A trigonometriában sok képletet könnyebb levezetni, mint megjegyezni. A kettős szög koszinusza csodálatos képlet! Lehetővé teszi a redukciós és félszög képletek beszerzését.
Tehát szükségünk van a kettős szög és a trigonometrikus egység koszinuszára:
Még hasonlóak is: a kettős szög koszinuszának képletében - a koszinusz és a szinusz négyzetei közötti különbség, valamint a trigonometrikus egységben - az összegük. Ha a trigonometrikus egységből fejezzük ki a koszinuszát:
és behelyettesítjük a kettős szög koszinuszába, kapjuk:
Ez egy másik képlet a kettős szög koszinuszára:
Ez a képlet a kulcs a redukciós képlet megszerzéséhez:
Tehát a szinusz fokának csökkentésére szolgáló képlet a következő:
Ha benne az alfa szöget fele félszögre cseréljük, és a két alfa kettős szöget az alfa szögre, akkor megkapjuk a szinusz félszögének képletét:
Most a trigonometrikus egységből kifejezzük a szinust:
Helyettesítse ezt a kifejezést a kettős szög koszinuszának képletébe:
Kaptunk egy másik képletet a kettős szög koszinuszára:
Ez a képlet a kulcs a koszinuszredukció és a koszinusz félszög képletének megtalálásához.
Így a koszinusz mértékének csökkentésére szolgáló képlet a következő:
Ha α-t α/2-vel helyettesítjük, 2α-t α-val, akkor megkapjuk a koszinusz félargumentumának képletét:
Mivel az érintő a szinusz és a koszinusz aránya, az érintő képlete a következő:
A kotangens a koszinusz és a szinusz aránya. Tehát a kotangens képlete:
Természetesen a trigonometrikus kifejezések egyszerűsítése során nincs értelme félszög-képleteket származtatni, vagy minden alkalommal csökkenteni a fokozatot. Sokkal egyszerűbb egy képletlapot maga elé tenni. Az egyszerűsítés gyorsabban halad előre, és a vizuális memória bekapcsol a memorizáláshoz.
De mégis érdemes többször levezetni ezeket a képleteket. Akkor teljesen biztos lesz abban, hogy a vizsga során, amikor nincs lehetőség csalólap használatára, könnyen beszerezheti őket, ha úgy kívánja.
A szinuszértékek a [-1; 1], azaz -1 ≤ sin α ≤ 1. Ezért ha |a| > 1, akkor a sin x = a egyenletnek nincs gyöke. Például a sin x = 2 egyenletnek nincs gyöke.
Térjünk rá néhány feladatra.
Oldja meg a sin x = 1/2 egyenletet.
Megoldás.
Vegyük észre, hogy sin x az egységkör pontjának ordinátája, amelyet az Р (1; 0) pont origó körüli x szöggel való elforgatásának eredményeként kapunk.
Az M 1 és M 2 kör két pontjában ½ ordináta található.
Mivel 1/2 \u003d sin π / 6, akkor az M 1 pontot a P (1; 0) pontból kapjuk az x 1 \u003d π / 6 szögön, valamint az x \u003d π szögeken keresztül. / 6 + 2πk, ahol k \u003d +/-1, +/-2, …
Az M 2 pontot a P (1; 0) pontból kapjuk az x 2 = 5π/6 szögön átfordítás eredményeként, valamint az x = 5π/6 + 2πk szögeken keresztül, ahol k = +/- 1, +/-2, ... , azaz. x = π – π/6 + 2πk szögeknél, ahol k = +/-1, +/-2, ….
Tehát a sin x = 1/2 egyenlet összes gyöke megtalálható az x = π/6 + 2πk, x = π - π/6 + 2πk képletekkel, ahol k € Z.
Ezeket a képleteket egybe lehet kombinálni: x \u003d (-1) n π / 6 + πn, ahol n € Z (1).
Valóban, ha n páros szám, azaz. n = 2k, akkor az (1) képletből х = π/6 + 2πk kapjuk, és ha n páratlan szám, azaz. n = 2k + 1, akkor az (1) képletből х = π – π/6 + 2πk kapjuk.
Válasz. x \u003d (-1) n π / 6 + πn, ahol n € Z.
Oldja meg a sin x = -1/2 egyenletet.
Megoldás.
A -1/2 ordinátának van az M 1 és M 2 egységkör két pontja, ahol x 1 = -π/6, x 2 = -5π/6. Ezért a sin x = -1/2 egyenlet összes gyöke megtalálható az x = -π/6 + 2πk, x = -5π/6 + 2πk, k ∈ Z képletekkel.
Ezeket a képleteket egyesíthetjük: x \u003d (-1) n (-π / 6) + πn, n € Z (2).
Valóban, ha n = 2k, akkor a (2) képlet alapján x = -π/6 + 2πk, és ha n = 2k – 1, akkor a (2) képlet alapján x = -5π/6 + 2πk.
Válasz. x \u003d (-1) n (-π / 6) + πn, n € Z.
Így a sin x = 1/2 és sin x = -1/2 egyenletek mindegyikének végtelen számú gyöke van.
A -π/2 ≤ x ≤ π/2 szakaszon ezen egyenleteknek csak egy gyöke van:
x 1 \u003d π / 6 - a sin x \u003d 1/2 és x 1 \u003d -π / 6 egyenlet gyökere - a sin x egyenlet gyöke \u003d -1/2.
A π/6 számot az 1/2 szám arcszinuszának nevezzük, és felírjuk: arcsin 1/2 = π/6; a -π/6 számot a -1/2 szám arcszinuszának nevezik, és ezt írják: arcsin (-1/2) = -π/6.
Általában a sin x \u003d a egyenletnek, ahol -1 ≤ a ≤ 1, a -π / 2 ≤ x ≤ π / 2 szakaszon csak egy gyöke van. Ha a ≥ 0, akkor a gyökér az intervallumban van; Ha egy< 0, то в промежутке [-π/2; 0). Этот корень называют арксинусом числа а и обозначают arcsin а.
Így az a szám arcszinusza € [–1; 1] egy ilyen számot € [–π/2; π/2], melynek szinusza a.
arcsin a = α, ha sin α = a és -π/2 ≤ x ≤ π/2 (3).
Például arcsin √2/2 = π/4, mivel sin π/4 = √2/2 és – π/2 ≤ π/4 ≤ π/2;
arcsin (-√3/2) = -π/3, mivel sin (-π/3) = -√3/2 és – π/2 ≤ 
– π/3 ≤ π/2.
Hasonlóan az 1. és 2. feladat megoldásához, kimutatható, hogy a sin x = a egyenlet gyökei, ahol |a| ≤ 1 értékét a képlet fejezi ki
x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n € Z (4).
Azt is bebizonyíthatjuk, hogy bármely € [-1; 1] érvényes az arcsin (-a) = -arcsin a képlet.
A (4) képletből az következik, hogy az egyenlet gyökei
sin x \u003d a \u003d 0, a \u003d 1, a \u003d -1 esetén egyszerűbb képletekkel is megtalálható:
sin x \u003d 0 x \u003d πn, n € Z (5)
sin x \u003d 1 x \u003d π / 2 + 2πn, n € Z (6)
sin x \u003d -1 x \u003d -π / 2 + 2πn, n € Z (7)
oldalon, az anyag teljes vagy részleges másolásakor a forrásra mutató hivatkozás szükséges.
|BD| - az A pontban középpontba állított kör ívének hossza.
α a radiánban kifejezett szög.
Érintő ( tgα) egy trigonometrikus függvény, amely egy derékszögű háromszög befogója és szára közötti α szögtől függ, amely egyenlő a szemközti szár hosszának arányával |BC| a szomszédos láb hosszára |AB| .
Kotangens ( ctgα) egy trigonometrikus függvény, amely egy derékszögű háromszög befogója és szára közötti α szögtől függ, amely egyenlő a szomszédos szár hosszának arányával |AB| a szemközti láb hosszára |BC| .
Tangens
Ahol n- egész.
A nyugati irodalomban az érintőt a következőképpen jelölik:
.
;
;
.
Az érintőfüggvény grafikonja, y = tg x
Kotangens
Ahol n- egész.
A nyugati irodalomban a kotangenst a következőképpen jelölik:
.
A következő jelölést is elfogadták:
;
;
.
A kotangens függvény grafikonja, y = ctg x
Az érintő és a kotangens tulajdonságai
Periodikaság
y= függvények tg xés y= ctg xπ periódusúak.
Paritás
Az érintő és a kotangens függvények páratlanok.
Definíciók és értékek tartományai, növekvő, csökkenő
A tangens és a kotangens függvények definíciós tartományukon folytonosak (lásd a folytonosság bizonyítását). Az érintő és a kotangens főbb tulajdonságait a táblázat tartalmazza ( n- egész szám).
| y= tg x | y= ctg x | |
| Hatály és folytonosság | ||
| Értékek tartománya | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| Emelkedő | - | |
| Csökkenő | - | |
| Extrémek | - | - |
| Nullák, y= 0 | ||
| Metszéspontok az y tengellyel, x = 0 | y= 0 | - |
Képletek
Kifejezések szinuszban és koszinuszban
;
;
;
;
;
Az összeg és a különbség érintőjének és kotangensének képlete
A többi képlet például könnyen beszerezhető
Érintők szorzata
Az érintők összegének és különbségének képlete
Ez a táblázat az érvelés egyes értékeinek érintők és kotangensek értékeit mutatja. 
Kifejezések komplex számokkal
Kifejezések hiperbolikus függvényekkel
;
;
Származékok
; .
.
Az n-edik sorrend deriváltja a függvény x változójára vonatkozóan:
.
Tangens képleteinek származtatása > > > ; kotangensre >>>
Integrálok
Bővítések sorozatokká
Ahhoz, hogy megkapjuk az érintő kiterjesztését x hatványaiban, a függvények hatványsorában több tagot kell felvenni a kiterjesztésre. bűn xés cos xés osszuk fel ezeket a polinomokat egymásra, . Ez a következő képleteket eredményezi.
Nál nél .
nál nél .
ahol B n- Bernoulli számok. Meghatározásuk vagy az ismétlődési relációból történik:
;
;
ahol .
Vagy a Laplace-képlet szerint: 
Inverz függvények
Az érintő és a kotangens inverz függvényei az arctangens és az arckotangensek.
Arctangens, arctg
, ahol n- egész.
Ív érintő, arcctg
, ahol n- egész.
Referenciák:
BAN BEN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Matematika kézikönyve mérnököknek és felsőoktatási intézmények hallgatóinak, Lan, 2009.
G. Korn, Matematika kézikönyve kutatóknak és mérnököknek, 2012.
