Zo školských osnov si mnohí pamätajú, že existujú znaky deliteľnosti. Táto fráza sa chápe ako pravidlá, ktoré vám umožňujú rýchlo určiť, či je číslo násobkom daného čísla, bez vykonania priamej aritmetickej operácie. Táto metóda je založená na akciách vykonaných s časťou číslic zo záznamu v pozičnom

Mnoho ľudí si pamätá najjednoduchšie znaky deliteľnosti zo školských osnov. Napríklad to, že všetky čísla sú deliteľné 2, pričom posledná číslica v zázname je párna. Táto funkcia sa najjednoduchšie zapamätá a aplikuje v praxi. Ak hovoríme o spôsobe delenia 3, tak pre viacciferné čísla platí nasledovné pravidlo, ktoré je možné ukázať na takomto príklade. Musíte zistiť, či 273 je násobkom troch. Za týmto účelom vykonajte nasledujúcu operáciu: 2+7+3=12. Výsledný súčet je deliteľný 3, preto 273 bude deliteľné 3 takým spôsobom, že výsledkom bude celé číslo.

Značky deliteľnosti 5 a 10 budú nasledovné. V prvom prípade bude zápis končiť číslami 5 alebo 0, v druhom prípade len 0. Aby ste zistili, či je deliteľné násobkom štyroch, postupujte nasledovne. Je potrebné oddeliť posledné dve číslice. Ak sú to dve nuly alebo číslo, ktoré je bezo zvyšku deliteľné 4, potom všetko deliteľné bude násobkom deliteľa. Treba poznamenať, že uvedené znaky sa používajú iba v desiatkovej sústave. Nevzťahujú sa na iné metódy počítania. V takýchto prípadoch sú odvodené ich vlastné pravidlá, ktoré závisia od základu systému.

Znaky delenia 6 sú nasledovné. 6, ak je násobkom 2 aj 3. Ak chcete zistiť, či je číslo deliteľné 7, musíte zdvojnásobiť poslednú číslicu v jeho zadaní. Získaný výsledok sa odpočíta od pôvodného čísla, v ktorom sa posledná číslica neberie do úvahy. Toto pravidlo je možné vidieť na nasledujúcom príklade. Je potrebné zistiť, či je násobok 364. Ak to chcete urobiť, 4 sa vynásobí 2, ukáže sa 8. Potom sa vykoná nasledujúca akcia: 36-8=28. Získaný výsledok je násobkom 7, a preto pôvodné číslo 364 možno vydeliť 7.

Znaky deliteľnosti 8 sú nasledovné. Ak posledné tri číslice v čísle tvoria číslo, ktoré je násobkom ôsmich, potom samotné číslo bude deliteľné daným deliteľom.

Či je viacmiestne číslo deliteľné 12 zistíte nasledovne. Pomocou vyššie uvedených kritérií deliteľnosti musíte zistiť, či je číslo násobkom 3 a 4. Ak môžu súčasne pôsobiť ako deliteľ čísla, potom s daným deliteľom môžete deliť aj 12. Podobné pravidlo platí pre iné komplexné čísla, napríklad pätnásť. V tomto prípade by deliteľ mal byť 5 a 3. Ak chcete zistiť, či je číslo deliteľné 14, mali by ste zistiť, či je násobkom 7 a 2. Môžete to teda zvážiť v nasledujúcom príklade. Je potrebné určiť, či možno 658 deliť 14. Posledná číslica v zázname je párna, preto je číslo násobkom dvoch. Ďalej vynásobíme 8 2, dostaneme 16. Od 65 je potrebné odpočítať 16. Výsledok 49 je deliteľný 7, ako celé číslo. Preto možno 658 deliť aj 14.

Ak sú posledné dve číslice v danom čísle deliteľné 25, potom všetky budú násobkom tohto deliteľa. Pri viacciferných číslach bude znak deliteľnosti 11 znieť nasledovne. Je potrebné zistiť, či rozdiel medzi súčtami číslic, ktoré sú v jej zázname na nepárnych a párnych miestach, je násobkom daného deliteľa.

Treba si uvedomiť, že znaky deliteľnosti čísel a ich znalosť veľmi často značne zjednodušujú mnohé úlohy, s ktorými sa stretávame nielen v matematike, ale aj v bežnom živote. Vďaka schopnosti určiť, či je číslo násobkom iného, ​​môžete rýchlo vykonávať rôzne úlohy. Okrem toho použitie týchto metód na hodinách matematiky pomôže rozvíjať študentov alebo školákov, prispeje k rozvoju určitých schopností.

Znaky deliteľnosti čísel o 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 25 a ďalších číslach je užitočné vedieť pre rýchle riešenie problémov s digitálnym zápisom čísla. Namiesto delenia jedného čísla druhým stačí zaškrtnúť množstvo znamienok, na základe ktorých možno jednoznačne určiť, či je jedno číslo deliteľné druhým úplne (či ide o násobok), alebo nie.

Hlavné znaky deliteľnosti

Poďme priniesť hlavné znaky deliteľnosti čísel:

• Znamienko deliteľnosti čísla "2"Číslo je rovnomerne deliteľné 2, ak je párne (posledná číslica je 0, 2, 4, 6 alebo 8)
  Príklad: Číslo 1256 je násobkom 2, pretože končí 6. A číslo 49603 nie je ani deliteľné 2, pretože končí 3.
• Znamienko deliteľnosti čísla "3"Číslo je deliteľné tromi, ak súčet jeho číslic je deliteľný tromi
  Príklad: Číslo 4761 je deliteľné 3, pretože súčet jeho číslic je 18 a je deliteľné 3. A číslo 143 nie je násobkom 3, pretože súčet jeho číslic je 8 a nie je deliteľné tromi.
• Znamienko deliteľnosti čísla "4"Číslo je deliteľné 4, ak sú posledné dve číslice čísla nula alebo ak je číslo zložené z posledných dvoch číslic deliteľné 4.
  Príklad: Číslo 2344 je násobkom 4, pretože 44 / 4 = 11. A číslo 3951 nie je deliteľné 4, pretože 51 nie je deliteľné 4.
• Znamienko deliteľnosti čísla "5"Číslo je deliteľné 5, ak je posledná číslica čísla 0 alebo 5
  Príklad: Číslo 5830 je deliteľné 5, pretože končí 0. A číslo 4921 nie je deliteľné 5, pretože končí 1.
• Znamienko deliteľnosti čísla "6"Číslo je deliteľné 6, ak je deliteľné 2 a 3
  Príklad: Číslo 3504 je násobkom 6, pretože končí na 4 (znak deliteľnosti 2) a súčet číslic čísla je 12 a je deliteľné 3 (znamienko deliteľnosti 3). A číslo 5432 nie je úplne deliteľné 6, aj keď číslo končí 2 (dodržiava sa znamienko deliteľnosti 2), no súčet číslic je 14 a nie je úplne deliteľné 3.
• Znamienko deliteľnosti čísla "8"Číslo je deliteľné 8, ak sú posledné tri číslice čísla nula alebo ak je číslo zložené z posledných troch číslic čísla deliteľné 8.
  Príklad: Číslo 93112 je deliteľné 8, pretože 112 / 8 = 14. A číslo 9212 nie je násobkom 8, pretože 212 nie je deliteľné 8.
• Znamienko deliteľnosti čísla "9"Číslo je deliteľné 9, ak súčet jeho číslic je deliteľný 9
  Príklad: Číslo 2916 je násobkom 9, pretože súčet cifier je 18 a je deliteľné 9. A číslo 831 nie je ani deliteľné 9, pretože súčet cifier čísla je 12 a nie je deliteľné 9.
• Znamienko deliteľnosti čísla "10"Číslo je deliteľné 10, ak končí 0
  Príklad: Číslo 39590 je deliteľné 10, pretože končí 0. A číslo 5964 nie je deliteľné 10, pretože nekončí 0.
• Znamienko deliteľnosti čísla číslom "11"Číslo je deliteľné 11, ak sa súčet číslic na nepárnych miestach rovná súčtu číslic na párnych miestach alebo sa súčty musia líšiť o 11
  Príklad: Číslo 3762 je deliteľné 11, pretože 3 + 6 = 7 + 2 = 9. A číslo 2374 nie je deliteľné 11, pretože 2 + 7 = 9 a 3 + 4 = 7.
• Znamienko deliteľnosti čísla "25"Číslo je deliteľné 25, ak končí na 00, 25, 50 alebo 75
  Príklad: Číslo 4950 je násobkom 25, pretože končí číslom 50. A číslo 4935 nie je deliteľné číslom 25, pretože končí číslom 35.

Kritériá deliteľnosti pre zložené číslo

Ak chcete zistiť, či je dané číslo deliteľné zloženým číslom, musíte toto zložené číslo rozložiť na relatívne hlavné faktory, ktorých kritériá deliteľnosti sú známe. Prvotriedne čísla sú čísla, ktoré nemajú žiadneho spoločného deliteľa okrem 1. Číslo je napríklad deliteľné 15, ak je deliteľné 3 a 5.

Uvažujme o ďalšom príklade zloženého deliteľa: číslo je deliteľné 18, ak je deliteľné 2 a 9. V tomto prípade nemôžete rozložiť 18 na 3 a 6, pretože nie sú dvojčlenné, pretože majú spoločného deliteľa 3. Overíme si to na príklade.

Číslo 456 je deliteľné 3, pretože súčet jeho číslic je 15, a deliteľné 6, keďže je deliteľné 3 aj 2. Ak však manuálne vydelíte 456 18, dostanete zvyšok. Ak pri čísle 456 skontrolujeme znamienka deliteľnosti 2 a 9, hneď je jasné, že je deliteľné 2, ale nie je deliteľné 9, keďže súčet cifier čísla je 15 a nie je deliteľné 9.

Séria článkov o znakoch deliteľnosti pokračuje znak deliteľnosti 3. Tento článok najskôr uvádza formuláciu kritéria deliteľnosti 3 a uvádza príklady použitia tohto kritéria pri zisťovaní, ktoré z daných celých čísel sú deliteľné 3 a ktoré nie. Ďalej je uvedený dôkaz testu deliteľnosti 3. Do úvahy sa berú aj prístupy k stanoveniu deliteľnosti 3 čísel danými ako hodnota nejakého výrazu.

Navigácia na stránke.

Znak deliteľnosti 3, príklady

Začnime s formulácie testu deliteľnosti 3: celé číslo je deliteľné 3 , ak súčet jeho číslic je deliteľný 3 , ak súčet jeho cifier nie je deliteľný 3 , tak samotné číslo nie je deliteľné 3 .

Z uvedenej formulácie je zrejmé, že znak deliteľnosti 3 nemožno použiť bez schopnosti výkonu. Pre úspešnú aplikáciu znamienka deliteľnosti 3 musíte vedieť, že zo všetkých čísel sú 3, 6 a 9 deliteľné 3 a čísla 1, 2, 4, 5, 7 a 8 deliteľné nie sú. do 3.

Teraz môžeme zvážiť najjednoduchšie príklady použitia testu deliteľnosti 3. Zistite, či je číslo -42 deliteľné 3. Aby sme to urobili, vypočítame súčet číslic čísla −42, rovná sa 4+2=6. Keďže 6 je deliteľné 3, potom na základe kritéria deliteľnosti 3 možno tvrdiť, že číslo -42 je tiež deliteľné 3. Ale kladné celé číslo 71 nie je deliteľné 3, pretože súčet jeho číslic je 7+1=8 a 8 nie je deliteľné 3.

Je 0 deliteľné 3? Na zodpovedanie tejto otázky nie je potrebný test deliteľnosti 3, tu si musíme pripomenúť zodpovedajúcu vlastnosť deliteľnosti, ktorá hovorí, že nula je deliteľná ľubovoľným celým číslom. Takže 0 je deliteľné 3.

V niektorých prípadoch, aby sa ukázalo, že dané číslo má alebo nemá schopnosť byť deliteľné 3, test deliteľnosti 3 sa musí použiť niekoľkokrát za sebou. Vezmime si príklad.

Príklad.

Ukážte, že číslo 907444812 je deliteľné 3.

rozhodnutie.

Súčet číslic 907444812 je 9+0+7+4+4+4+8+1+2=39 . Aby sme zistili, či je 39 deliteľné 3, vypočítame jeho ciferný súčet: 3+9=12 . A aby sme zistili, či je 12 deliteľné 3, nájdeme súčet číslic čísla 12, máme 1+2=3. Keďže sme dostali číslo 3, ktoré je deliteľné 3, tak v dôsledku znamienka deliteľnosti 3 je číslo 12 deliteľné 3. Preto je 39 deliteľné 3, pretože súčet jeho číslic je 12 a 12 je deliteľné 3. Nakoniec, 907333812 je deliteľné 3, pretože súčet jeho číslic je 39 a 39 je deliteľný 3.

Na konsolidáciu materiálu rozoberieme riešenie iného príkladu.

Príklad.

Je číslo −543205 deliteľné 3?

rozhodnutie.

Vypočítajme súčet číslic tohto čísla: 5+4+3+2+0+5=19 . Na druhej strane súčet číslic čísla 19 je 1+9=10 a súčet číslic čísla 10 je 1+0=1. Keďže sme dostali číslo 1, ktoré nie je deliteľné 3, z kritéria deliteľnosti 3 vyplýva, že 10 nie je deliteľné 3. Preto 19 nie je deliteľné 3, pretože súčet jeho číslic je 10 a 10 nie je deliteľné 3. Preto pôvodné číslo −543205 nie je deliteľné 3, pretože súčet jeho číslic rovný 19 nie je deliteľný 3.

odpoveď:

nie

Za zmienku stojí, že priame delenie daného čísla 3 nám tiež umožňuje dospieť k záveru, či je dané číslo deliteľné 3 alebo nie. Týmto chceme povedať, že delenie netreba zanedbávať v prospech znamienka deliteľnosti 3. V poslednom príklade 543205 krát 3 by sme sa uistili, že 543205 nie je deliteľné ani 3, z čoho by sme mohli povedať, že ani −543205 nie je deliteľné 3.

Dôkaz o skúške deliteľnosti 3

Nasledujúce znázornenie čísla a nám pomôže dokázať znamienko deliteľnosti 3. Akékoľvek prirodzené číslo a môžeme , po čom nám umožňuje získať vyjadrenie tvaru , kde a n , a n−1 , ..., a 0 sú číslice zľava doprava v zápise čísla a . Pre názornosť uvádzame príklad takejto reprezentácie: 528=500+20+8=5 100+2 10+8 .

Teraz si napíšme niekoľko celkom zrejmých rovníc: 10=9+1=3 3+1 , 100=99+1=33 3+1 , 1 000=999+1=333 3+1 a tak ďalej.

Nahrádzanie do rovnosti a=a n 10 n +a n−1 10 n−1 +…+a 2 10 2 +a 1 10+a 0 namiesto 10 , 100 , 1 000 a tak ďalej dostaneme výrazy 3 3+1 , 33 3+1 , 999+1=333 3+1 atď.
.

A nechajte výslednú rovnosť prepísať takto:

Výraz je súčet číslic a. Označme ho pre stručnosť a pohodlnosť písmenom A, teda zoberme si . Potom dostaneme znázornenie čísla a tvaru , ktoré použijeme pri dokazovaní testu deliteľnosti 3 .

Aby sme dokázali test deliteľnosti 3, potrebujeme nasledujúce vlastnosti deliteľnosti:

• že celé číslo a je deliteľné celým číslom b je nevyhnutné a postačujúce na to, aby a bolo deliteľné modulom b;
• ak v rovnosti a=s+t sú všetky členy okrem jedného deliteľné nejakým celým číslom b, potom je tento jeden člen tiež deliteľný číslom b.

Teraz sme plne pripravení a môžeme uskutočniť dôkaz o deliteľnosti 3, pre zjednodušenie formulujeme túto vlastnosť ako nevyhnutnú a postačujúcu podmienku deliteľnosti 3 .

Veta.

Aby bolo celé číslo a deliteľné 3, je potrebné a postačujúce, aby súčet jeho číslic bol deliteľný 3.

Dôkaz.

Pre a=0 veta je zrejmá.

Ak a je iné ako nula, potom modul a je prirodzené číslo, potom je možné zobrazenie, kde je súčet číslic čísla a.

Keďže súčet a súčin celých čísel je celé číslo, potom je celé číslo, potom podľa definície deliteľnosti je súčin deliteľný 3 pre ľubovoľné a 0 , a 1 , …, a n .

Ak je súčet číslic čísla a deliteľný 3, to znamená, že A je deliteľné 3, potom v dôsledku vlastnosti deliteľnosti uvedenej pred vetou je deliteľné 3, a preto je a deliteľné 3. To dokazuje dostatočnosť.

Ak a je deliteľné 3, potom je deliteľné 3, potom kvôli rovnakej vlastnosti deliteľnosti je číslo A deliteľné 3, to znamená, že súčet číslic čísla a je deliteľný 3. To dokazuje nevyhnutnosť.

Ostatné prípady deliteľnosti 3

Niekedy nie sú celé čísla špecifikované explicitne, ale ako hodnota určitej danej hodnoty premennej. Napríklad hodnota výrazu pre nejaké prirodzené n je prirodzené číslo. Je jasné, že pri takejto špecifikácii čísel priame delenie 3 nepomôže určiť ich deliteľnosť 3 a znamienko deliteľnosti 3 sa nebude dať vždy uplatniť. Teraz zvážime niekoľko prístupov k riešeniu takýchto problémov.

Podstatou týchto prístupov je reprezentovať pôvodný výraz ako súčin viacerých faktorov a ak je aspoň jeden z faktorov deliteľný tromi, potom vzhľadom na zodpovedajúcu vlastnosť deliteľnosti bude možné dospieť k záveru, že celý produkt je deliteľný 3.

Niekedy vám tento prístup umožňuje implementovať. Uvažujme o príklade riešenia.

Príklad.

Je hodnota výrazu deliteľná 3 pre akékoľvek prirodzené n?

rozhodnutie.

Rovnosť je zrejmá. Použime Newtonov binomický vzorec:

V poslednom výraze môžeme zo zátvoriek vyňať 3 a dostaneme . Výsledný súčin je deliteľný 3, pretože obsahuje faktor 3 a hodnota výrazu v zátvorke pre prirodzené n je prirodzené číslo. Preto je deliteľné 3 pre akékoľvek prirodzené n.

odpoveď:

Áno.

V mnohých prípadoch preukázanie deliteľnosti 3 umožňuje . Rozoberme si jeho aplikáciu pri riešení príkladu.

Príklad.

Dokážte, že pre akékoľvek prirodzené n je hodnota výrazu deliteľná 3.

rozhodnutie.

Na dôkaz používame metódu matematickej indukcie.

o n=1 hodnota výrazu je a 6 je deliteľné 3.

Predpokladajme, že hodnota výrazu je deliteľná 3, keď n=k , teda deliteľná 3 .

Ak vezmeme do úvahy, že je deliteľné 3, ukážeme, že hodnota výrazu pre n=k+1 je deliteľná 3, to znamená, že ukážeme, že je deliteľné 3.

Matematika v 6. ročníku začína štúdiom pojmu deliteľnosti a znakov deliteľnosti. Často obmedzené na znaky deliteľnosti týmito číslami:

• Na 2 : posledná číslica musí byť 0, 2, 4, 6 alebo 8;
• Na 3 : súčet číslic čísla musí byť deliteľný 3;
• Na 4 : číslo tvorené poslednými dvoma číslicami musí byť deliteľné 4;
• Na 5 : posledná číslica musí byť 0 alebo 5;
• Na 6 : číslo musí mať znaky deliteľnosti 2 a 3;
• Znak deliteľnosti podľa 7 často vynechávané;
• Málokedy sa hovorí aj o teste deliteľnosti na 8 , hoci je to podobné ako pri znamienkach deliteľnosti 2 a 4. Aby bolo číslo deliteľné 8, je potrebné a postačujúce, aby trojciferná koncovka bola deliteľná 8.
• Znak deliteľnosti podľa 9 každý vie: súčet číslic čísla musí byť deliteľný 9. Čo však nevytvára imunitu proti všelijakým trikom s dátumami, ktoré používajú numerológovia.
• Znak deliteľnosti podľa 10 , asi najjednoduchšie: číslo musí končiť nulou.
• Niekedy sa šiestakom hovorí aj o znaku deliteľnosti na 11 . Je potrebné pridať číslice čísla na párnych miestach, odpočítať čísla na nepárnych miestach od výsledku. Ak je výsledok deliteľný 11, potom samotné číslo je deliteľné 11.

Vráťme sa teraz k znamienku deliteľnosti 7. Ak o ňom hovoria, spája sa so znamienkom deliteľnosti 13 a odporúča sa ho tak používať.

Berieme číslo. Rozdelíme ho na bloky po 3 číslice (blok úplne vľavo môže obsahovať jednu alebo 2 číslice) a tieto bloky striedavo pripočítavame/odčítavame.

Ak je výsledok deliteľný 7, 13 (alebo 11), potom samotné číslo je deliteľné 7, 13 (alebo b 11).

Táto metóda je založená, rovnako ako množstvo matematických trikov, na skutočnosti, že 7x11x13 \u003d 1001. Čo však robiť s trojcifernými číslami, pri ktorých sa otázka deliteľnosti niekedy nedá vyriešiť bez samotného delenia.

Pomocou univerzálneho testu deliteľnosti je možné zostaviť relatívne jednoduché algoritmy na určenie, či je číslo deliteľné 7 a inými „nepohodlnými“ číslami.

Vylepšený test deliteľnosti 7
Ak chcete skontrolovať, či je číslo deliteľné 7, musíte vypustiť poslednú číslicu z čísla a odpočítať túto číslicu dvakrát od výsledného výsledku. Ak je výsledok deliteľný 7, potom samotné číslo je deliteľné 7.

Príklad 1:
Je číslo 238 deliteľné číslom 7?
23-8-8 = 7. Takže číslo 238 je deliteľné 7.
Skutočne, 238 = 34 x 7

Túto akciu je možné vykonať viackrát.
Príklad 2:
Je 65835 deliteľné číslom 7?
6583-5-5 = 6573
657-3-3 = 651
65-1-1 = 63
63 je deliteľné 7 (ak by sme si to nevšimli, mohli by sme urobiť ešte 1 krok: 6-3-3 = 0 a 0 je určite deliteľné 7).

Takže číslo 65835 je tiež deliteľné 7.

Na základe univerzálneho kritéria deliteľnosti je možné zlepšiť kritérium deliteľnosti o 4 a o 8.

Vylepšený test deliteľnosti 4
Ak je polovica počtu jednotiek plus počet desiatok párne číslo, potom je číslo deliteľné 4.

Príklad 3
Je číslo 52 deliteľné 4?
5+2/2 = 6, číslo je párne, teda číslo je deliteľné 4.

Príklad 4
Je číslo 134 deliteľné 4?
3+4/2 = 5, nepárne číslo, takže 134 nie je deliteľné 4.

Vylepšený test deliteľnosti 8
Ak spočítate dvojnásobný počet stoviek, počet desiatok a polovičný počet jednotiek a výsledok je deliteľný 4, potom samotné číslo je deliteľné 8.

Príklad 5
Je číslo 512 deliteľné 8?
5*2+1+2/2 = 12, číslo je deliteľné 4, teda 512 je deliteľné 8.

Príklad 6
Je číslo 1984 deliteľné 8?
9*2+8+4/2 = 28, číslo je deliteľné 4, takže 1984 je deliteľné 8.

Znak deliteľnosti 12 je spojenie znakov deliteľnosti 3 a 4. To isté platí pre každé n, ktoré je súčinom koprima p a q. Aby bolo číslo deliteľné číslom n (ktoré sa rovná súčinu pq, teda gcd(p,q)=1), číslo musí byť deliteľné súčasne p aj q.

Dávajte si však pozor! Aby zložené znaky deliteľnosti fungovali, faktory čísla musia byť presne coprime. Nemôžete povedať, že číslo je deliteľné 8, ak je deliteľné 2 a 4.

Vylepšený test deliteľnosti 13
Ak chcete skontrolovať, či je číslo deliteľné 13, musíte vypustiť poslednú číslicu z čísla a pridať ju štyrikrát k výslednému výsledku. Ak je výsledok deliteľný 13, potom samotné číslo je deliteľné 13.

Príklad 7
Je 65835 deliteľné číslom 8?
6583+4*5 = 6603
660+4*3 = 672
67+4*2 = 79
7+4*9 = 43

Číslo 43 nie je deliteľné 13, čiže ani číslo 65835 nie je deliteľné 13.

Príklad 8
Je 715 deliteľné 13?
71+4*5 = 91
9+4*1 = 13
13 je deliteľné 13, takže 715 je tiež deliteľné 13.

Znaky deliteľnosti 14, 15, 18, 20, 21, 24, 26, 28 a ďalšie zložené čísla, ktoré nie sú mocninami prvočísel, sú podobné kritériám deliteľnosti 12. Deliteľnosť týchto čísel kontrolujeme súčiniteľmi súčiniteľa.

• Pre 14: pre 2 a pre 7;
• Pre 15: o 3 a o 5;
• Pre 18: 2 a 9;
• Pre 21: dňa 3 a dňa 7;
• Pre 20: o 4 a o 5 (alebo inými slovami, posledná číslica musí byť nula a predposledná musí byť párna);
• Pre 24: 3 a 8;
• Pre 26: 2 a 13;
• Pre 28:4 a 7.

Vylepšený test deliteľnosti 16.
Namiesto toho, aby ste zisťovali, či je 4-ciferná koncovka deliteľná 16, môžete pridať číslicu jednotky s desaťnásobkom desiatky, štvornásobok stoviek a
osemnásobok tisícmiestneho čísla a skontrolujte, či je výsledok deliteľný 16.

Príklad 9
Je rok 1984 deliteľný 16?
4+10*8+4*9+2*1 = 4+80+36+2 = 126
6+10*2+4*1=6+20+4=30
30 nie je deliteľné 16, takže ani 1984 nie je deliteľné 16.

Príklad 10
Je číslo 1526 deliteľné 16?
6+10*2+4*5+2*1 = 6+20+20+2 = 48
48 nie je deliteľné 16, takže 1526 je tiež deliteľné 16.

Vylepšený test deliteľnosti 17.
Ak chcete skontrolovať, či je číslo deliteľné 17, musíte z čísla vyradiť poslednú číslicu a od výsledného výsledku päťkrát odpočítať toto číslo. Ak je výsledok deliteľný 13, potom samotné číslo je deliteľné 13.

Príklad 11
Je číslo 59772 deliteľné 17?
5977-5*2 = 5967
596-5*7 = 561
56-5*1 = 51
5-5*5 = 0
0 je deliteľné 17, takže 59772 je tiež deliteľné 17.

Príklad 12
Je 4913 deliteľné 17?
491-5*3 = 476
47-5*6 = 17
17 je deliteľné 17, takže 4913 je tiež deliteľné 17.

Vylepšený test deliteľnosti 19.
Ak chcete skontrolovať, či je číslo deliteľné 19, musíte k číslu, ktoré zostane po vyradení poslednej číslice, pridať dvojnásobok poslednej číslice.

Príklad 13
Je číslo 9044 deliteľné 19?
904+4+4 = 912
91+2+2 = 95
9+5+5 = 19
19 je deliteľné 19, takže 9044 je tiež deliteľné 19.

Vylepšený test deliteľnosti 23.
Ak chcete skontrolovať, či je číslo deliteľné 23, musíte k číslu, ktoré zostane po vyradení poslednej číslice, pridať poslednú číslicu zväčšenú 7-krát.

Príklad 14
Je číslo 208012 deliteľné 23?
20801+7*2 = 20815
2081+7*5 = 2116
211+7*6 = 253
V skutočnosti už môžete vidieť, že 253 je 23,

Znaky deliteľnosti čísel- ide o pravidlá, ktoré umožňujú bez delenia pomerne rýchlo zistiť, či je toto číslo bezo zvyšku deliteľné daným číslom.
Niektorí z znaky deliteľnosti celkom jednoduché, niektoré ťažšie. Na tejto stránke nájdete znaky deliteľnosti prvočísel, ako napríklad 2, 3, 5, 7, 11, ako aj znaky deliteľnosti zložených čísel, ako napríklad 6 alebo 12.
Dúfam, že tieto informácie budú pre vás užitočné.
Príjemné učenie!

Znak deliteľnosti 2

Toto je jeden z najjednoduchších znakov deliteľnosti. Znie to takto: ak sa záznam o prirodzenom čísle končí párnou číslicou, potom je párny (delený bezo zvyšku 2) a ak sa záznam čísla končí nepárnou číslicou, potom je toto číslo nepárne.
Inými slovami, ak je posledná číslica čísla 2 , 4 , 6 , 8 alebo 0 - číslo je deliteľné 2, ak nie, tak nie je deliteľné
Napríklad čísla: 23 4 , 8270 , 1276 , 9038 , 502 sú deliteľné 2, pretože sú párne.
A čísla: 23 5 , 137 , 2303
nie sú deliteľné 2, pretože sú nepárne.

Znak deliteľnosti 3

Tento znak deliteľnosti má úplne iné pravidlá: ak je súčet číslic čísla deliteľný 3, potom je číslo deliteľné aj 3; Ak súčet číslic čísla nie je deliteľný 3, potom číslo nie je deliteľné 3.
Takže, aby ste pochopili, či je číslo deliteľné 3, stačí sčítať čísla, ktoré ho tvoria.
Vyzerá to takto: 3987 a 141 sú delené 3, pretože v prvom prípade 3+9+8+7= 27 (27:3=9 - deliteľné bezo zvyšku 3), a v druhom 1+4+1= 6 (6:3=2 - bezo zvyšku deliteľné aj 3).
Ale čísla: 235 a 566 nie sú deliteľné 3, pretože 2+3+5= 10 a 5+6+6= 17 (a vieme, že ani 10, ani 17 nemožno bezo zvyšku deliť 3).

Deliteľnosť 4 znamienkami

Tento test deliteľnosti bude zložitejší. Ak posledné 2 číslice čísla tvoria číslo, ktoré je deliteľné 4 alebo je to 00, potom je číslo deliteľné 4, inak toto číslo nie je bezo zvyšku deliteľné 4.
Napríklad: 1 00 a 3 64 sú deliteľné 4, pretože v prvom prípade číslo končí na 00 a v druhom 64 , ktorý je zase deliteľný 4 bezo zvyšku (64:4=16)
Čísla 3 57 a 8 86 nie sú deliteľné 4, pretože ani jedno 57 ani jedno 86 nie sú deliteľné 4, a preto nezodpovedajú tomuto kritériu deliteľnosti.

Znak deliteľnosti 5

A opäť tu máme pomerne jednoduchý znak deliteľnosti: ak sa záznam prirodzeného čísla končí číslicou 0 alebo 5, potom je toto číslo deliteľné bezo zvyšku 5. Ak sa záznam čísla končí inou číslicou, potom číslo bez zvyšku nie je deliteľné 5.
To znamená, že akékoľvek čísla končiace číslicami 0 a 5 , napríklad 1235 5 a 43 0 , spadajú pod pravidlo a sú deliteľné 5.
A napríklad 1549 3 a 56 4 nekončia 5 alebo 0, čo znamená, že nemôžu byť deliteľné 5 bezo zvyšku.

Znak deliteľnosti 6

Pred nami je zložené číslo 6, ktoré je súčinom čísel 2 a 3. Preto je aj znamienko deliteľnosti 6 zložené: aby bolo číslo deliteľné 6, musí zodpovedať dvom znamienkam deliteľnosti. zároveň: znak deliteľnosti 2 a znak deliteľnosti 3. Zároveň si všimnite, že také zložené číslo ako 4 má individuálny znak deliteľnosti, pretože je samo o sebe súčinom čísla 2 . Ale späť k testu deliteľnosti 6.
Čísla 138 a 474 sú párne a zodpovedajú znamienkam deliteľnosti 3 (1+3+8=12, 12:3=4 a 4+7+4=15, 15:3=5), čo znamená, že sú deliteľné 6. Ale 123 a 447, hoci sú deliteľné 3 (1+2+3=6, 6:3=2 a 4+4+7=15, 15:3=5), ale sú nepárne, a preto nezodpovedajú kritériu deliteľnosti 2, a preto nezodpovedajú kritériu deliteľnosti 6.

Znak deliteľnosti 7

Toto kritérium deliteľnosti je zložitejšie: číslo je deliteľné 7, ak je výsledok odčítania poslednej číslice od počtu desiatok tohto čísla deliteľný 7 alebo rovný 0.
Znie to dosť zmätočne, no v praxi je to jednoduché. Presvedčte sa sami: číslo 95 9 je deliteľné 7, pretože 95 -2*9=95-18=77, 77:7=11 (77 je bezo zvyšku deliteľné 7). Okrem toho, ak sú ťažkosti s číslom získaným počas transformácií (kvôli jeho veľkosti je ťažké pochopiť, či je deliteľné 7 alebo nie, potom tento postup môže pokračovať toľkokrát, koľkokrát uznáte za vhodné).
Napríklad, 45 5 a 4580 1 majú znaky deliteľnosti 7. V prvom prípade je všetko celkom jednoduché: 45 -2*5=45-10=35, 35:7=5. V druhom prípade urobíme toto: 4580 -2*1=4580-2=4578. Je pre nás ťažké pochopiť, či 457 8 x 7, takže postup zopakujeme: 457 -2*8=457-16=441. A opäť použijeme znak deliteľnosti, keďže máme pred sebou ešte trojciferné číslo 44 1. Takže, 44 -2*1=44-2=42, 42:7=6, t.j. 42 je deliteľné číslom 7 bezo zvyšku, čo znamená, že číslo 45801 je tiež deliteľné číslom 7.
A tu sú čísla 11 1 a 34 5 nie je deliteľné 7, pretože 11 -2*1=11-2=9 (9 nie je rovnomerne deliteľné 7) a 34 -2*5=34-10=24 (24 nie je rovnomerne deliteľné 7).

Znak deliteľnosti 8

Znak deliteľnosti 8 znie takto: ak posledné 3 číslice tvoria číslo, ktoré je deliteľné 8, alebo je 000, potom je dané číslo deliteľné 8.
Čísla 1 000 alebo 1 088 sú deliteľné 8: prvý končí na 000 , druhy 88 :8=11 (deliteľné 8 bezo zvyšku).
A tu sú čísla 1 100 alebo 4 757 nie sú deliteľné 8, pretože čísla 100 a 757 nie sú bezo zvyšku deliteľné 8.

Znak deliteľnosti 9

Tento znak deliteľnosti je podobný znaku deliteľnosti 3: ak je súčet číslic čísla deliteľný 9, potom je číslo deliteľné aj 9; Ak súčet číslic čísla nie je deliteľný 9, potom číslo nie je deliteľné 9.
Napríklad: 3987 a 144 sú deliteľné 9, pretože v prvom prípade 3+9+8+7= 27 (27:9=3 - deliteľné bezo zvyšku 9) a v druhom 1+4+4= 9 (9:9=1 - tiež deliteľné bezo zvyšku 9).
Ale čísla: 235 a 141 nie sú deliteľné 9, pretože 2+3+5= 10 a 1+4+1= 6 (a vieme, že ani 10, ani 6 nemožno deliť 9 bezo zvyšku).

Znaky deliteľnosti 10, 100, 1000 a inými bitovými jednotkami

Tieto kritériá deliteľnosti som skombinoval, pretože sa dajú opísať rovnakým spôsobom: číslo je deliteľné jednotkou bitu, ak počet núl na konci čísla je väčší alebo rovný počtu núl v danej bitovej jednotke.
Inými slovami, napríklad máme čísla ako toto: 654 0 , 46400 , 867000 , 6450 . všetky sú deliteľné 1 0 ; 46400 a 867 000 sú tiež deliteľné 1 00 ; a iba jeden z nich - 867 000 deliteľné 1 000 .
Akékoľvek čísla, ktoré majú na konci menej núl ako bitová jednotka, nie sú deliteľné touto bitovou jednotkou, napríklad 600 30 a 7 93 nezdieľať 1 00 .

Znak deliteľnosti 11

Aby ste zistili, či je číslo deliteľné 11, musíte získať rozdiel medzi súčtom párnych a nepárnych číslic tohto čísla. Ak sa tento rozdiel rovná 0 alebo je bezo zvyšku deliteľný 11, potom samotné číslo je bezo zvyšku deliteľné 11.
Aby to bolo jasnejšie, navrhujem zvážiť príklady: 2 35 4 je deliteľné 11, pretože ( 2 +5 )-(3+4)=7-7=0. 29 19 4 je tiež deliteľné 11, pretože ( 9 +9 )-(2+1+4)=18-7=11.
A tu je 1 1 1 alebo 4 35 4 nie je deliteľné 11, pretože v prvom prípade dostaneme (1 + 1) - 1 =1 a v druhom ( 4 +5 )-(3+4)=9-7=2.

Znak deliteľnosti 12

Číslo 12 je zložené. Jeho znakom deliteľnosti je súlad so znakmi deliteľnosti 3 a 4 súčasne.
Napríklad 300 a 636 zodpovedajú znakom deliteľnosti 4 (posledné 2 číslice sú nuly alebo deliteľné 4), ako aj znakom deliteľnosti 3 (súčet číslic a prvého a druhého čísla sú deliteľné 3). ), a preto sú bezo zvyšku deliteľné 12.
Ale 200 alebo 630 nie sú deliteľné 12, pretože v prvom prípade číslo zodpovedá iba znamienku deliteľnosti 4 av druhom - iba znamienku deliteľnosti 3. Ale nie obom znamienkam súčasne.

Znak deliteľnosti 13

Znakom deliteľnosti 13 je, že ak je počet desiatok čísla, pripočítaný k jednotkám tohto čísla vynásobeným 4, násobkom 13 alebo rovným 0, potom je samotné číslo deliteľné 13.
Vezmite si napríklad 70 2. Takže 70 +4*2=78, 78:13=6 (78 je rovnomerne deliteľné 13), takže 70 2 je deliteľné 13 bezo zvyšku. Ďalším príkladom je číslo 114 4. 114 +4*4=130, 130:13=10. Číslo 130 je bezo zvyšku deliteľné 13, čo znamená, že dané číslo zodpovedá znamienku deliteľnosti 13.
Ak vezmeme čísla 12 5 resp 21 2, potom dostaneme 12 +4*5=32 a 21 +4*2=29 a ani 32, ani 29 nie sú bezo zvyšku deliteľné 13, čo znamená, že dané čísla nie sú bezo zvyšku deliteľné 13.

Deliteľnosť čísel

Ako je zrejmé z vyššie uvedeného, ​​možno predpokladať, že ktorékoľvek z prirodzených čísel môže byť spárované s vlastným individuálnym znakom deliteľnosti alebo "zloženým" znakom, ak je číslo násobkom niekoľkých rôznych čísel. Ale ako ukazuje prax, v podstate čím väčšie číslo, tým zložitejšia je jeho vlastnosť. Čas strávený kontrolou kritéria deliteľnosti môže byť rovnaký alebo dlhší ako samotné delenie. Preto zvyčajne používame najjednoduchšie kritériá deliteľnosti.