Az oszthatóság főbb jelei. Az oszthatóság jelei, osztható-e egy szám Hogyan lehet megtudni, hogy egy szám osztható-e vele

Az iskolai tananyagból sokan emlékeznek arra, hogy az oszthatóság jelei vannak. Ezt a kifejezést olyan szabályoknak kell érteni, amelyek lehetővé teszik annak gyors meghatározását, hogy egy szám többszöröse-e egy adott számnak, anélkül, hogy közvetlen aritmetikai műveletet hajtana végre. Ez a módszer a pozíciós bejegyzésben szereplő számjegyek egy részével végrehajtott műveleteken alapul

Sokan emlékeznek az oszthatóság legegyszerűbb jeleire az iskolai tananyagból. Például az a tény, hogy minden szám osztható 2-vel, amelynek rekordjának utolsó számjegye páros. Ezt a funkciót a legkönnyebben megjegyezni és a gyakorlatban alkalmazni. Ha a 3-mal való osztás módszeréről beszélünk, akkor a többjegyű számokra a következő szabály érvényes, amit egy ilyen példában is bemutathatunk. Meg kell találnia, hogy a 273 a három többszöröse. Ehhez hajtsa végre a következő műveletet: 2+7+3=12. A kapott összeg osztható 3-mal, ezért 273 osztható 3-mal úgy, hogy az eredmény egész szám.

Az 5-tel és 10-zel való oszthatóság jelei a következők lesznek. Az első esetben a bejegyzés 5-re vagy 0-ra végződik, a második esetben csak 0-ra. Annak megállapításához, hogy az osztható-e négy többszöröse, a következőképpen járjunk el. Az utolsó két számjegyet el kell különíteni. Ha ez két nulla vagy egy olyan szám, amely maradék nélkül osztható 4-gyel, akkor minden osztható az osztó többszöröse lesz. Megjegyzendő, hogy a felsorolt ​​jelek csak decimális rendszerben használatosak. Más számolási módszerekre nem vonatkoznak. Ilyenkor saját szabályaikat vezetik le, amelyek a rendszer alapjától függenek.

A 6-tal való osztás jelei a következők. 6, ha 2 és 3 többszöröse is. Annak megállapításához, hogy egy szám osztható-e 7-tel, meg kell dupláznia a bejegyzés utolsó számjegyét. A kapott eredményt kivonjuk az eredeti számból, amelyben az utolsó számjegyet nem veszik figyelembe. Ez a szabály a következő példában látható. Ki kell deríteni, hogy a 364 többszörös-e, ehhez 4-et megszorozunk 2-vel, így 8-at kell tenni, majd a következő műveletet hajtjuk végre: 36-8=28. A kapott eredmény 7 többszöröse, ezért az eredeti 364-es szám osztható 7-tel.

A 8-cal való oszthatóság jelei a következők. Ha egy szám utolsó három számjegye nyolcszoros számot alkot, akkor maga a szám osztható lesz az adott osztóval.

Az alábbiak szerint megtudhatja, hogy egy többjegyű szám osztható-e 12-vel. A fent felsorolt ​​oszthatósági kritériumok segítségével ki kell deríteni, hogy a szám többszöröse-e a 3-nak és a 4-nek. Ha ezek egyidejűleg osztóként működhetnek egy számban, akkor adott osztható mellett osztható 12-vel is. Hasonló szabály más komplex számokra vonatkozik, például a tizenötre. Ebben az esetben az osztóknak 5-nek és 3-nak kell lenniük. Annak megállapításához, hogy egy szám osztható-e 14-gyel, meg kell néznie, hogy 7 és 2 többszöröse-e. Tehát a következő példában ezt figyelembe veheti. Meg kell határozni, hogy 658 osztható-e 14-gyel. A bejegyzés utolsó számjegye páros, ezért a szám kettő többszöröse. Ezután megszorozzuk a 8-at 2-vel, 16-ot kapunk. 65-ből ki kell vonni a 16-ot. A 49-es eredmény osztható 7-tel, mint az egész szám. Ezért a 658 osztható 14-gyel is.

Ha egy adott szám utolsó két számjegye osztható 25-tel, akkor az összes ennek az osztónak a többszöröse lesz. Többjegyű számok esetén a 11-gyel osztható jel a következőképpen hangzik. Ki kell deríteni, hogy a rekordjában páratlan és páros helyen lévő számjegyek összege közötti különbség egy adott osztó többszöröse-e.

Meg kell jegyezni, hogy a számok oszthatóságának jelei és ismereteik nagyon gyakran nagymértékben leegyszerűsítenek számos olyan problémát, amelyek nemcsak a matematikában, hanem a Mindennapi élet. Köszönhetően annak a képességnek, hogy meghatározza, hogy egy szám többszöröse-e egy másik számnak, gyorsan végrehajthat különféle feladatokat. Ezen túlmenően, ezeknek a módszereknek a matematika órákon történő alkalmazása segít a diákok vagy iskolások fejlesztésében, hozzájárul bizonyos képességek fejlesztéséhez.

A számok oszthatóságának jelei A 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 25 és más számokat hasznos tudni gyors döntés feladatok egy szám digitális rögzítéséhez. Ahelyett, hogy egy számot osztanánk a másikkal, elegendő több előjelet ellenőrizni, amelyek alapján egyértelműen megállapítható, hogy egy szám teljesen osztható-e egy másikkal (többszörös-e) vagy sem.

Az oszthatóság főbb jelei

hozzuk a számok oszthatóságának főbb jelei:

  • Egy szám 2-vel való oszthatóságának jele A szám egyenlően osztható 2-vel, ha a szám páros (az utolsó számjegy 0, 2, 4, 6 vagy 8)
    Példa: Az 1256 szám 2 többszöröse, mert 6-ra végződik. És a 49603 szám nem is osztható 2-vel, mert 3-ra végződik.
  • Egy szám 3-mal való oszthatóságának jele Egy szám akkor osztható 3-mal, ha a számjegyeinek összege osztható 3-mal
    Példa: A 4761 szám osztható 3-mal, mert számjegyeinek összege 18 és osztható 3-mal. A 143 szám pedig nem többszöröse 3-nak, mert számjegyeinek összege 8 és nem osztható 3-mal.
  • Egy szám 4-gyel osztható jele Egy szám osztható 4-gyel, ha a szám utolsó két számjegye nulla, vagy ha az utolsó két számjegyből álló szám osztható 4-gyel
    Példa: A 2344 szám 4 többszöröse, mert 44 / 4 = 11. És a 3951 szám nem osztható 4-gyel, mert 51 nem osztható 4-gyel.
  • Egy szám "5"-tel való oszthatóságának jele Egy szám osztható 5-tel, ha a szám utolsó számjegye 0 vagy 5
    Példa: Az 5830-as szám osztható 5-tel, mert 0-ra végződik. De a 4921-es szám nem osztható 5-tel, mert 1-re végződik.
  • Egy szám 6-tal osztható jele Egy szám osztható 6-tal, ha osztható 2-vel és 3-mal
    Példa: A 3504 szám 6 többszöröse, mert 4-re végződik (az oszthatóság előjele 2-vel), a számjegyek összege pedig 12, és osztható 3-mal (az oszthatóság előjele 3-mal). Az 5432-es szám pedig nem osztható teljesen 6-tal, bár a szám 2-vel végződik (a 2-vel való oszthatóság előjele figyelhető meg), de a számjegyek összege 14, és nem osztható teljesen 3-mal.
  • Egy szám 8-cal való oszthatóságának jele Egy szám osztható 8-cal, ha a szám utolsó három számjegye nulla, vagy ha a szám utolsó három számjegyéből álló szám osztható 8-cal
    Példa: A 93112 szám osztható 8-cal, mert 112 / 8 = 14. És a 9212 szám nem 8 többszöröse, mert a 212 nem osztható 8-cal.
  • Egy szám 9-cel való oszthatóságának jele Egy szám osztható 9-cel, ha számjegyeinek összege osztható 9-cel
    Példa: A 2916-os szám 9 többszöröse, mivel a számjegyek összege 18 és osztható 9-cel. A 831-es szám pedig nem is osztható 9-cel, mivel a számjegyek összege 12 és ez nem osztható 9-cel.
  • Egy szám 10-zel való oszthatóságának jele Egy szám osztható 10-zel, ha 0-ra végződik
    Példa: A 39590 szám osztható 10-zel, mert 0-ra végződik. Az 5964 szám pedig nem osztható 10-zel, mert nem 0-ra végződik.
  • Egy szám 11-gyel való oszthatóságának jele Egy szám osztható 11-gyel, ha a páratlan helyeken lévő számjegyek összege egyenlő a páros helyeken lévő számjegyek összegével, vagy az összegeknek 11-gyel kell különbözniük
    Példa: A 3762 szám osztható 11-gyel, mert 3 + 6 = 7 + 2 = 9. A 2374 szám pedig nem osztható 11-gyel, mert 2 + 7 = 9 és 3 + 4 = 7.
  • Egy szám 25-tel való oszthatóságának jele Egy szám osztható 25-tel, ha 00-ra, 25-re, 50-re vagy 75-re végződik
    Példa: A 4950 szám 25 többszöröse, mert 50-re végződik. A 4935 pedig nem osztható 25-tel, mert 35-re végződik.

Összetett szám oszthatósági feltételei

Annak megállapításához, hogy egy adott szám osztható-e egy összetett számmal, ezt az összetett számot fel kell bontani viszonylag elsődleges tényezők, amelynek oszthatósági kritériumai ismertek. A másodprím számok olyan számok, amelyeknek nincs más közös osztója, mint 1. Például egy szám osztható 15-tel, ha osztható 3-mal és 5-tel.

Tekintsünk egy másik példát az összetett osztóra: egy szám osztható 18-cal, ha osztható 2-vel és 9-cel. Ebben az esetben a 18-at nem lehet 3-ra és 6-ra bontani, mivel ezek nem másodprímek, mivel közös osztójuk van 3-mal. Ezt példán keresztül ellenőrizzük.

A 456-os szám osztható 3-mal, mivel a számjegyeinek összege 15, és osztható 6-tal, mivel osztható 3-mal és 2-vel is. De ha a 456-ot kézzel elosztja 18-cal, akkor a maradékot kapja. Ha a 456-os számnál ellenőrizzük a 2-vel és 9-cel való oszthatóság előjeleit, azonnal világossá válik, hogy osztható 2-vel, de nem osztható 9-cel, mivel a szám számjegyeinek összege 15, és nem. osztható 9-cel.


Folytatódik az oszthatóság jeleiről szóló cikksorozat 3-mal oszthatóság jele. Ebben a cikkben először a 3-mal oszthatóság feltételének megfogalmazását adjuk meg, és példákat adunk e kritérium alkalmazására annak megállapítására, hogy a megadott egész számok közül melyek oszthatók 3-mal, és melyek nem. Továbbá megadjuk a 3-mal való oszthatósági próba bizonyítását. Valamely kifejezés értékeként megadott számok 3-mal való oszthatóságának megállapítására szolgáló megközelítéseket is figyelembe kell venni.

Oldalnavigáció.

3-mal oszthatóság jele, példák

Kezdjük azzal a 3-mal osztható teszt megfogalmazásai: egy egész szám osztható 3-mal, ha számjegyeinek összege osztható 3-mal, ha számjegyeinek összege nem osztható 3-mal, akkor maga a szám nem osztható 3-mal.

A fenti megfogalmazásból jól látható, hogy a 3-mal oszthatóság jele nem használható teljesítőképesség nélkül. A 3-mal való oszthatóság jelének sikeres alkalmazásához tudnia kell, hogy az összes szám közül a 3, 6 és 9 osztható 3-mal, és az 1, 2, 4, 5, 7 és 8 nem osztható 3-mal.

Most tekinthetjük a legegyszerűbbet Példák a 3-mal osztható teszt alkalmazására. Nézze meg, hogy a −42 szám osztható-e 3-mal. Ehhez kiszámoljuk a −42 szám számjegyeinek összegét, ez egyenlő 4+2=6-tal. Mivel a 6 osztható 3-mal, ezért az oszthatósági kritérium 3-mal okán a −42 szám is osztható 3-mal. De a 71 pozitív egész nem osztható 3-mal, mivel számjegyeinek összege 7+1=8, a 8 pedig nem osztható 3-mal.

0 osztható 3-mal? A kérdés megválaszolásához nincs szükség a 3-mal való oszthatóság tesztjére, itt fel kell idéznünk a megfelelő oszthatósági tulajdonságot, amely szerint a nulla bármely egész számmal osztható. Tehát a 0 osztható 3-mal.

Bizonyos esetekben annak bizonyítására, hogy egy adott szám osztható-e 3-mal, a 3-mal osztható tesztet egymás után többször is alkalmazni kell. Vegyünk egy példát.

Példa.

Mutassuk meg, hogy a 907444812 szám osztható 3-mal.

Megoldás.

A 907444812 számjegyeinek összege 9+0+7+4+4+4+8+1+2=39 . Annak megállapításához, hogy 39 osztható-e 3-mal, kiszámítjuk a számjegyek összegét: 3+9=12 . És hogy megtudjuk, hogy 12 osztható-e 3-mal, akkor a 12 számjegyeinek összegét kapjuk, 1+2=3. Mivel megkaptuk a 3-mal osztható 3-at, így a 3-mal osztható előjel miatt a 12-es szám osztható 3-mal. Ezért a 39 osztható 3-mal, mivel a számjegyeinek összege 12, a 12 pedig osztható 3-mal. Végül a 907333812 osztható 3-mal, mert számjegyeinek összege 39, a 39 pedig osztható 3-mal.

Az anyag konszolidálásához egy másik példa megoldását elemezzük.

Példa.

A −543205 szám osztható 3-mal?

Megoldás.

Számítsuk ki ennek a számnak a számjegyeinek összegét: 5+4+3+2+0+5=19 . Viszont a 19-es szám számjegyeinek összege 1+9=10 , a 10-es számjegyeinek összege pedig 1+0=1 . Mivel az 1-et kaptuk, ami nem osztható 3-mal, ezért a 3-mal való oszthatóság kritériumából következik, hogy a 10 nem osztható 3-mal. Ezért a 19 nem osztható 3-mal, mert számjegyeinek összege 10, a 10 pedig nem osztható 3-mal. Ezért az eredeti −543205 szám nem osztható 3-mal, mivel a számjegyeinek összege, amely 19, nem osztható 3-mal.

Válasz:

Nem.

Érdemes megjegyezni, hogy egy adott szám 3-mal való közvetlen osztása arra is enged következtetni, hogy az adott szám osztható-e 3-mal vagy sem. Ezzel azt akarjuk mondani, hogy az osztást nem szabad figyelmen kívül hagyni a 3-mal oszthatóság jele javára. Az utolsó példában, 543205-ször 3-mal, megbizonyosodnánk arról, hogy 543205 nem is osztható 3-mal, amiből azt mondhatnánk, hogy a −543205 sem osztható 3-mal.

A 3-mal osztható teszt bizonyítása

Az a szám következő ábrázolása segít a 3-mal való oszthatóság előjelének bizonyításában. Bármilyen a természetes számot tehetünk, amely után megkapjuk az alak reprezentációját, ahol a n , a n−1 , ..., a 0 az a szám jelölésének balról jobbra haladó számjegyei. Az érthetőség kedvéért adunk egy példát egy ilyen ábrázolásra: 528=500+20+8=5 100+2 10+8 .

Most írjunk fel néhány meglehetősen nyilvánvaló egyenlőséget: 10=9+1=3 3+1 , 100=99+1=33 3+1 , 1 000=999+1=333 3+1 és így tovább.

Helyettesítés az egyenlőségbe a=a n 10 n +a n-1 10 n-1 +…+a 2 10 2 +a 1 10+a 0 10 , 100 , 1 000 és így tovább helyett a 3 3+1 , 33 3+1 , 999+1=333 3+1 és így tovább kifejezéseket kapjuk
.

És hagyja, hogy a kapott egyenlőség a következőképpen írható át:

Kifejezés az a számjegyeinek összege. A rövidség és az egyszerűség kedvéért jelöljük A betűvel, vagyis vegyük . Ekkor megkapjuk az alak a számának reprezentációját, amelyet a 3-mal való oszthatóság bizonyítására fogunk használni.

A 3-mal való oszthatóság tesztjének bizonyításához a következő oszthatósági tulajdonságokra van szükségünk:

  • hogy egy a egész szám osztható b egész számmal, szükséges és elegendő ahhoz, hogy a osztható legyen b modulusával;
  • ha az a=s+t egyenlőségben minden tag, egy kivételével, osztható valamilyen b egész számmal, akkor ez az egy tag is osztható b-vel.

Most teljesen felkészültünk és végre tudjuk hajtani a 3-mal való oszthatóság bizonyítása, a kényelem kedvéért ezt a tulajdonságot a 3-mal oszthatóság szükséges és elégséges feltételeként fogalmazzuk meg.

Tétel.

Ahhoz, hogy egy a egész szám osztható legyen 3-mal, szükséges és elegendő, hogy számjegyeinek összege osztható 3-mal.

Bizonyíték.

Mert a=0 a tétel nyilvánvaló.

Ha egy a különbözik nullától, akkor az a modulusa természetes szám, akkor lehetséges az ábrázolás, ahol az a szám számjegyeinek összege.

Mivel az egész számok összege és szorzata egész szám, akkor egész szám, ezért az oszthatóság definíciója szerint a szorzat osztható 3-mal bármely a 0 , a 1 , …, a n esetén.

Ha az a szám számjegyeinek összege osztható 3-mal, azaz A osztható 3-mal, akkor a tétel előtt jelzett oszthatósági tulajdonság miatt osztható 3-mal, ezért a osztható 3-mal. Ez bizonyítja az elégségességet.

Ha egy a osztható 3-mal, akkor osztható 3-mal, ekkor az A szám osztható 3-mal, vagyis az a szám számjegyeinek összege osztható 3-mal. Ez bizonyítja a szükségességet.

A 3-mal oszthatóság egyéb esetei

Néha az egész számokat nem kifejezetten adjuk meg, hanem a változó valamely adott értékének értékeként. Például valamely természetes n kifejezésének értéke természetes szám. Nyilvánvaló, hogy ezzel a szám-hozzárendeléssel a 3-mal való közvetlen osztás nem segíti a 3-mal való oszthatóság megállapítását, és a 3-mal való oszthatóság jele nem mindig alkalmazható. Most több megközelítést is megvizsgálunk az ilyen problémák megoldására.

Ezeknek a megközelítéseknek az a lényege, hogy az eredeti kifejezést több tényező szorzataként ábrázolják, és ha legalább az egyik tényező osztható 3-mal, akkor az oszthatóság megfelelő tulajdonsága miatt arra a következtetésre juthatunk, hogy a teljes a szorzat osztható 3-mal.

Néha ez a megközelítés lehetővé teszi a végrehajtást. Nézzünk egy példamegoldást.

Példa.

Osztható-e a kifejezés értéke 3-mal bármely természetes n esetén?

Megoldás.

Az egyenlőség nyilvánvaló. Használjuk Newton binomiális képletét:

Az utolsó kifejezésben a zárójelekből kivehetünk 3-at, és azt kapjuk, hogy . A kapott szorzat osztható 3-mal, mivel 3-as tényezőt tartalmaz, és a természetes n zárójelben lévő kifejezés értéke természetes szám. Ezért osztható 3-mal bármely természetes n esetén.

Válasz:

Igen.

Sok esetben a 3-mal való oszthatóság bizonyítása lehetővé teszi. Elemezzük alkalmazását egy példa megoldásában.

Példa.

Bizonyítsuk be, hogy bármely természetes n esetén a kifejezés értéke osztható 3-mal.

Megoldás.

A bizonyításhoz a matematikai indukció módszerét használjuk.

Nál nél n=1 a kifejezés értéke , és 6 osztható 3-mal.

Tegyük fel, hogy a kifejezés értéke osztható 3-mal, ha n=k, azaz osztható 3-mal.

Figyelembe véve, hogy osztható 3-mal, megmutatjuk, hogy az n=k+1 kifejezés értéke osztható 3-mal, azaz megmutatjuk, hogy osztható 3-mal.

A matematika a 6. osztályban az oszthatóság fogalmának és az oszthatóság jeleinek tanulmányozásával kezdődik. Gyakran az ilyen számokkal való oszthatóság jeleire korlátozódik:

  • A 2 : az utolsó számjegy 0, 2, 4, 6 vagy 8 lehet;
  • A 3 : a szám számjegyeinek összegének oszthatónak kell lennie 3-mal;
  • A 4 : az utolsó két számjegyből képzett számnak oszthatónak kell lennie 4-gyel;
  • A 5 : az utolsó számjegynek 0-nak vagy 5-nek kell lennie;
  • A 6 : a számnak rendelkeznie kell 2-vel és 3-mal osztható jelekkel;
  • -vel oszthatóság jele 7 gyakran kihagyják;
  • Ritkán beszélnek a részekre oszthatóság próbájáról is 8 , bár hasonló a 2-vel és 4-gyel való oszthatóság jeleihez. Ahhoz, hogy egy szám osztható legyen 8-cal, szükséges és elegendő, hogy a háromjegyű vége osztható legyen 8-cal.
  • -vel oszthatóság jele 9 mindenki tudja: egy szám számjegyeinek összegének oszthatónak kell lennie 9-cel. Ami azonban nem fejleszt immunitást mindenféle, a numerológusok által használt dátumozással szemben.
  • -vel oszthatóság jele 10 , talán a legegyszerűbb: a számnak nullára kell végződnie.
  • Néha a hatodikosoknak is elmondják a részre oszthatóság jelét 11 . A páros helyeken lévő számjegyeket össze kell adni, a páratlan helyeken lévő számokat ki kell vonni az eredményből. Ha az eredmény osztható 11-gyel, akkor maga a szám osztható 11-gyel.
Térjünk most vissza a 7-tel oszthatóság jeléhez. Ha beszélnek róla, akkor azt kombinálják a 13-mal oszthatóság jelével, és tanácsos így használni.

Vegyünk egy számot. Egyenként 3 számjegyű blokkra osztjuk (a bal szélső blokk egy vagy két számjegyet tartalmazhat), és felváltva összeadjuk/kivonjuk ezeket a blokkokat.

Ha az eredmény osztható 7-tel, 13-mal (vagy 11-gyel), akkor maga a szám osztható 7-tel, 13-mal (vagy b 11-gyel).

Ez a módszer, valamint számos matematikai trükk azon a tényen alapul, hogy 7x11x13 \u003d 1001. Azonban mit kell tenni a háromjegyű számokkal, amelyeknél az oszthatóság kérdése néha nem oldható meg osztás nélkül.

Az univerzális oszthatósági teszt segítségével viszonylag egyszerű algoritmusokat készíthetünk annak meghatározására, hogy egy szám osztható-e 7-tel és más „kényelmetlen” számokkal.

A 7-tel oszthatóság javított tesztje
Annak ellenőrzéséhez, hogy egy szám osztható-e 7-tel, el kell hagynia a szám utolsó számjegyét, és ezt a számjegyet kétszer ki kell vonnia a kapott eredményből. Ha az eredmény osztható 7-tel, akkor maga a szám osztható 7-tel.

1. példa:
A 238 osztható 7-tel?
23-8-8 = 7. Tehát a 238-as szám osztható 7-tel.
Valóban, 238 = 34x7

Ez a művelet többször is végrehajtható.
2. példa:
65835 osztható 7-tel?
6583-5-5 = 6573
657-3-3 = 651
65-1-1 = 63
A 63 osztható 7-tel (ha ezt nem vennénk észre, még 1 lépést tehetnénk: 6-3-3 = 0, és a 0 mindenképpen osztható 7-tel).

Tehát a 65835 szám is osztható 7-tel.

Az univerzális oszthatósági kritérium alapján lehetőség van az oszthatósági kritériumok 4-gyel és 8-cal történő javítására.

Javított teszt a 4-gyel oszthatóra
Ha az egységek számának fele plusz a tízesek száma páros szám, akkor a szám osztható 4-gyel.

3. példa
Az 52-es szám osztható 4-gyel?
5+2/2 = 6, a szám páros, tehát osztható 4-gyel.

4. példa
A 134-es szám osztható 4-gyel?
3+4/2 = 5, páratlan szám, tehát a 134 nem osztható 4-gyel.

A 8-cal való oszthatóság javított tesztje
Ha összeadja a százasok kétszeresét, a tízesek számát és az egységek számának felét, és az eredmény osztható 4-gyel, akkor maga a szám osztható 8-cal.

5. példa
Az 512-es szám osztható 8-cal?
5*2+1+2/2 = 12, a szám osztható 4-gyel, tehát 512 osztható 8-cal.

6. példa
Az 1984 szám osztható 8-cal?
9*2+8+4/2 = 28, a szám osztható 4-gyel, tehát 1984 osztható 8-cal.

12-vel osztható jel A 3-mal és 4-gyel való oszthatóság előjeleinek uniója. Ugyanez vonatkozik bármely n-re, amely p és q koprím szorzata. Ahhoz, hogy egy szám osztható legyen n-nel (amely egyenlő pq szorzatával, tehát gcd(p,q)=1), oszthatónak kell lennie p-vel és q-val is.

Azonban légy óvatos! Ahhoz, hogy az oszthatóság összetett jelei működjenek, a szám tényezőinek pontosan másodprímeknek kell lenniük. Nem mondhatjuk, hogy egy szám osztható 8-cal, ha osztható 2-vel és 4-gyel.

Javított teszt a 13-mal oszthatóra
Annak ellenőrzéséhez, hogy egy szám osztható-e 13-mal, el kell dobnia a szám utolsó számjegyét, és négyszer kell hozzáadnia a kapott eredményhez. Ha az eredmény osztható 13-mal, akkor maga a szám osztható 13-mal.

7. példa
65835 osztható 8-cal?
6583+4*5 = 6603
660+4*3 = 672
67+4*2 = 79
7+4*9 = 43

A 43-as szám nem osztható 13-mal, ami azt jelenti, hogy a 65835-ös szám sem osztható 13-mal.

8. példa
715 osztható 13-mal?
71+4*5 = 91
9+4*1 = 13
A 13 osztható 13-mal, így a 715 is osztható 13-mal.

A 14, 15, 18, 20, 21, 24, 26, 28-cal való oszthatóság jeleiés más összetett számok, amelyek nem prímszámok hatványai, hasonlóak a 12-vel való oszthatóság kritériumaihoz. Ellenőrizzük ezeknek a számoknak az oszthatóságát koprímtényezőkkel.

  • 14-re: 2-re és 7-re;
  • 15-höz: 3-mal és 5-tel;
  • 18-hoz: 2 és 9;
  • 21-re: 3-án és 7-én;
  • 20 esetén: 4-gyel és 5-tel (vagy más szóval az utolsó számjegynek nullának, az utolsó előttinek pedig párosnak kell lennie);
  • 24-hez: 3 és 8;
  • 26-hoz: 2 és 13;
  • 28-hoz: 4 és 7.
Javított teszt a 16-tal oszthatóra.
Ahelyett, hogy ellenőrizné, hogy a 4 számjegyű vége osztható-e 16-tal, hozzáadhatja az egyes számjegyeket a tízes számjegy tízszeresével, négyszerezheti a százas számjegyet, és
az ezres számjegy nyolcszorosa, és ellenőrizze, hogy az eredmény osztható-e 16-tal.

9. példa
1984 osztható 16-tal?
4+10*8+4*9+2*1 = 4+80+36+2 = 126
6+10*2+4*1=6+20+4=30
A 30 nem osztható 16-tal, így 1984 sem osztható 16-tal.

10. példa
Az 1526 szám osztható 16-tal?
6+10*2+4*5+2*1 = 6+20+20+2 = 48
A 48 nem osztható 16-tal, így az 1526 is osztható 16-tal.

Javított teszt a 17-tel oszthatóságra.
Annak ellenőrzéséhez, hogy egy szám osztható-e 17-tel, el kell dobnia a szám utolsó számjegyét, és ezt a számot ötször kell kivonnia a kapott eredményből. Ha az eredmény osztható 13-mal, akkor maga a szám osztható 13-mal.

11. példa
Az 59772 szám osztható 17-tel?
5977-5*2 = 5967
596-5*7 = 561
56-5*1 = 51
5-5*5 = 0
A 0 osztható 17-tel, így az 59772 is osztható 17-tel.

12. példa
4913 osztható 17-tel?
491-5*3 = 476
47-5*6 = 17
A 17 osztható 17-tel, így a 4913 is osztható 17-tel.

Javított teszt a 19-cel oszthatóságra.
Annak ellenőrzéséhez, hogy egy szám osztható-e 19-cel, az utolsó számjegy elvetése után az utolsó számjegy kétszeresét kell hozzáadnia az utolsó számjegyhez.

13. példa
A 9044 szám osztható 19-cel?
904+4+4 = 912
91+2+2 = 95
9+5+5 = 19
A 19 osztható 19-cel, így a 9044 is osztható 19-cel.

Javított teszt a 23-mal oszthatóra.
Annak ellenőrzéséhez, hogy egy szám osztható-e 23-mal, hozzá kell adnia a hétszeresével megnövelt utolsó számjegyet az utolsó számjegy elvetése után fennmaradó számhoz.

14. példa
A 208012 szám osztható 23-mal?
20801+7*2 = 20815
2081+7*5 = 2116
211+7*6 = 253
Valójában már láthatja, hogy a 253 az 23,

A számok oszthatóságának jelei- ezek olyan szabályok, amelyek lehetővé teszik, hogy osztás nélkül viszonylag gyorsan kiderüljön, hogy ez a szám osztható-e egy adott eggyel maradék nélkül.
Néhány az oszthatóság jelei elég egyszerű, néhány nehezebb. Ezen az oldalon az oszthatóság mindkét jelét megtalálod prímszámok, mint például 2, 3, 5, 7, 11, és az összetett számok oszthatóságának jelei, például 6 vagy 12.
Remélem, ez az információ hasznos lesz az Ön számára.
Boldog tanulást!

2-vel oszthatóság jele

Ez az oszthatóság egyik legegyszerűbb jele. Ez így hangzik: ha egy természetes szám rekordja páros számjegyre végződik, akkor az páros (maradék nélkül osztva 2-vel), és ha egy szám rekordja páratlan számjegyre végződik, akkor ez a szám páratlan.
Más szóval, ha egy szám utolsó számjegye 2 , 4 , 6 , 8 vagy 0 - a szám osztható 2-vel, ha nem, akkor nem osztható
Például számok: 23 4 , 8270 , 1276 , 9038 , 502 oszthatók 2-vel, mert párosak.
A számok: 23 5 , 137 , 2303
nem oszthatók 2-vel, mert páratlanok.

3-mal oszthatóság jele

Ennek az oszthatósági jelnek egészen más szabályai vannak: ha egy szám számjegyeinek összege osztható 3-mal, akkor a szám is osztható 3-mal; Ha egy szám számjegyeinek összege nem osztható 3-mal, akkor a szám nem osztható 3-mal.
Tehát annak megértéséhez, hogy egy szám osztható-e 3-mal, csak össze kell adni az azt alkotó számokat.
Így néz ki: 3987 és 141 osztva 3-mal, mert az első esetben 3+9+8+7= 27 (27:3=9 - maradék nélkül osztható 3-mal), a másodikban pedig 1+4+1= 6 (6:3=2 - osztható 3-mal is maradék nélkül).
De a számok: 235 és 566 nem oszthatók 3-mal, mert 2+3+5= 10 és 5+6+6= 17 (és tudjuk, hogy sem 10, sem 17 nem osztható 3-mal maradék nélkül).

4 előjellel való oszthatóság

Ez az oszthatósági teszt bonyolultabb lesz. Ha a szám utolsó 2 jegye 4-gyel osztható számot alkot, vagy 00, akkor a szám osztható 4-gyel, ellenkező esetben ez a szám nem osztható 4-gyel maradék nélkül.
Például: 1 00 és 3 64 oszthatóak 4-gyel, mert az első esetben a szám -ra végződik 00 , és a másodikban 64 , ami viszont maradék nélkül osztható 4-gyel (64:4=16)
Számok 3 57 és 8 86 nem oszthatók 4-gyel, mert egyik sem 57 se 86 nem oszthatók 4-gyel, ezért nem felelnek meg ennek az oszthatósági kritériumnak.

5-tel oszthatóság jele

És megint van egy meglehetősen egyszerű oszthatósági jelünk: ha egy természetes szám rekordja 0 vagy 5 számjegyre végződik, akkor ez a szám maradék nélkül osztható 5-tel. Ha a szám rekordja más számjeggyel végződik, akkor a maradék nélküli szám nem osztható 5-tel.
Ez azt jelenti, hogy minden számjegyre végződő szám 0 és 5 például 1235 5 és 43 0 , a szabály hatálya alá tartoznak, és oszthatók 5-tel.
És például 1549 3 és 56 4 ne végződjenek 5-re vagy 0-ra, ami azt jelenti, hogy nem oszthatók 5-tel maradék nélkül.

6-tal oszthatóság jele

Előttünk áll egy összetett 6-os szám, amely a 2 és 3 szorzata. Ezért a 6-tal való oszthatóság jele is összetett: ahhoz, hogy egy szám osztható legyen 6-tal, két oszthatósági jelnek kell megfelelnie. ugyanakkor: a 2-vel oszthatóság előjele és a 3-mal való oszthatóság előjele. Ugyanakkor vegye figyelembe, hogy az olyan összetett számnak, mint a 4, van egyéni oszthatósági jele, mert önmagában a 2-es szorzata . De térjünk vissza a 6-tal osztható teszthez.
A 138 és 474 számok párosak, és megfelelnek a 3-mal osztható jeleknek (1+3+8=12, 12:3=4 és 4+7+4=15, 15:3=5), ami azt jelenti, hogy osztható 6-tal. De 123 és 447, bár oszthatók 3-mal (1+2+3=6, 6:3=2 és 4+4+7=15, 15:3=5), de páratlanok, és ezért nem felelnek meg a 2-vel oszthatóság kritériumának, ezért nem felelnek meg a 6-tal oszthatóság kritériumának.

7-tel oszthatóság jele

Ez az oszthatósági feltétel összetettebb: egy szám osztható 7-tel, ha ennek a számnak a tízeseinek számából a megkettőzött utolsó számjegy kivonása osztható 7-tel, vagy egyenlő 0-val.
Elég zavaróan hangzik, de a gyakorlatban egyszerű. Nézd meg magad: szám 95 A 9 osztható 7-tel, mert 95 -2*9=95-18=77, 77:7=11 (77 maradék nélkül osztható 7-tel). Sőt, ha nehézségek adódnak az átalakítások során kapott számmal (a mérete miatt nehéz megérteni, hogy osztható-e 7-tel vagy sem, akkor ezt az eljárást annyiszor folytathatjuk, ahányszor jónak látjuk).
Például, 45 5 és 4580 1-nek vannak 7-tel osztható jelei. Az első esetben minden nagyon egyszerű: 45 -2*5=45-10=35, 35:7=5. A második esetben ezt tesszük: 4580 -2*1=4580-2=4578. Nehéz megértenünk, hogy vajon 457 8:7, tehát ismételjük meg a folyamatot: 457 -2*8=457-16=441. És ismét az oszthatóság jelét fogjuk használni, hiszen még mindig van előttünk egy háromjegyű szám 44 1. Szóval, 44 -2*1=44-2=42, 42:7=6, azaz. A 42 maradék nélkül osztható 7-tel, ami azt jelenti, hogy a 45801 is osztható 7-tel.
És itt vannak a számok 11 1 és 34 Az 5 nem osztható 7-tel, mert 11 -2*1=11-2=9 (9 nem osztható egyenletesen 7-tel) és 34 -2*5=34-10=24 (a 24 nem osztható egyenletesen 7-tel).

8-cal való oszthatóság jele

A 8-cal való oszthatóság jele így hangzik: ha az utolsó 3 számjegy 8-cal osztható számot alkot, vagy 000, akkor az adott szám osztható 8-cal.
Számok 1 000 vagy 1 088 osztható 8-cal: az első végződik 000 , a második 88 :8=11 (osztható 8-cal maradék nélkül).
És itt vannak az 1-es számok 100 vagy 4 757 nem oszthatók 8-cal, mert a számok 100 és 757 maradék nélkül nem osztható 8-cal.

9-cel oszthatóság jele

Ez az oszthatósági jel hasonló a 3-mal való oszthatóság jeléhez: ha egy szám számjegyeinek összege osztható 9-cel, akkor a szám osztható 9-cel is; Ha egy szám számjegyeinek összege nem osztható 9-cel, akkor a szám nem osztható 9-cel.
Például: 3987 és 144 osztható 9-cel, mert az első esetben 3+9+8+7= 27 (27:9=3 - maradék nélkül osztható 9-cel), a másodikban pedig 1+4+4= 9 (9:9=1 - maradék nélkül is osztható 9-cel).
De a számok: 235 és 141 nem oszthatók 9-cel, mert 2+3+5= 10 és 1+4+1= 6 (és tudjuk, hogy sem 10, sem 6 nem osztható 9-cel maradék nélkül).

A 10, 100, 1000 és egyéb bitegységekkel való oszthatóság jelei

Ezeket az oszthatósági feltételeket azért kombináltam, mert ugyanúgy leírhatók: egy szám akkor osztható bitegységgel, ha a szám végén lévő nullák száma nagyobb vagy egyenlő, mint egy adott bitegységben lévő nullák száma.
Más szavakkal, például ilyen számaink vannak: 654 0 , 46400 , 867000 , 6450 . amelyek mindegyike osztható 1-gyel 0 ; 46400 és 867 000 is oszthatók 1-gyel 00 ; és csak egy közülük - 867 000 osztható 1-gyel 000 .
A bitegységnél kisebb nullára végződő számok nem oszthatók ezzel a bitegységgel, például 600 30 és 7 93 ne oszd meg 1 00 .

11-gyel osztható jel

Annak megállapításához, hogy egy szám osztható-e 11-gyel, meg kell kapnia a különbséget a szám páros és páratlan számjegyeinek összege között. Ha ez a különbség egyenlő 0-val, vagy osztható 11-gyel maradék nélkül, akkor maga a szám osztható 11-gyel maradék nélkül.
Az érthetőség kedvéért példákat javaslok: 2 35 A 4 osztható 11-gyel, mert ( 2 +5 )-(3+4)=7-7=0. 29 19 A 4 is osztható 11-gyel, mert ( 9 +9 )-(2+1+4)=18-7=11.
És itt van az 1 1 1 ill 4 35 A 4 nem osztható 11-gyel, mivel az első esetben (1 + 1) - 1 =1, a másodikban pedig ( 4 +5 )-(3+4)=9-7=2.

12-vel osztható jel

A 12-es szám összetett. Oszthatósági jele a 3-mal és egyben 4-gyel való oszthatóság jeleinek való megfelelés.
Például a 300 és a 636 megfelel mind a 4-gyel osztható előjeleknek (az utolsó 2 számjegy nulla vagy osztható 4-gyel), mind a 3-mal osztható (a számjegyek, valamint az első és második számok összege osztható 3-mal) ), ezért maradék nélkül oszthatók 12-vel.
De 200 vagy 630 nem osztható 12-vel, mert az első esetben a szám csak a 4-gyel való oszthatóság jelének felel meg, a másodikban pedig csak a 3-mal való oszthatóság jelének. De nem mindkét jel egyidejűleg.

13-mal osztható jel

A 13-mal való oszthatóság jele, hogy ha egy szám tízeseinek száma, e szám egységeihez 4-gyel szorozva, 13 többszöröse vagy egyenlő 0-val, akkor maga a szám osztható 13-mal.
Vegyük például 70 2. Szóval 70 +4*2=78, 78:13=6 (78 egyenlően osztható 13-mal), tehát 70 A 2 maradék nélkül osztható 13-mal. Egy másik példa a szám 114 4. 114 +4*4=130, 130:13=10. A 130-as szám maradék nélkül osztható 13-mal, ami azt jelenti, hogy az adott szám megfelel a 13-mal való oszthatóság jelének.
Ha a számokat vesszük 12 5 vagy 21 2, akkor megkapjuk 12 +4*5=32 és 21 +4*2=29, illetve sem 32, sem 29 nem osztható 13-mal maradék nélkül, ami azt jelenti, hogy a megadott számok nem oszthatók 13-mal maradék nélkül.

A számok oszthatósága

Amint az a fentiekből látható, feltételezhető, hogy a természetes számok bármelyike ​​illeszthető a saját oszthatósági előjelével vagy egy "összetett" előjellel, ha a szám több különböző szám többszöröse. De a gyakorlat azt mutatja, hogy alapvetően minél nagyobb a szám, annál összetettebb az attribútuma. Talán az oszthatósági feltétel ellenőrzésére fordított idő egyenlő vagy nagyobb, mint maga az osztás. Ezért általában a legegyszerűbb oszthatósági teszteket használjuk.