V tomto článku sa budeme venovať konceptu krížového produktu dvoch vektorov. Dáme potrebné definície, napíšeme vzorec na vyhľadanie súradníc vektorového produktu, uvedieme zoznam a doložíme jeho vlastnosti. Potom sa pozastavíme nad geometrickým významom vektorového súčinu dvoch vektorov a zvážime riešenia rôznych typických príkladov.

Navigácia po stránke.

Definícia vektorového produktu.

Pred definíciou vektorového produktu poďme zistiť orientáciu usporiadanej trojice vektorov v trojrozmernom priestore.

Odložte vektory z jedného bodu. V závislosti od smeru vektora môže byť trojica vpravo alebo vľavo. Pozrime sa z konca vektora na to, ako nastáva najkratšia rotácia z vektora na. Ak najkratšia rotácia nastane proti smeru hodinových ručičiek, potom sa volá triplet vektorov správny, inak - vľavo.

Teraz vezmeme dva nekolineárne vektory a. Odložme vektory a z bodu A. Zostrojme nejaký vektor kolmý na obidve a. Je zrejmé, že keď konštruujeme vektor, môžeme robiť dve veci, a to buď jedným alebo opačným smerom (pozri ilustráciu).

V závislosti od smeru vektora môže byť usporiadaný triplet vektorov pravý alebo ľavý.

Takže sa blížime k definícii vektorového produktu. Udáva sa pre dva vektory dané v obdĺžnikovom súradnicovom systéme trojrozmerného priestoru.

Definícia.

Vektorový produkt dvoch vektorov a uvedené v obdĺžnikový systém súradnice trojrozmerného priestoru sa nazýva vektor taký, že

Vektorový produkt vektorov a je označený ako.

Vektorové súradnice produktu.

Teraz dajme druhú definíciu vektorového produktu, ktorá umožňuje nájsť jeho súradnice podľa súradníc daných vektorov a.

Definícia.

V obdĺžnikovom súradnicovom systéme trojrozmerného priestoru krížový produkt dvoch vektorov a je vektor, kde sú súradnicové vektory.

Táto definícia nám dáva krížový produkt v súradnicovej podobe.

Je vhodné reprezentovať vektorový produkt vo forme determinantu štvorcovej matice tretieho rádu, ktorého prvý riadok sú jednotkové vektory, druhý riadok obsahuje súradnice vektora a tretí obsahuje súradnice vektora. vektor v danom obdĺžnikovom súradnicovom systéme:

Ak rozšírime tento determinant o prvky prvého riadku, dostaneme rovnosť z definície vektorového produktu v súradniciach (ak je to potrebné, pozri článok):

Je potrebné poznamenať, že súradnicová forma krížového produktu je úplne v súlade s definíciou uvedenou v prvom odseku tohto článku. Okrem toho sú tieto dve definície krížového produktu rovnocenné. Na dôkaz tejto skutočnosti sa môžete pozrieť v knihe uvedenej na konci článku.

Vektorové vlastnosti produktu.

Pretože krížový súčin v súradniciach možno znázorniť vo forme maticového determinantu, na základe vzorca je možné ľahko odôvodniť nasledujúce vlastnosti vektorového produktu:

Ako príklad uveďme antikomutatívnu vlastnosť vektorového produktu.

A-priorstvo a ... Vieme, že hodnota determinantu matice je obrátená, ak sú zamenené dva riadky, preto , ktorá dokazuje vlastnosť antikomutativity vektorového produktu.

Vektorový produkt - príklady a riešenia.

V zásade existujú tri typy úloh.

V úlohách prvého typu sú uvedené dĺžky dvoch vektorov a uhol medzi nimi a je potrebné zistiť dĺžku vektorového produktu. V takom prípade sa použije vzorec .

Príklad.

Nájdite dĺžku vektorového produktu vektorov a, ak je známa .

Rozhodnutie.

Z definície vieme, že dĺžka vektorového súčinu vektorov sa rovná súčinu dĺžok vektorov a sínusu uhla medzi nimi, preto .

Odpoveď:

.

Problémy druhého typu súvisia so súradnicami vektorov, v ktorých sa prostredníctvom súradníc daných vektorov hľadá krížový produkt, jeho dĺžka alebo niečo iné. a .

Existuje veľa rôznych možností. Napríklad nie súradnice vektorov a môžu byť dané, ale ich rozšírenia v súradnicových vektoroch formy a alebo vektory a možno ich určiť súradnicami ich počiatočných a koncových bodov.

Uvažujme o typických príkladoch.

Príklad.

V obdĺžnikovom súradnicovom systéme sú uvedené dva vektory ... Nájdite ich krížový produkt.

Rozhodnutie.

Podľa druhej definície sa krížový produkt dvoch vektorov v súradniciach píše ako:

K rovnakému výsledku by sme dospeli, keby bol krížový produkt napísaný cez determinant

Odpoveď:

.

Príklad.

Nájdite dĺžku vektorového produktu vektorov a kde sú jednotkové vektory obdĺžnikového karteziánskeho súradnicového systému.

Rozhodnutie.

Najskôr nájdeme súradnice vektorového produktu v danom obdĺžnikovom súradnicovom systéme.

Pretože vektory a majú súradnice, a podľa toho (ak je to potrebné, pozri súradnice článku vektora v obdĺžnikovom súradnicovom systéme), potom druhou definíciou krížového súčinu máme

Teda krížový produkt má súradnice v danom súradnicovom systéme.

Dĺžku vektorového súčinu nájdeme ako druhú odmocninu súčtu druhých mocnín jeho súradníc (tento vzorec pre dĺžku vektora sme získali v časti o hľadaní dĺžky vektora):

Odpoveď:

.

Príklad.

Súradnice troch bodov sú uvedené v pravouhlom karteziánskom súradnicovom systéme. Nájdite nejaký vektor kolmý a súčasne.

Rozhodnutie.

Vektory a majú súradnice, respektíve (pozri článok o hľadaní súradníc vektora prostredníctvom súradníc bodov). Ak nájdeme krížový produkt vektorov, potom je to z definície vektor kolmý na k aj k, to znamená, že je riešením nášho problému. Poďme ho nájsť

Odpoveď:

- jeden z kolmých vektorov.

V problémoch tretieho typu sa testuje zručnosť použitia vlastností vektorového produktu vektorov. Po použití vlastností sa použijú príslušné vzorce.

Príklad.

Vektory a sú kolmé a ich dĺžky sú 3, respektíve 4. Nájdite dĺžku krížového produktu .

Rozhodnutie.

Vlastnosťou distributivity vektorového produktu môžeme písať

Kvôli vlastnosti kombinácie vyberieme číselné koeficienty mimo znamienka vektorových produktov v poslednom výraze:

Vektorové produkty a sú rovné nule a potom.

Pretože krížový produkt je antikomutatívny, tak.

Použitím vlastností vektorového produktu sme sa dostali k rovnosti .

Podmienkou sú vektory a sú kolmé, to znamená, že uhol medzi nimi je rovnaký. To znamená, že máme všetky údaje na nájdenie požadovanej dĺžky

Odpoveď:

.

Geometrický význam vektorového súčinu.

Podľa definície je dĺžka vektorového produktu vektorov ... A zo stredoškolského kurzu geometrie vieme, že plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžok dvoch strán trojuholníka a sínusom uhla medzi nimi. V dôsledku toho sa dĺžka vektorového produktu rovná dvojnásobku plochy trojuholníka s vektormi a stranami, ak sú vyčlenené z jedného bodu. Inými slovami, dĺžka vektorového súčinu vektorov a sa rovná oblasti rovnobežníka so stranami aa uhlu medzi nimi rovnému. Toto je geometrický význam vektorového produktu.

Predtým, ako uvedieme pojem vektorový produkt, obráťme sa na otázku orientácie usporiadanej trojice vektorov a →, b →, c → v trojrozmernom priestore.

Odložme bokom vektory a →, b →, c → z jedného bodu. Orientácia trojitého a →, b →, c → môže byť pravá alebo ľavá, v závislosti od smeru samotného vektora c →. Zo smeru, v ktorom je vykonaná najkratšia rotácia z vektora a → do b → od konca vektora c →, bude určená forma trojitého a →, b →, c →.

Ak je najkratšia rotácia proti smeru hodinových ručičiek, potom sa volá triplet vektorov a →, b →, c → správnyak v smere hodinových ručičiek - vľavo.

Ďalej vezmeme dva nekolineárne vektory a → a b →. Odložme potom vektory A B → \u003d a → a A C → \u003d b → z bodu A. Zostrojíme vektor A D → \u003d c →, ktorý je súčasne kolmý na A B → aj A C →. Pri konštrukcii samotného vektora A D → \u003d c → teda môžeme robiť dve veci, ktoré mu dajú buď jeden smer, alebo naopak (pozri ilustráciu).

Usporiadaná trojica vektorov a →, b →, c → môže byť, ako sme zistili, pravá alebo ľavá v závislosti od smeru vektora.

Z vyššie uvedeného môžeme zaviesť definíciu krížového produktu. Táto definícia je uvedená pre dva vektory definované v obdĺžnikovom súradnicovom systéme trojrozmerného priestoru.

Definícia 1

Vektorový produkt dvoch vektorov a → a b → budeme nazývať taký vektor daný v obdĺžnikovom súradnicovom systéme trojrozmerného priestoru tak, že:

• ak sú vektory a → a b → kolineárne, bude nulová;
• bude kolmý na vektor aj → aj na vektor b → t.j. ∠ a → c → \u003d ∠ b → c → \u003d π 2;
• jeho dĺžka je určená vzorcom: c → \u003d a → b → sin ∠ a →, b →;
• triplet vektorov a →, b →, c → má rovnakú orientáciu ako daný súradnicový systém.

Vektorový produkt vektorov a → a b → má nasledujúcu notáciu: a → × b →.

Vektorové súradnice produktu

Pretože akýkoľvek vektor má v súradnicovom systéme určité súradnice, môžete zadať druhú definíciu krížového produktu, ktorá vám umožní nájsť jeho súradnice podľa daných súradníc vektorov.

Definícia 2

V obdĺžnikovom súradnicovom systéme trojrozmerného priestoru vektorový súčin dvoch vektorov a → \u003d (a x; a y; a z) a b → \u003d (b x; b y; b z) nazývaný vektor c → \u003d a → × b → \u003d (ay bz - az by) i → + (az bx - ax bz) j → + (ax by - ay bx) k →, kde i →, j →, k → sú súradnicové vektory.

Vektorový produkt možno reprezentovať ako determinant štvorcovej matice tretieho rádu, kde prvý riadok sú vektory jednotkových vektorov i →, j →, k →, druhý riadok obsahuje súradnice vektora a →, a tretia obsahuje súradnice vektora b → v danom obdĺžnikovom súradnicovom systéme, vyzerá tento determinant matice takto: c → \u003d a → × b → \u003d i → j → k → axayazbxbybz

Rozšírením tohto determinantu o prvky prvého radu získame rovnosť: c → \u003d a → × b → \u003d i → j → k → axayazbxbybz \u003d ayazbybz i → - axazbxbz j → + axaybxby k → \u003d \u003d a → × b → \u003d (ay bz - az by) i → + (az bx - ax bz) j → + (ax by - ay bx) k →

Vektorové vlastnosti produktu

Je známe, že vektorový produkt v súradniciach je reprezentovaný ako determinant matice c → \u003d a → × b → \u003d i → j → k → a x a y a z b x b y b z, potom na základe vlastnosti determinantu matice nasledujúci vlastnosti vektorového produktu:

1. antikomutativita a → × b → \u003d - b → × a →;
2. distributivita a (1) → + a (2) → × b \u003d a (1) → × b → + a (2) → × b → alebo a → × b (1) → + b (2) → \u003d a → × b (1) → + a → × b (2) →;
3. asociativita λ a → × b → \u003d λ a → × b → alebo a → × (λ b →) \u003d λ a → × b →, kde λ je ľubovoľné reálne číslo.

Tieto vlastnosti sa dajú ľahko dokázať.

Napríklad môžeme dokázať vlastnosť antikomutativity vektorového produktu.

Dôkaz antikomutativity

Podľa definície a → × b → \u003d i → j → k → a x a y a z b x b y b z a b → × a → \u003d i → j → k → b x b y b z a x a y a z. A ak sú usporiadané dva riadky matice, potom by sa hodnota determinantu matice mala zmeniť na opačnú, preto a → × b → \u003d i → j → k → axayazbxbybz \u003d - i → j → k → bxbybzaxayaz \u003d - b → × a →, ktoré a dokazuje antikomutativitu vektorového produktu.

Vektorový produkt - príklady a riešenia

Vo väčšine prípadov existujú tri typy úloh.

V úlohách prvého typu sú zvyčajne uvedené dĺžky dvoch vektorov a uhol medzi nimi, musíte však zistiť dĺžku krížového súčinu. V takom prípade použite nasledujúci vzorec c → \u003d a → b → sin ∠ a →, b →.

Príklad 1

Nájdite dĺžku vektorového súčinu vektorov a → a b →, ak poznáte a → \u003d 3, b → \u003d 5, ∠ a →, b → \u003d π 4.

Rozhodnutie

Určením dĺžky vektorového súčinu vektorov a → a b → vyriešime tento problém: a → × b → \u003d a → b → sin ∠ a →, b → \u003d 3 5 sin π 4 \u003d 15 2 2.

Odpoveď: 15 2 2 .

Problémy druhého typu majú súvislosť so súradnicami vektorov, v nich krížový súčin, jeho dĺžka atď. sa hľadajú cez známe súradnice daných vektorov a → \u003d (a x; a y; a z) a b → \u003d (b x; b y; b z) .

Pre tento typ úlohy môžete vyriešiť veľa možností úloh. Napríklad nie je možné určiť súradnice vektorov a → a b →, ale ich rozšírenie v súradnicových vektoroch tvaru b → \u003d b x i → + b y j → + b z k → a c → \u003d a → × b → \u003d (ay bz - az by) i → + (az bx - ax bz) j → + (ax by - ay bx) k → alebo možno určiť vektory a → a b → súradnicami ich počiatočných a koncových bodov.

Zvážte nasledujúce príklady.

Príklad 2

Dva vektory a → \u003d (2; 1; - 3), b → \u003d (0; - 1; 1) sú uvedené v obdĺžnikovom súradnicovom systéme. Nájdite ich krížový produkt.

Rozhodnutie

Podľa druhej definície nájdeme vektorový produkt dvoch vektorov v daných súradniciach: a → × b → \u003d (a bz - az by) i → + (az bx - ax bz) j → + (ax by - ay Bx ) k → \u003d \u003d (1 1 - (- 3) (- 1)) i → + ((- - 3) 0 - 2 1) j → + (2 (- 1) - 1 0) k → \u003d \u003d - 2 i → - 2 j → - 2 k →.

Ak napíšeme vektorový produkt cez determinant matice, potom riešenie tohto príkladu vyzerá takto: a → × b → \u003d i → j → k → axayazbxbybz \u003d i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 \u003d - 2 i → - 2 j → - 2 k →.

Odpoveď: a → × b → \u003d - 2 i → - 2 j → - 2 k →.

Príklad 3

Nájdite dĺžku vektorového súčinu vektorov i → - j → a i → + j → + k →, kde i →, j →, k → sú jednotkové vektory obdĺžnikového karteziánskeho súradnicového systému.

Rozhodnutie

Najskôr nájdeme súradnice daného vektorového súčinu i → - j → × i → + j → + k → v danom obdĺžnikovom súradnicovom systéme.

Je známe, že vektory i → - j → a i → + j → + k → majú súradnice (1; - 1; 0) a (1; 1; 1). Nájdeme dĺžku vektorového súčinu pomocou determinantu matice, potom máme i → - j → × i → + j → + k → \u003d i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 \u003d - i → - j → + 2 k → ...

Vektorový produkt i → - j → × i → + j → + k → má teda v danom súradnicovom systéme súradnice (- 1; - 1; 2).

Dĺžku vektorového súčinu nájdeme podľa vzorca (pozri časť o vyhľadaní dĺžky vektora): i → - j → × i → + j → + k → \u003d - 1 2 + - 1 2 + 2 2 \u003d 6.

Odpoveď: i → - j → × i → + j → + k → \u003d 6. ...

Príklad 4

V obdĺžnikovom karteziánskom súradnicovom systéme sú dané súradnice troch bodov A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2). Nájdite nejaký vektor kolmý na A B → a A C → súčasne.

Rozhodnutie

Vektory A B → a A C → majú nasledujúce súradnice (- 1; 2; 2), respektíve (0; 4; 1). Po nájdení vektorového súčinu vektorov A B → a A C → je zrejmé, že ide o definíciu kolmého vektora tak na A B →, ako aj A C →, to znamená, že ide o riešenie nášho problému. Nájdeme to A B → × A C → \u003d i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 \u003d - 6 i → + j → - 4 k →.

Odpoveď: - 6 i → + j → - 4 k →. - jeden z kolmých vektorov.

Problémy tretieho typu sú zamerané na využitie vlastností vektorového súčinu vektorov. Po ich aplikácii dostaneme riešenie daného problému.

Príklad 5

Vektory a → a b → sú kolmé a ich dĺžka je 3, respektíve 4. Nájdite dĺžku vektorového súčinu 3 a → - b → × a → - 2 b → \u003d 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → \u003d \u003d 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →.

Rozhodnutie

Vlastnosťou distributivity vektorového produktu môžeme napísať 3 a → - b → × a → - 2 b → \u003d 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → \u003d \u003d 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

Vlastnosťou asociativity presunieme číselné koeficienty mimo znamienka vektorových produktov v poslednom výraze: 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → \u003d \u003d 3 a → × a → + 3 (- 2) a → × b → + (- 1) b → × a → + (- 1) (- 2) b → × b → \u003d \u003d 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

Vektorové produkty a → × a → a b → × b → sú 0, pretože a → × a → \u003d a → a → sin 0 \u003d 0 a b → × b → \u003d b → b → sin 0 \u003d 0, potom 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b → \u003d - 6 a → × b → - b → × a →. ...

Pretože vektorový produkt je antikomutatívny, vyplýva z toho, že - 6 a → × b → - b → × a → \u003d - 6 a → × b → - (- - 1) a → × b → \u003d - 5 a → × b →. ...

Pomocou vlastností vektorového súčinu získame rovnosť 3 a → - b → × a → - 2 b → \u003d \u003d - 5 a → × b →.

Podmienkou sú vektory a → a b → kolmé, to znamená, že uhol medzi nimi je π 2. Teraz zostáva iba dosadiť nájdené hodnoty do zodpovedajúcich vzorcov: 3 a → - b → × a → - 2 b → \u003d - 5 a → × b → \u003d \u003d 5 a → × b → \u003d 5 a → b → · sin (a →, b →) \u003d 5,3 · 4 · hriech π 2 \u003d 60.

Odpoveď: 3 a → - b → × a → - 2 b → \u003d 60.

Dĺžka vektorového súčinu vektorov usporiadaním sa rovná a → × b → \u003d a → b → sin ∠ a →, b →. Pretože je už známe (zo školského kurzu), plocha trojuholníka sa rovná polovici súčinu dĺžok jeho dvoch strán vynásobených sínusom uhla medzi týmito stranami. V dôsledku toho sa dĺžka vektorového súčinu rovná ploche rovnobežníka - zdvojeného trojuholníka, a to súčinu strán vo forme vektorov a → a b →, odložených od jedného bodu, sínusom uhol medzi nimi sin ∠ a →, b →.

Toto je geometrický význam vektorového súčinu.

Fyzický význam vektorového produktu

V mechanike, jednej z vetiev fyziky, môžete vďaka vektorovému súčinu určiť moment sily vo vzťahu k bodu v priestore.

Definícia 3

Pod momentom sily F → aplikovanej na bod B, vo vzťahu k bodu A, máme na mysli nasledujúci vektorový súčin A B → × F →.

Ak si všimnete chybu v texte, vyberte ju a stlačte Ctrl + Enter

V tejto lekcii sa pozrieme na ďalšie dve vektorové operácie: vektorový produkt vektorov a zmiešaný produkt vektorov (okamžite odkaz, kto to presne potrebuje)... Je to v poriadku, niekedy sa stane, že pre úplné šťastie, okrem iného bodový produkt vektorov, trvá to stále viac a viac. To je vektorová závislosť. Jeden by mohol mať dojem, že sa dostávame do džungle analytickej geometrie. To nie je pravda. V tejto časti vyššej matematiky nie je vôbec dostatok palivového dreva, okrem toho, že je ho dostatok pre Buratino. Materiál je v skutočnosti veľmi častý a jednoduchý - ťažko zložitejší ako ten istý skalárny súčin, dokonca typické úlohy bude menší. Hlavná vec v analytickej geometrii, o ktorej sa presvedčí alebo už bola presvedčená, NEMÁ BYŤ CHYBNÁ VO VÝPOČTOCH. Opakujte ako kúzlo a budete šťastní \u003d)

Ak vektory iskria niekde ďaleko, ako napríklad blesk na obzore, nevadí, začnite s lekciou Vektory pre figurínyzískať alebo znovu získať základné vedomosti o vektoroch. Pripravenejší čitatelia sa môžu oboznámiť s informáciami selektívne, pokúsil som sa zhromaždiť najucelenejšiu zbierku príkladov, ktoré sa často nachádzajú v praktických prácach

Ako ťa hneď potešiť? Keď som bol malý, vedel som žonglovať s dvoma alebo dokonca tromi loptičkami. Šikovne sa to ukázalo. Teraz už nebudete musieť vôbec žonglovať, pretože to zvážime iba priestorové vektorya vektory roviny s dvoma súradnicami budú vynechané. Prečo? Takto sa zrodili tieto akcie - vektor a zmiešaný produkt vektorov sú definované a pracujú v trojrozmernom priestore. Už je to jednoduchšie!

Táto operácia, rovnako ako v prípade bodového produktu, zahŕňa dva vektory... Nech sú to neporušiteľné písmená.

Samotná akcia označené nasledujúcim spôsobom:. Existujú aj iné možnosti, ale som zvyknutý takto označovať vektorový produkt vektorov v hranatých zátvorkách s krížikom.

A hneď otázka: ak je v bodový produkt vektorov sú zapojené dva vektory, a aj tu sa teda vynásobia dva vektory v čom je rozdiel? Zjavný rozdiel je v prvom rade vo VÝSLEDKU:

Výsledok bodového súčinu vektorov je ČÍSLO:

Výsledkom vektorového produktu vektorov je VEKTOR:, to znamená, že vynásobíme vektory a získame vektor znova. Uzavretý klub. Odtiaľ pochádza aj názov operácie. V rôznej náučnej literatúre sa môžu označenia tiež líšiť, použijem písmeno.

Definícia krížového produktu

Najskôr bude definícia s obrázkom, potom s komentármi.

Definícia: Podľa vektorového produktu nekolineárny vektory, prijaté v tomto poradís názvom VEKTOR, dĺžka ktoré číselne rovná sa ploche rovnobežníkapostavené na týchto vektoroch; vektor kolmý na vektory , a je nasmerovaný tak, aby základňa mala správnu orientáciu:

Analyzujeme definíciu podľa kostí, existuje veľa zaujímavých vecí!

Možno teda zdôrazniť tieto základné body:

1) Pôvodné vektory, ktoré sú podľa definície označené červenými šípkami nie kolineárne... Prípad kolineárnych vektorov bude vhodné zvážiť o niečo neskôr.

2) Vektory sa odoberajú v striktne stanovenom poradí: – „A“ sa vynásobí „bh“, a nie „bh“ na „a“. Výsledok násobenia vektorov je VEKTOR, ktorý je označený modrou farbou. Ak sú vektory násobené v opačnom poradí, dostaneme vektor rovnakej dĺžky a opačného smeru (karmínová farba). To znamená, že rovnosť je pravdivá .

3) Teraz sa oboznámime s geometrickým významom vektorového súčinu. Toto je veľmi dôležitý bod! DĹŽKA modrého vektora (a teda karmínový vektor) sa číselne rovná AREE rovnobežníka postaveného na vektoroch. Na obrázku je tento rovnobežník vytieňovaný čiernou farbou.

Poznámka : výkres je schematický a nominálna dĺžka krížového produktu sa samozrejme nerovná ploche rovnobežníka.

Pripomíname jeden z geometrických vzorcov: plocha rovnobežníka sa rovná súčinu susedných strán sínusom uhla medzi nimi... Preto na základe vyššie uvedeného platí vzorec na výpočet DĹŽKY vektorového produktu:

Zdôrazňujem, že vo vzorci hovoríme o DĹŽKE vektora, a nie o vektore samotnom. Čo je praktické? Znamená to, že v problémoch analytickej geometrie sa plocha rovnobežníka často nachádza prostredníctvom konceptu vektorového produktu:

Poďme na druhý dôležitý vzorec. Uhlopriečka rovnobežníka (červená bodkovaná čiara) ho rozdeľuje na dva rovnaké trojuholníky. Preto oblasť trojuholníka postaveného na vektoroch (červené tieňovanie) nájdeme podľa vzorca:

4) Rovnako dôležitým faktom je, že vektor je ortogonálny k vektorom, to znamená ... Opačne smerovaný vektor (karmínová šípka) je samozrejme tiež kolmý na pôvodné vektory.

5) Vektor je nasmerovaný tak, že základe Má správny orientácia. V lekcii o prechod na nový základ Hovoril som dostatočne podrobne o rovinná orientácia, a teraz prídeme na to, aká je orientácia priestoru. Vysvetlim na tvojich prstoch pravá ruka... Psychicky kombinovať ukazovák s vektorom a prostredník s vektorom. Prsteň a malíček stlačte do dlane. Ako výsledok palec - krížový produkt vyhľadá. Toto je základ orientovaný správne (na obrázku je to on). Teraz zmeňte vektory ( ukazovák a prostredník) na niektorých miestach sa vďaka tomu palec rozvinie a krížový produkt už bude pozerať dole. Toto je tiež základ orientovaný na pravicu. Možno by vás zaujímala otázka: na akom základe má ľavá orientácia? „Priraďte“ rovnakým prstom ľavá ruka vektory a získate ľavú základňu a ľavú orientáciu priestoru (v tomto prípade bude palec umiestnený v smere dolného vektora)... Obrazne povedané, tieto základne „krútia“ alebo orientujú priestor rôznymi smermi. A tento koncept by sa nemal považovať za niečo priťahované alebo abstraktné - napríklad orientácia priestoru sa zmení pomocou najbežnejšieho zrkadla, a ak „vytiahnete odrazený objekt zo zrkadla“, potom všeobecne nebude možné kombinovať s „originálom“. Mimochodom, pritiahnite tri prsty k zrkadlu a analyzujte odraz ;-)

... aké dobré je, že o nich teraz vieš orientované vpravo a vľavo základy, pretože vyjadrenia niektorých lektorov o zmene orientácie sú hrozné \u003d)

Krížový produkt kolineárnych vektorov

Definícia bola podrobne analyzovaná, zostáva zistiť, čo sa stane, keď sú vektory kolineárne. Ak sú vektory kolineárne, potom sa môžu nachádzať na jednej priamke a náš rovnobežník sa tiež „skladá“ do jednej priamky. Oblasť takých, ako hovoria matematici, zdegenerovať rovnobežník je nula. To isté vyplýva zo vzorca - sínus nula alebo 180 stupňov sa rovná nule, čo znamená, že plocha je nulová

Teda, ak teda a ... Upozorňujeme, že samotný krížový súčin sa rovná nulovému vektoru, ale v praxi sa to často zanedbáva a píše sa, že sa rovná aj nule.

Špeciálnym prípadom je vektorový produkt samotného vektora:

Pomocou krížového produktu môžete skontrolovať kolineárnosť trojrozmerných vektorov a okrem iného tiež analyzujeme tento problém.

Možno budete potrebovať vyriešiť praktické príklady trigonometrická tabuľkaaby sme z nej našli sínusové hodnoty.

No, založme oheň:

Príklad 1

a) Nájdite dĺžku vektorového súčinu vektorov, ak

b) Nájdite plochu rovnobežníka postaveného na vektoroch, ak

Rozhodnutie: Nie, nejde o preklep, počiatočné údaje v článkoch som zámerne urobil rovnako. Pretože dizajn riešení bude iný!

a) Podmienkou je vyhľadanie dĺžka vektor (vektorový produkt). Podľa zodpovedajúceho vzorca:

Odpoveď:

Keďže otázka sa týkala dĺžky, tak v odpovedi označujeme rozmer - jednotky.

b) Podľa stavu je potrebné nájsť oblasti rovnobežník postavený na vektoroch. Plocha tohto rovnobežníka sa číselne rovná dĺžke vektorového produktu:

Odpoveď:

Upozorňujeme, že odpoveď na vektorový produkt vôbec neprichádza do úvahy, na čo sme sa nás pýtali plocha obrázku, v uvedenom poradí, je dimenzia štvorcové jednotky.

Vždy sa pozrieme na to, ČO vyžaduje podmienka, a na základe toho formulujeme jasný odpoveď. Môže sa to zdať ako doslovnosť, ale medzi učiteľmi je dosť literárnych vedcov a úloha sa s dobrými šancami vráti k revízii. Aj keď nejde o nijako zvlášť dotieravé - ak je odpoveď nesprávna, vznikne dojem, že daná osoba nechápe jednoduché veci a / alebo nepochopil podstatu úlohy. Tento okamih treba mať neustále pod kontrolou, aby sa vyriešil akýkoľvek problém vo vyššej matematike a aj v iných predmetoch.

Kam zmizlo veľké písmeno „en“? V zásade to mohlo byť k riešeniu pridané, ale kvôli skráteniu nahrávania som to neurobil. Dúfam, že to všetci chápu a je to označenie toho istého.

Populárny príklad riešenia „urob si sám“:

Príklad 2

Nájdite plochu trojuholníka postaveného na vektoroch, ak

Vzorec na vyhľadanie oblasti trojuholníka prechádzajúcim súčinom je uvedený v komentároch k definícii. Riešenie a odpoveď na konci hodiny.

V praxi je úloha skutočne veľmi častá, trojuholníky vás môžu vo všeobecnosti mučiť.

Na vyriešenie ďalších problémov potrebujeme:

Vektorové vlastnosti produktu

Niektoré vlastnosti krížového produktu sme už zvážili, zahrniem ich však do tohto zoznamu.

Pre ľubovoľné vektory a ľubovoľné číslo sú platné nasledujúce vlastnosti:

1) V iných zdrojoch informácií nie je táto položka zvyčajne zvýraznená vo vlastnostiach, ale je to z praktického hľadiska veľmi dôležité. Tak nech sa páči.

2) - o vlastnosti sa hovorí aj vyššie, niekedy sa nazýva antikomutativita... Inými slovami, záleží na poradí vektorov.

3) - kombinácia príp asociatívny zákony vektorového produktu. Konstanty sú plynulo odstránené mimo vektorový produkt. Čo by tam vlastne mali robiť?

4) - distribúcia alebo distribučné zákony vektorového produktu. Problémy nie sú ani s rozšírením konzol.

Na ukážku uvedieme krátky príklad:

Príklad 3

Nájdi ak

Rozhodnutie: Podľa podmienky je opäť potrebné zistiť dĺžku krížového produktu. Napíšme našu miniatúru:

(1) Podľa asociatívnych zákonov posúvame konštanty mimo rozdelenia vektorového súčinu.

(2) Konštantu posunieme z modulu, zatiaľ čo modul „žerie“ znamienko mínus. Dĺžka nemôže byť záporná.

(3) Nasleduje zrejmé.

Odpoveď:

Je čas dať nejaké drevo do ohňa:

Príklad 4

Vypočítajte plochu trojuholníka postaveného na vektoroch, ak

Rozhodnutie: Plocha trojuholníka sa zistí podľa vzorca ... Háčik je v tom, že vektory „tse“ a „de“ sú samy osebe predstavované ako súčty vektorov. Algoritmus je tu štandardný a do istej miery pripomína príklady 3 a 4 lekcie Bodový súčin vektorov... Pre lepšiu prehľadnosť rozdeľme riešenie na tri etapy:

1) V prvom kroku vyjadríme vektorový produkt z hľadiska vektorového produktu, v skutočnosti vyjadrite vektor v zmysle vektora... O dĺžkach zatiaľ ani slovo!

(1) Náhradné vektorové výrazy.

(2) Pomocou distribučných zákonov rozširujeme zátvorky podľa pravidla násobenia polynómov.

(3) Pomocou asociatívnych zákonov presunieme všetky konštanty mimo vektorové produkty. S malými skúsenosťami možno akcie 2 a 3 vykonávať súčasne.

(4) Prvý a posledný člen sa kvôli príjemnej vlastnosti rovnajú nule (nulový vektor). V druhom termíne použijeme antikomutatívnu vlastnosť vektorového produktu:

(5) Uvádzame podobné výrazy.

Vo výsledku bol vektor vyjadrený v zmysle vektora, čo bolo potrebné dosiahnuť:

2) V druhom kroku nájdeme potrebnú dĺžku vektorového produktu. Táto akcia sa podobá príkladu 3:

3) Nájdite oblasť požadovaného trojuholníka:

Fázy 2-3 rozhodnutia mohli byť dokončené v jednom riadku.

Odpoveď:

Uvažovaný problém je v testovacích článkoch úplne bežný, tu je príklad nezávislého riešenia:

Príklad 5

Nájdi ak

Krátke riešenie a odpoveď na konci tutoriálu. Pozrime sa, ako ste boli pri preštudovaní predchádzajúcich príkladov opatrní ;-)

Vektorový produkt vektorov v súradniciach

uvedené v ortonormálnom základe, vyjadrené vzorcom:

Vzorec je skutočne jednoduchý: do horného riadku determinantu napíšeme súradnicové vektory, do druhého a tretieho riadku „dáme“ súradnice vektorov a dáme v prísnom poradí - najskôr súradnice vektora „ve“, potom súradnice vektora „double-ve“. Ak je potrebné vektory násobiť v inom poradí, mali by sa riadky zameniť:

Príklad 10

Skontrolujte, či sú nasledujúce vektory vesmíru kolineárne:
a)
b)

Rozhodnutie: Kontrola je založená na jednom z výrokov v tejto lekcii: ak sú vektory kolineárne, potom ich krížový produkt je rovný nule (nulový vektor): .

a) Nájdite krížový produkt:

Vektory teda nie sú kolineárne.

b) Nájdite krížový produkt:

Odpoveď: a) nie kolineárne, b)

Možno sú tu všetky základné informácie o vektorovom produkte vektorov.

Táto časť nebude príliš veľká, pretože nie je veľa úloh, kde sa používa zmiešaný produkt vektorov. V skutočnosti bude všetko spočívať na definícii, geometrickom význame a niekoľkých pracovných vzorcoch.

Zmiešaný produkt vektorov je produktom troch vektorov:

Takže sa zoradili s malým vláčikom a čakajú, už sa nevedia dočkať, kedy na to prídu.

Najskôr opäť definícia a obrázok:

Definícia: Zmiešaná práca neplanárny vektory, prijaté v tomto poradísa volá objem rovnobežnostenu, postavené na daných vektoroch a doplnené znamienkom „+“, ak je základňa správna, a znamienkom „-“, ak je základ ponechaný.

Dokončime kresbu. Čiary, ktoré sú pre nás neviditeľné, sú nakreslené prerušovanou čiarou:

Ponoríme sa do definície:

2) Vektory sa odoberajú v určitom poradí, to znamená, že permutácia vektorov v produkte, ako asi tušíte, sa nezaobíde bez následkov.

3) Pred komentovaním geometrického významu podotýkam zrejmý fakt: zmiešaný produkt vektorov je ČÍSLO:. Vo vzdelávacej literatúre môže byť návrh trochu odlišný, zvyknem označovať zmiešané diela a výsledok výpočtov písmenom „pe“.

A-priorstvo zmiešaný produkt je objem rovnobežnostenu, postavené na vektoroch (postava je nakreslená červenými vektormi a čiernymi čiarami). To znamená, že počet sa rovná objemu tejto rovnobežnosteny.

Poznámka : kresba je schematická.

4) Neobťažujme sa znova s \u200b\u200bkonceptom orientácie na základňu a priestor. Zmyslom záverečnej časti je, že do zväzku je možné pridať znamienko mínus. Jednoduchými slovami, zmiešaná práca môže byť negatívna :.

Vzorec pre výpočet objemu rovnobežnostenu postaveného na vektoroch vyplýva priamo z definície.

7.1. Definícia krížového produktu

Tri nekoplanárne vektory a, b a c, brané v uvedenom poradí, tvoria pravý triplet, ak je od konca tretieho vektora c vidieť najkratšia rotácia z prvého vektora a do druhého vektora b proti smeru hodinových ručičiek a ľavý, ak je v smere hodinových ručičiek (pozri obr. 16).

Vektorový produkt vektora a vektorom b je vektor c, ktorý:

1. Kolmo na vektory a a b, to znamená c ^ a a c ^ b;

2. Má dĺžku číselne rovnajúcu sa ploche rovnobežníka postaveného na vektoroch a abako po stranách (pozri obr. 17), tj.

3. Vektory a, b a c tvoria pravostranný triplet.

Krížový produkt je označený a x b alebo [a, b]. Definícia vektorového produktu priamo znamená nasledujúce vzťahy medzi vektormi i, j a k(pozri obr. 18):

i x j \u003d k, j x k \u003d i, k x i \u003d j.
Dokážme to napríkladi хj \u003d k.

1) k ^ i, k ^ j;

2) | k | \u003d 1, ale | i x j| \u003d | i | | J | hriech (90 °) \u003d 1;

3) vektory i, j a k tvoria pravostranný triplet (pozri obr. 16).

7.2. Vektorové vlastnosti produktu

1. Keď sú faktory znovu usporiadané, vektorový produkt zmení znamenie; a хb \u003d (b хa) (pozri obr. 19).

Vektory a хb a b ha sú kolineárne, majú rovnaké moduly (plocha rovnobežníka zostáva nezmenená), ale opačné smery (triplety a, b, a хb a a, b, b x a opačnej orientácie). To je a xb = -(b xa).

2. Vektorový produkt má kombinačnú vlastnosť vzhľadom na skalárny faktor, to znamená l (а хb) \u003d (l а) х b \u003d а х (l b).

Nech l\u003e 0. Vektor l (a xb) je kolmý na vektory a a b. Vektor ( la) x bje tiež kolmá na vektory a a b(vektory a, la ležať v rovnakej rovine). Preto vektory l(a xb) a ( la) x bkolineárne. Je zrejmé, že ich smery sa zhodujú. Rovnakú dĺžku:

preto l(a хb) \u003d la xb. Preukazuje sa to obdobne pre l<0.

3. Dva nenulové vektory a a bkolineárne vtedy a len vtedy, ak sa ich krížový súčin rovná nultému vektoru, t. j. a || b<=>a xb \u003d 0.

Najmä i * i \u003d j * j \u003d k * k \u003d 0.

4. Vektorový produkt má vlastnosť distribúcie:

(a + b) xc \u003d a xc + b xc.

Prijmeme to bez preukázania.

7.3. Vyjadrenie krížového produktu z hľadiska súradníc

Použijeme krížovú produktovú tabuľku vektorov i, ja k:

ak sa smer najkratšej cesty od prvého vektora k druhému zhoduje so smerom šípky, potom sa produkt rovná tretiemu vektoru, ak nie, tretí vektor sa berie so znamienkom mínus.

Nech dva vektory a \u003d a x i + a y j + a z ka b \u003d b x i + b r j + b z k ... Nájdite krížový produkt týchto vektorov a vynásobte ich ako polynómy (podľa vlastností krížového produktu):

Výsledný vzorec je možné napísať ešte kratšie:

keďže pravá strana rovnosti (7.1) zodpovedá rozšíreniu determinantu tretieho rádu v prvkoch prvého riadku, rovnosť (7.2) je ľahko zapamätateľná.

7.4. Niektoré aplikácie vektorovej práce

Stanovenie kolineárnych vektorov

Nájdenie oblasti rovnobežníka a trojuholníka

Podľa definície vektorového produktu vektorov aa b | a xb | \u003d | a | * | b | sin g, teda S párov \u003d | a x b |. A preto D S \u003d 1/2 | a x b |.

Určenie momentu sily vo vzťahu k bodu

Nechajte pôsobiť silu v bode A F \u003d ABnechaj to tak O TOM- nejaký bod v priestore (pozri obr. 20).

Z fyziky je známe, že moment sily F vzhľadom na bod O TOM vektor sa volá M,ktorý prechádza bodom O TOMa:

1) kolmo na rovinu prechádzajúcu bodmi O, A, B;

2) číselne sa rovná súčinu sily na rameno

3) tvorí pravý triplet s vektormi OA a A B.

Preto M \u003d OA x F.

Zistenie lineárnej rýchlosti otáčania

Rýchlosť vbod M tuhého telesa rotujúceho s uhlovou rýchlosťou wokolo pevnej osi, je určená Eulerovým vzorcom v \u003d w хr, kde r \u003d ОМ, kde О je nejaký pevný bod osi (pozri obr. 21).

ZMIEŠANÝ VÝROBOK TROCH VEKTOROV A JEHO VLASTNOSTI

Zmiešaná práca tri vektory sa nazývajú číslo, ktoré sa rovná. Označené ... Tu sa prvé dva vektory vynásobia vektorom a potom sa výsledný vektor násobí skalárne tretím vektorom. Je zrejmé, že takýto produkt je určité číslo.

Zvážte vlastnosti zmiešaného produktu.

1. Geometrický význam zmiešaná práca. Zmiešaný produkt 3 vektorov, až po znamienko, sa rovná objemu rovnobežnostenu postaveného na týchto vektoroch, ako na okrajoch, t.j. ...

   Teda a .

   

   Dôkazy... Odložme vektory spoločného pôvodu a postavme na nich rovnobežnosten. Označujeme a zaznamenávame to. Podľa definície bodového produktu

   Za predpokladu, že a označujúce h zistíme výšku rovnobežnostenu.

   Teda pre

   Ak, tak a. Preto.

   Kombináciou oboch týchto prípadov dostaneme resp.

   Z dôkazu tejto vlastnosti vyplýva najmä to, že ak má trojica vektorov pravdu, potom ide o zmiešaný produkt a ak je ponechaný, potom.

2. Pre všetky vektory platí rovnosť

   Dôkaz o tejto vlastnosti vyplýva z vlastnosti 1. Je skutočne ľahké preukázať, že a. Znaky „+“ a „-“ sa navyše berú súčasne, pretože uhly medzi vektormi a a a sú obidve ostré alebo tupé.

3. Po permutácii akýchkoľvek dvoch faktorov sa zmiešaný produkt zmení na znamenie.

   Skutočne, ak uvažujeme o zmiešanom diele, potom napríklad, príp

4. Zmiešaný produkt, len ak je jeden z faktorov nulový alebo vektory sú koplanárne.

   Dôkazy.

   Nevyhnutnou a dostatočnou podmienkou pre koplanárnosť 3 vektorov je teda nulová rovnosť ich zmiešaného produktu. To navyše znamená, že tri vektory tvoria základňu v priestore, ak.

   Ak sú vektory uvedené v súradnicovej forme, je možné preukázať, že ich zmiešaný produkt sa nachádza podľa vzorca:

   .

   Zmiešaný produkt sa teda rovná determinantu tretieho rádu, v ktorom prvý riadok obsahuje súradnice prvého vektora, druhý riadok obsahuje súradnice druhého vektora a tretí riadok obsahuje tretí vektor.

   Príklady.

ANALYTICKÁ GEOMETRIA V PRIESTORE

Rovnica F (x, y, z) \u003d 0 definuje v priestore Oxyz nejaký povrch, t.j. lokus bodov, ktorých súradnice x, y, z uspokojiť túto rovnicu. Táto rovnica sa nazýva rovnica povrchu a x, y, z - súčasné súradnice.

Povrch však často nie je daný rovnicou, ale ako množina bodov v priestore, ktoré majú túto alebo tú vlastnosť. V takom prípade je potrebné nájsť rovnicu povrchu na základe jeho geometrických vlastností.

PLÁNOVAŤ.

NORMÁLNY VEREJNÝ PLÁN.

ROVINA PLÁNOVANÉHO PRECHODU DODANÝM BODOM

Zvážte ľubovoľnú rovinu σ v priestore. Jeho poloha je určená zadaním vektora kolmého na túto rovinu a niektorého pevného bodu M 0(x 0, y 0, z 0) ležiace v rovine σ.

Volá sa vektor kolmý na rovinu σ normálne vektor tejto roviny. Nech vektor má súradnice.

Odvodzme rovnicu roviny σ prechádzajúcej týmto bodom M 0 a majúci normálny vektor. Za týmto účelom urobte ľubovoľný bod na rovine σ M (x, y, z) a zvážte vektor.

Pre akýkoľvek bod MÎ σ je vektor. Ich skalárny súčin sa preto rovná nule. Táto rovnosť je podmienkou, že bod MÎ σ. Platí pre všetky body tejto roviny a je porušený hneď po bode M bude mimo roviny σ.

Ak označíme vektorom polomeru bodu M, Je polomerový vektor bodu M 0, potom možno rovnicu napísať aj ako

Táto rovnica sa nazýva vektor rovnica roviny. Zapíšme si to v súradnicovej podobe. Odvtedy

Dostali sme teda rovnicu roviny prechádzajúcej týmto bodom. Aby ste teda mohli vytvoriť rovnicu roviny, musíte poznať súradnice normálového vektora a súradnice nejakého bodu ležiaceho na rovine.

Všimnite si, že rovnica roviny je rovnica 1. stupňa vzhľadom na súčasné súradnice x, r a z.

Príklady.

VŠEOBECNÁ ROVINA ROVINY

Je možné ukázať, že akákoľvek rovnica prvého stupňa vzhľadom na karteziánske súradnice x, y, z je rovnica určitej roviny. Táto rovnica je napísaná ako:

Sekera + By + Cz + D=0

a zavolal všeobecná rovnica rovinu a súradnice A, B, C tu sú súradnice normálového vektora roviny.

Zvážte konkrétne prípady všeobecnej rovnice. Zistíme, ako sa nachádza rovina vo vzťahu k súradnicovému systému, ak zmizne jeden alebo niekoľko koeficientov rovnice.

A je dĺžka čiary rezanej rovinou na osi Vôl... Podobne je to možné preukázať b a c - dĺžky segmentov odrezaných príslušnou rovinou na osiach Oy a Oz.

Na zostrojenie rovín je vhodné použiť rovinnú rovnicu v úsečkách.