon népszerűek voltak az ókor, a középkor és a reneszánsz korszakában.

A Pitagorasz tanulmányi rendszere három részből állt:

Tanítások a számokról - aritmetika,

Tanítások a figurákról - geometria,

Tanítások a világegyetem felépítéséről - csillagászat.

A Pythagoras által felállított oktatási rendszer sok évszázadon át tartott.

Pythagoras iskolája sokat tett azért, hogy a geometriát tudomány jellegével ruházza fel. A Pythagorean módszer fő jellemzője a geometria és az aritmetika kombinációja volt.

Pythagoras sokat foglalkozott az arányokkal és a progressziókkal, és valószínűleg az ábrák hasonlóságával is, hiszen a probléma megoldásában őt tulajdonítják: „Készítsen egy harmadikat, amely mérete megegyezik az egyik adattal, és hasonló a másodikhoz, a adott két számadat.”

Pythagoras és tanítványai bevezették a sokszögű, barátságos, tökéletes számok fogalmát, és tanulmányozták tulajdonságaikat. Az aritmetika, mint a számítás gyakorlata, nem érdekelte Pythagorast, és büszkén jelentette ki, hogy "az aritmetikát a kereskedő érdekei fölé helyezi".

A Pitagorasz Unió tagjai Görögország számos városában éltek.

A püthagoreusok nőket is befogadtak társadalmukba. Az Unió több mint húsz évig virágzott, majd megkezdődött tagjai üldözése, sok diákot megöltek.

Püthagorasz haláláról sok különböző legenda keringett. De Pythagoras és tanítványai tanításai továbbra is éltek.

A Pitagorasz-tétel keletkezésének történetéből

Jelenleg ismert, hogy ezt a tételt nem Pitagorasz fedezte fel. Egyesek azonban úgy vélik, hogy Pythagoras volt az, aki először bizonyította teljes mértékben, míg mások tagadják tőle ezt az érdemet. Egyesek Pythagorasnak tulajdonítják azt a bizonyítékot, amelyet Eukleidész az Elemek első könyvében ad. Másrészt Proklosz azt állítja, hogy az Elemek bizonyítása magának Eukleidésznek köszönhető. Amint látjuk, a matematikatörténetnek szinte nincs megbízható konkrét adata Pythagoras életéről és matematikai tevékenységéről.

Kezdjük a Pitagorasz-tétel történeti áttekintését az ókori Kínával. Itt Chu-pei matematikai könyve vonzza különös figyelmet. Ez az esszé ezt mondja a 3-as, 4-es és 5-ös oldalú Pitagorasz-háromszögről:

"Ha egy derékszöget alkotórészeire bontjuk, akkor az oldalainak végeit összekötő vonal 5 lesz, ha az alap 3 és a magasság 4."

Nagyon könnyű reprodukálni az építési módjukat. Vegyünk egy 12 m hosszú kötelet, és kössük rá egy színes csík mentén 3 m távolságban. egyik végétől és 4 méterre a másiktól. A 3 és 4 méter hosszú oldalak között derékszöget zárnak be.

A hinduk geometriája szorosan összefüggött a kultusszal. Nagy valószínűséggel a hipotenusz négyzettétele már ismert volt Indiában a Kr.e. 8. század körül. A tisztán rituális előírások mellett geometriailag teológiai jellegű művek is vannak. Ezekben az írásokban, amelyek a Kr.e. 4. vagy 5. századra nyúlnak vissza, egy 15-ös, 36-os, 39-es oldalú háromszögből derékszög felépítésével találkozunk.

A középkorban a Pitagorasz-tétel meghatározta a határt, ha nem is a lehető legnagyobb, de legalább a jó matematikai tudás határát. A Pitagorasz-tétel jellegzetes rajzát, amelyet manapság az iskolások időnként például professzori vagy férfiköntösbe öltöztetett cilinderré varázsoltak, akkoriban gyakran használták a matematika szimbólumaként.

Befejezésül bemutatjuk a Pitagorasz-tétel különféle megfogalmazásait görög, latin és német nyelvről lefordítva.

Euklidész tétele így szól (szó szerinti fordítás):

"Egy derékszögű háromszögben a derékszöget átívelő oldal négyzete egyenlő a derékszöget bezáró oldalak négyzeteivel."

Mint látható, a különböző országokban és különböző nyelveken az ismerős tétel megfogalmazásának különböző változatai léteznek. Különböző időpontokban és különböző nyelveken készültek, egy-egy matematikai minta lényegét tükrözik, melynek bizonyítására is több lehetőség kínálkozik.

Öt módszer a Pitagorasz-tétel bizonyítására

ősi kínai bizonyíték

Egy ősi kínai rajzon négy egyforma derékszögű háromszög a, b lábakkal és c befogóval van egymásra rakva úgy, hogy a külső körvonaluk egy a + b oldalú négyzetet, a belső pedig egy c oldalú négyzetet alkot, amely az átfogó

a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab

J. Gardfield bizonyítéka (1882)

Rendezzünk két egyenlő derékszögű háromszöget úgy, hogy az egyik szára a másik folytatása legyen.

A vizsgált trapéz területét az alapok összegének felének és a magasságnak a szorzataként kapjuk

Másrészt a trapéz területe egyenlő a kapott háromszögek területének összegével:

Ha ezeket a kifejezéseket egyenlővé tesszük, a következőket kapjuk:

A bizonyíték egyszerű

Ezt a bizonyítást egy egyenlő szárú derékszögű háromszög legegyszerűbb esetben kapjuk meg.

Valószínűleg vele kezdődött a tétel.

Valóban, elég csak megnézni az egyenlő szárú derékszögű háromszögek csempézését, hogy lássuk, a tétel igaz.

Például az ABC háromszögnél: az AC hipotenuzra épített négyzet 4 kezdőháromszöget tartalmaz, a lábakra épített négyzetek pedig kettőt. A tétel bizonyítást nyert.

Az ősi hinduk bizonyítéka

Egy (a + b) oldallal rendelkező négyzet részekre osztható, mint az ábra szerint. 12. a, vagy mint az ábra. 12b. Jól látható, hogy az 1., 2., 3., 4. rész mindkét ábrán megegyezik. És ha az egyenlőkből kivonjuk az egyenlőket (területeket), akkor egyenlők maradnak, ti. c2 = a2 + b2.

Euklidész bizonyítéka

Két évezreden keresztül a legelterjedtebb az Eukleidész által feltalált Pitagorasz-tétel bizonyítása volt. A híres "Kezdetek" című könyvében található.

Euklidész a derékszög csúcsától a befogóig leengedte a BH magasságot, és bebizonyította, hogy ennek kiterjesztése a hipotenuszon kitöltött négyzetet két téglalapra osztja, amelyek területei megegyeznek a lábakra épített megfelelő négyzetek területével.

A tétel bizonyításához használt rajzot tréfásan "Pitagorasz nadrágnak" nevezik. Sokáig a matematikai tudomány egyik szimbólumának számított.

A Pitagorasz-tétel alkalmazása

A Pitagorasz-tétel jelentősége abban rejlik, hogy a geometria tételeinek nagy része levezethető belőle vagy segítségével, és sok probléma megoldható. Ezen túlmenően a Pitagorasz-tétel és inverz tételének gyakorlati jelentősége az, hogy ezek segítségével meg lehet határozni a szakaszok hosszát anélkül, hogy magukat a szakaszokat megmérnénk. Ez mintegy megnyitja az utat az egyenestől a síkig, a síktól a térfogati térig és tovább. Ez az oka annak, hogy a Pitagorasz-tétel olyan fontos az emberiség számára, amely több dimenziót kíván felfedezni és technológiákat létrehozni ezekben a dimenziókban.

Következtetés

A Pitagorasz-tétel annyira híres, hogy nehéz elképzelni olyan embert, aki ne hallott volna róla. Megtanultam, hogy a Pitagorasz-tétel bizonyításának többféle módja van. Számos történelmi és matematikai forrást tanulmányoztam, beleértve az internetes információkat is, és rájöttem, hogy a Pitagorasz-tétel nemcsak története miatt érdekes, hanem azért is, mert fontos helyet foglal el az életben és a tudományban. Erről tanúskodnak a tétel szövegének ebben a cikkben általam bemutatott különféle értelmezései és bizonyítási módjai.

Tehát a Pitagorasz-tétel a geometria egyik fő és, mondhatni, legfontosabb tétele. Jelentősége abban rejlik, hogy a geometria tételeinek nagy része levezethető belőle, illetve segítségével. A Pitagorasz-tétel abból a szempontból is figyelemre méltó, hogy önmagában egyáltalán nem nyilvánvaló. Például egy egyenlő szárú háromszög tulajdonságai közvetlenül a rajzon láthatók. De akármennyire is nézel egy derékszögű háromszöget, soha nem fogod látni, hogy az oldalai között egyszerű összefüggés van: c2 = a2 + b2. Ezért gyakran használják a vizualizációt ennek bizonyítására. Pythagoras érdeme az volt, hogy teljes tudományos bizonyítékot adott ennek a tételnek. Érdekes magának a tudósnak a személyisége, akinek emlékét nem véletlenül őrzi meg ez a tétel. Pythagoras csodálatos szónok, tanár és oktató, iskolájának szervezője, aki a zene és a számok harmóniájára, a jóságra és az igazságosságra, a tudásra és az egészséges életmódra összpontosít. Példaként szolgálhat nekünk, távoli leszármazottaknak.

Bibliográfiai link

Tumanova S.V. TÖBB MÓD A PYTHAGORAS TÉTEL BIZONYÍTÁSÁRA // Kezdje el a tudományban. - 2016. - 2. sz. - P. 91-95;
URL: http://science-start.ru/ru/article/view?id=44 (elérés dátuma: 2020.10.01.).

Osztály: 8

Az óra céljai:

Nevelési: elérni a Pitagorasz-tétel asszimilációját, elsajátítani a derékszögű háromszög ismeretlen oldalának két ismert oldal segítségével történő kiszámítását, megtanítani a Pitagorasz-tétel alkalmazását egyszerű problémák megoldására
Fejlesztés: hozzájárul az összehasonlító, megfigyelő, figyelemkészség fejlesztéséhez, az elemző és szintetikus gondolkodás képességének fejlesztéséhez, a látókör szélesítéséhez
Nevelési: tudásigény kialakítása, a matematika iránti érdeklődés

Az óra típusa:új anyag bemutató óra

Felszerelés: számítógép, multimédiás projektor, előadás az órán ( 1. melléklet)

Tanterv:

Idő szervezése
szóbeli gyakorlatok
Kutatómunka, hipotézis felállítása és egyedi esetekben történő tesztelése
Új anyag magyarázata
a) Pythagorasról
b) A tétel állítása és bizonyítása
A fentiek megszilárdítása problémamegoldással
Házi feladat, az óra összefoglalása.

Az órák alatt

2. dia: Végezze el a gyakorlatokat

Kapcsos zárójelek kibontása: (3 + x) 2
Számítsd ki 3 2 + x 2 x = 1, 2, 3, 4 esetén
– Van olyan természetes szám, amelynek négyzete 10, 13, 18, 25?
Határozza meg a 11 cm, 50 cm, 7 dm oldalú négyzet területét.
Mi a képlet egy négyzet területére?
Hogyan lehet megtalálni a derékszögű háromszög területét?

3. dia: Kérdés válasz

– 90°-os szög. (Egyenes)

A háromszög derékszögével ellentétes oldal. (Átfogó)

- Háromszög, négyzet, trapéz, kör - ezek geometriai ... (Alakzatok)

- Derékszögű háromszög kisebbik oldala. (Katet)

- Egy pontból kiinduló két sugár alkotta alak. (Injekció)

- A háromszög csúcsából a szemközti oldalt tartalmazó egyenesre húzott merőleges szakasza. (Magasság)

- Háromszög, amelynek két egyenlő oldala van . (Egyenlő szárú)

4. dia: Egy feladat

Szerkesszünk derékszögű háromszöget, melynek oldalai 3 cm, 4 cm és 6 cm.

A feladat sorokra oszlik.

	1 sor	2 sor	3 sor
láb a	3	3
láb b	4		4
Átfogó tól től		6	6

Kérdések:

- Valaki kapott adott oldalú háromszöget?

- Mi lehet a következtetés? (Egy derékszögű háromszög nem határozható meg tetszőlegesen. Az oldalai között függőség van).

- Mérjük meg a kapott oldalakat. ( Az egyes sorok hozzávetőleges átlageredménye bekerül a táblázatba)

	1 sor	2 sor	3 sor
láb a	3	3	~4,5
láb b	4	~5,2	4
Átfogó tól től	~5	6	6

- Minden esetben próbáljon kapcsolatot teremteni a lábak és a hypotenus között.

(Javasolt a szóbeli gyakorlatok felidézése és más számok közötti azonos kapcsolat ellenőrzése).

- Felhívjuk a figyelmet arra, hogy a pontos eredmény nem fog sikerülni, mert. a mérések nem tekinthetők pontosnak.

A tanár találgatásokat kér (hipotézisek): a tanulók fogalmaznak.

- Igen, valóban van kapcsolat a hypotenusa és a lábak között, és ezt először a tudós bizonyította be, akinek a nevét meg fogja nevezni. Ezt a tételt róla nevezték el.

5. dia: Megfejtés

6. dia: Szamoszi Pythagoras

Ki fogja megnevezni a mai óra témáját?

A tanulók jegyzetfüzetbe írják le az óra témáját: „A Pitagorasz-tétel”

A Pitagorasz-tétel a geometria egyik fő tétele. Segítségével számos más tétel bizonyítása és problémamegoldás történik különféle területekről: fizika, csillagászat, építőipar stb. Jóval azelőtt ismert volt, hogy Pitagorasz bebizonyította volna. Az ókori egyiptomiak akkor használták, amikor 3, 4 és 5 egység oldalú derékszögű háromszöget építettek kötél segítségével, hogy merőleges szögeket építsenek épületek, piramisok lerakásakor. Ezért egy ilyen háromszöget nevezünk Egyiptomi háromszög.

Több mint háromszáz módszer létezik ennek a tételnek a bizonyítására. Ezek egyikét nézzük meg ma.

7. dia: Pitagorasz tétel

Tétel: Egy derékszögű háromszögben a befogó négyzete egyenlő a lábak négyzeteinek összegével.

Adott:

Derékszögű háromszög,

a, b - lábak, tól től- hipotenusz

Bizonyít:

Bizonyíték.

1. Folytatjuk egy derékszögű háromszög lábait: láb de- a hosszra b, láb b- a hosszra a.

Milyen alakúra lehet háromszöget építeni? Miért egy négyzetig? Mi lesz a tér oldala?

2. Egészítsük ki a háromszöget egy oldalsó négyzetté a + b.

Hogyan találhatja meg ennek a négyzetnek a területét?

3. A tér területe a

- Bontsuk a négyzetet részekre: 4 háromszög és egy c oldalú négyzet.

Hogyan találhatja meg másként az eredeti négyzet területét?

Miért kongruensek a kapott derékszögű háromszögek?

4. Másrészt

5. Adja meg a kapott egyenlőségeket:

A tétel bizonyítást nyert.

Ennek a tételnek van egy komikus megfogalmazása: „A pitagoreusi nadrág minden irányban egyenlő.” Valószínűleg ez a megfogalmazás annak a ténynek köszönhető, hogy ezt a tételt eredetileg egy egyenlő szárú derékszögű háromszögre hozták létre. Sőt, egy kicsit másképp hangzott: "Egy derékszögű háromszög hipotenuszára épített négyzet területe megegyezik a lábaira épített négyzetek területeinek összegével."

8. dia: A Pitagorasz-tétel másik megfogalmazása

És adok egy másik megfogalmazást ennek a tételnek a versben:

Ha kapunk egy háromszöget
És ráadásul derékszögben,
Ez a hipotenusz négyzete
Mindig könnyen megtaláljuk:
A lábakat négyzetbe építjük,
Megtaláljuk a fokok összegét
És ilyen egyszerű módon
Az eredményre jövünk.

- Tehát ma megismerkedtél a planimetria leghíresebb tételével - a Pitagorasz-tétellel. Hogyan fogalmazódik meg a Pitagorasz-tétel? Hogyan lehet másképp megfogalmazni?

Az anyag elsődleges rögzítése

9. dia: Feladatok megoldása kész rajzok szerint.

10. dia: Feladatok megoldása notebookban

Egyszerre három diákot hívnak a táblához, hogy megoldják a feladatokat.

11. dia: A 12. századi indiai matematikus, Bhaskara problémája

Összegezve a tanulságot:

Milyen újdonságokat tanultál a mai órán?

- Fogalmazza meg a Pitagorasz-tételt!

- Mit tanultál az órán?

Házi feladat:

– Tanuld meg a Pitagorasz-tételt bizonyítással

- Feladatok a 483 c, d számú tankönyvből; No. 484 in, város

– Haladó tanulóknak: találjanak más bizonyításokat a Pitagorasz-tételre, tanuljanak meg ezek közül.

Az osztály egészének munkáját értékelik, kiemelve az egyes tanulókat.

Pitagorasz tétel- az euklideszi geometria egyik alaptétele, az összefüggés megállapítása

derékszögű háromszög oldalai között.

Úgy gondolják, hogy Pythagoras görög matematikus bizonyította be, akiről nevezték el.

A Pitagorasz-tétel geometriai megfogalmazása.

A tétel eredetileg a következőképpen fogalmazódott meg:

Egy derékszögű háromszögben a hipotenuszra épített négyzet területe egyenlő a négyzetek területének összegével,

katéterekre épült.

A Pitagorasz-tétel algebrai megfogalmazása.

Egy derékszögű háromszögben a befogó hosszának négyzete egyenlő a lábak hosszának négyzeteinek összegével.

Vagyis az átmenő háromszög befogójának hosszát jelöli c, és a lábak hossza át aÉs b:

Mindkét készítmény Pitagorasz-tételek egyenértékűek, de a második megfogalmazás elemibb, nem

terület fogalmát igényli. Vagyis a második állítás igazolható anélkül, hogy bármit is tudnának a területről és

csak egy derékszögű háromszög oldalainak hosszát mérve.

Az inverz Pitagorasz-tétel.

Ha egy háromszög egyik oldalának négyzete egyenlő a másik két oldal négyzetösszegével, akkor

háromszög téglalap alakú.

Vagy más szóval:

A pozitív számok tetszőleges hármasára a, bÉs c, oly módon, hogy

van egy derékszögű háromszög lábakkal aÉs bés hypotenusa c.

Pitagorasz-tétel egyenlő szárú háromszögre.

Pitagorasz-tétel egyenlő oldalú háromszögre.

A Pitagorasz-tétel bizonyításai.

Jelenleg ennek a tételnek 367 bizonyítását rögzítették a tudományos irodalomban. Valószínűleg a tétel

Pitagorasz az egyetlen tétel, amely ilyen lenyűgöző számú bizonyítással rendelkezik. Ilyen sokszínűség

csak a tétel geometria szempontjából való alapvető jelentőségével magyarázható.

Természetesen fogalmilag mindegyik kis számú osztályra osztható. A leghíresebb közülük:

bizonyíték terület módszer, magától értetődőÉs egzotikus bizonyíték(például,

keresztül differenciál egyenletek).

1. A Pitagorasz-tétel bizonyítása hasonló háromszögek szempontjából.

Az algebrai megfogalmazás következő bizonyítása a legegyszerűbb a megszerkesztett bizonyítások közül

közvetlenül az axiómákból. Különösen nem használja az ábra területének fogalmát.

Hadd ABC van egy derékszögű háromszög C. Rajzoljunk magasságot Cés jelöljük

az alapozása révén H.

Háromszög ACH háromszöghöz hasonló AB C két sarkon. Hasonlóképpen a háromszög CBH hasonló ABC.

A jelölés bevezetésével:

kapunk:

melyik egyezik -

Miután hajtogatta a 2 és b 2, kapjuk:

vagy , amit bizonyítani kellett.

2. A Pitagorasz-tétel bizonyítása területmódszerrel.

A következő bizonyítások látszólagos egyszerűségük ellenére egyáltalán nem ilyen egyszerűek. Mindegyikük

használja a terület tulajdonságait, amelyek bizonyítása bonyolultabb, mint magának a Pitagorasz-tételnek a bizonyítása.

Bizonyítás egyenértékű kiegészítéssel.

Rendezzünk el négy egyenlő téglalap alakút

háromszög a képen látható módon

jobb oldalon.

Négyszög oldalakkal c- négyzet,

mivel két hegyesszög összege 90°, és

a kidolgozott szög 180°.

Az egész ábra területe egyrészt

egy négyzet területe oldalával ( a+b), másrészt pedig négy háromszög területének összege és

Q.E.D.

3. A Pitagorasz-tétel bizonyítása infinitezimális módszerrel.

Az ábrán látható rajzot figyelembe véve, ill

az oldalváltást figyelvea, tudunk

írd le a következő összefüggést a végtelenre!

kicsi oldalsó lépésekbentól tőlÉs a(hasonlóságot használva

háromszögek):

A változók szétválasztásának módszerével azt találjuk, hogy:

Egy általánosabb kifejezés a hipotenusz megváltoztatására mindkét láb növekménye esetén:

Ezt az egyenletet integrálva és a kezdeti feltételek felhasználásával kapjuk:

Így elérkeztünk a kívánt válaszhoz:

Amint az jól látható, a végső képletben a másodfokú függés a lineárisnak köszönhető

arányosság a háromszög oldalai és a növekmény között, míg az összeg a függetlenhez kapcsolódik

a különböző lábak növekedéséből származó hozzájárulások.

Egyszerűbb bizonyítékot kaphatunk, ha feltételezzük, hogy az egyik láb nem tapasztal növekedést

(ebben az esetben a láb b). Ekkor az integrációs állandóhoz a következőket kapjuk:

lecke a témában: "A Pitagorasz-tétel"

Az óra típusa: óra új tananyag tanulása. (a „Geometry, 7–9” tankönyv szerint, tankönyv oktatási intézmények számára; L.S. Atanasyan et al. - 12. kiadás - M .: Oktatás, 2009).

Cél:

bevezeti a tanulókat a Pitagorasz-tételbe és a tételhez kapcsolódó történelmi információkba; fejleszteni az érdeklődést a matematika tanulmányozása, a logikus gondolkodás iránt; Figyelem.

Az órák alatt:

1. Szervezési mozzanat.

2. DIA Mese "Ház".

Leckénk témája "A Pitagorasz-tétel". A mai órán Pitagorasz életrajzával ismerkedünk, az ókor egyik leghíresebb geometriai tételét, a Pitagorasz-tételt, a planimetria egyik fő tételét tanulmányozzuk.

2. A tudás aktualizálása.(Új anyag tanulmányozására való felkészülés, a tétel bizonyításához szükséges anyag megismétlése)

1) Kérdések:

Melyik négyszöget nevezzük négyzetnek?

Hogyan lehet megtalálni egy négyzet területét?

Melyik háromszöget nevezzük derékszögű háromszögnek?

Hogy hívják egy derékszögű háromszög oldalait?

Hogyan lehet megtalálni a derékszögű háromszög területét?

3. Új anyag elsajátítása.

1) Történeti hivatkozás.

3. és 4. DIA.

A nagy tudós, Pythagoras ie 570 körül született. Samos szigetén. Pythagoras apja Mnesarchus drágakőfaragó volt. Pythagoras anyjának neve ismeretlen. Számos ősi tanúvallomás szerint a született fiú mesésen jóképű volt, és hamarosan megmutatkozott kiemelkedő képessége. Mint minden apa, Mnesarchus is arról álmodozott, hogy fia folytatja munkáját - az ötvös mesterséget. Az élet másként ítélte meg. A leendő nagy matematikus és filozófus már gyermekkorában nagy képességeket mutatott a tudományok számára.

Pythagoras nevéhez fűződik az egész számok és az arányok tulajdonságainak tanulmányozása, a Pitagorasz-tétel bizonyítása stb. A Pitagorasz nem név, hanem becenév, amelyet a filozófus azért kapott, mert mindig helyesen és meggyőzően beszélt, mint egy görög jóslat. (Püthagorasz - "meggyőző beszéd".)

Beszédeivel 2000 diákot szerzett meg, akik családjukkal együtt iskolaállamot alkottak, ahol Pythagoras törvényei és szabályai voltak érvényben. A Pythagoras iskolája, vagy más néven a Pythagorean Union egyszerre volt filozófiai iskola, politikai párt és vallási testvériség.

A püthagoreusok kedvenc geometriai alakja a pentagram volt, amelyet Pitagorasz-csillagnak is neveznek. A püthagoreusok ezt az alakot használták a homokba rajzolva, hogy üdvözöljék és felismerjék egymást. A pentagram jelszavaként szolgált, és az egészség és a boldogság szimbóluma volt.

A hagyomány szerint amikor Pythagoras eljutott a nevét viselő tételhez, 100 bikát vitt az isteneknek. Kr.e. 500-ban Pythagorast egy utcai harcban ölték meg egy népfelkelés során. Jelenleg körülbelül 200 bizonyítása van a Pitagorasz-tételnek.

A tétel kijelentése

2) A tétel bizonyítása.

Építsünk téglalapot egy a + b oldalú négyzetre.

A gyerekek tanári segítséggel bebizonyítják a tételt a rajz szerint, majd füzetbe írják a bizonyítást.

Bizonyíték:

négyzet alakú terület