Veta je priama a konverzná. Riešenie úloh pomocou Menelaovej vety

Trieda: 9

Ciele lekcie:

1. zovšeobecňovať, rozširovať a systematizovať vedomosti a zručnosti žiakov; naučiť, ako používať vedomosti pri riešení zložitých problémov;
2. podporovať rozvoj zručností pre samostatnú aplikáciu vedomostí pri riešení problémov;
3. rozvíjať u žiakov logické myslenie a matematickú reč, schopnosť analyzovať, porovnávať a zovšeobecňovať;
4. vštepovať žiakom sebavedomie a pracovitosť; schopnosť pracovať v tíme.

Ciele lekcie:

• Vzdelávacie: zopakujte si vety Menelaa a Chevy; aplikovať ich pri riešení problémov.
• vývojové: naučiť sa predkladať hypotézu a šikovne obhajovať svoj názor dôkazmi; otestovať svoju schopnosť zovšeobecňovať a systematizovať svoje vedomosti.
• Vzdelávacie: zvýšiť záujem o predmet a pripraviť sa na riešenie zložitejších problémov.

Typ lekcie: lekcia zovšeobecňovania a systematizácie vedomostí.

Vybavenie: karty na kolektívnu prácu na hodine na túto tému, samostatné karty na samostatnú prácu, počítač, multimediálny projektor, plátno.

Počas vyučovania

Etapa I. Organizačný moment (1 min.)

Učiteľ oznámi tému a účel hodiny.

Etapa II. Aktualizácia základných vedomostí a zručností (10 min.)

učiteľ: Počas hodiny si zapamätáme Menelaove a Chevove teorémy, aby sme úspešne prešli k riešeniu problémov. Poďme sa pozrieť na obrazovku, kde je prezentovaný. Pre ktorú vetu je daný tento údaj? (Menelaova veta). Pokúste sa jasne formulovať vetu.

Obrázok 1

Nech bod A 1 leží na strane BC trojuholníka ABC, bod C 1 na strane AB, bod B 1 na pokračovaní strany AC za bodom C. Body A 1 , B 1 a C 1 ležia na tej istej priamke práve vtedy ak platí rovnosť

učiteľ: Pozrime sa spolu na nasledujúci obrázok. Povedzte vetu pre tento výkres.

Obrázok 2

Čiara AD pretína dve strany a predĺženie tretej strany trojuholníka IUD.

Podľa Menelaovej vety

Priamka MB pretína dve strany a predĺženie tretej strany trojuholníka ADC.

Podľa Menelaovej vety

učiteľ: Akej vete zodpovedá obrázok? (Cevova veta). Vyslovte vetu.

Obrázok 3

Nech bod A 1 v trojuholníku ABC leží na strane BC, bod B 1 na strane AC, bod C 1 na strane AB. Segmenty AA 1, BB 1 a CC 1 sa pretínajú v jednom bode vtedy a len vtedy, ak platí rovnosť

Stupeň III. Riešenie problémov. (22 min.)

Trieda je rozdelená do 3 tímov, z ktorých každý dostane kartičku s dvomi rôznymi úlohami. Je daný čas na rozhodnutie, potom sa na obrazovke objaví nasledovné:<Рисунки 4-9>. Na základe hotových nákresov k úlohám sa zástupcovia tímov striedajú pri vysvetľovaní ich riešení. Po každom výklade nasleduje diskusia, odpovedanie na otázky a kontrola správnosti riešenia na obrazovke. Do diskusie sa zapájajú všetci členovia tímu. Čím aktívnejší tím, tým vyššie je hodnotený pri sčítavaní výsledkov.

Karta 1.

1. V trojuholníku ABC je bod N na strane BC tak, že NC = 3BN; na pokračovaní strany AC sa bod M berie ako bod A, takže MA = AC. Priamka MN pretína stranu AB v bode F. Nájdite pomer

2. Dokážte, že stredy trojuholníka sa pretínajú v jednom bode.

Riešenie 1

Obrázok 4

Podľa podmienok úlohy MA = AC, NC = 3BN. Nech MA = AC =b, BN = k, NC = 3k. Priamka MN pretína dve strany trojuholníka ABC a pokračovanie tretej.

Podľa Menelaovej vety

odpoveď:

Dôkaz 2

Obrázok 5

Nech AM 1, BM 2, CM 3 sú mediány trojuholníka ABC. Aby sme dokázali, že sa tieto segmenty pretínajú v jednom bode, stačí to ukázať

Potom sa podľa Cevovej (obrátenej) vety segmenty AM 1, BM 2 a CM 3 pretínajú v jednom bode.

Máme:

Bolo teda dokázané, že stredy trojuholníka sa pretínajú v jednom bode.

karta 2.

1. Bod N je na strane PQ trojuholníka PQR a bod L je na strane PR a NQ = LR. Priesečník segmentov QL a NR delí QL v pomere m:n, počítajúc od bodu Q. Nájdite

2. Dokážte, že osi trojuholníka sa pretínajú v jednom bode.

Riešenie 1

Obrázok 6

Podľa podmienky, NQ = LR, Nech NA = LR =a, QF = km, LF = kn. Priamka NR pretína dve strany trojuholníka PQL a pokračovanie tretej.

Podľa Menelaovej vety

odpoveď:

Dôkaz 2

Obrázok 7

Ukážme to

Potom sa podľa Cevovej (obrátenej) vety pretínajú AL 1, BL 2, CL 3 v jednom bode. Vlastnosťou osi trojuholníka

Vynásobením získaných rovnosti člen po člen, dostaneme

Pre osi trojuholníka je Chevova rovnosť splnená, preto sa pretínajú v jednom bode.

karta 3.

1. V trojuholníku ABC je AD stred, bod O je stredom mediánu. Priamka BO pretína stranu AC v bode K. V akom pomere delí bod K AC, počítajúc od bodu A?

2. Dokážte, že ak je do trojuholníka vpísaná kružnica, potom sa úsečky spájajúce vrcholy trojuholníka s bodmi dotyku protiľahlých strán pretínajú v jednom bode.

Riešenie 1

Obrázok 8

Nech BD = DC = a, AO = OD = m. Priamka BK pretína dve strany a predĺženie tretej strany trojuholníka ADC.

Podľa Menelaovej vety

odpoveď:

Dôkaz 2

Obrázok 9

Nech A 1, B 1 a C 1 sú dotykové body vpísanej kružnice trojuholníka ABC. Aby sme dokázali, že segmenty AA 1, BB 1 a CC 1 sa pretínajú v jednom bode, stačí ukázať, že Cheva platí:

Pomocou vlastnosti dotyčníc nakreslených ku kružnici z jedného bodu zavedieme nasledujúci zápis: C 1 B = BA 1 = x, AC 1 = CB 1 = y, BA 1 = AC 1 = z.

Chevova rovnosť je splnená, čo znamená, že osi trojuholníka sa pretínajú v jednom bode.

Štádium IV. Riešenie problémov (samostatná práca) (8 min.)

Učiteľ: Práca tímov je dokončená a teraz začneme samostatnú prácu na jednotlivých kartách pre 2 možnosti.

Učebné materiály pre samostatnú prácu študentov

Možnosť 1. V trojuholníku ABC, ktorého plocha je 6, je na strane AB bod K, ktorý delí túto stranu v pomere AK:BK = 2:3, a na strane AC je bod L, ktorý delí AC. v pomere AL:LC = 5:3. Bod Q priesečníka priamok СК a BL je vzdialený od priamky AB na diaľku. Nájdite dĺžku strany AB. (Odpoveď: 4.)

Možnosť 2. Na strane AC v trojuholníku ABC sa berie bod K. AK = 1, KS = 3. Na strane AB je bod L. AL:LB = 2:3, Q je priesečník priamok BK a CL. Nájdite dĺžku výšky trojuholníka ABC spadnutého z vrcholu B. (Odpoveď: 1.5.)

Práca sa odovzdá vyučujúcemu na kontrolu.

V etapa. Zhrnutie lekcie (2 min.)

Vykonané chyby sa analyzujú, zaznamenajú sa pôvodné odpovede a komentáre. Výsledky práce každého tímu sa spočítajú a pridelia sa známky.

Štádium VI. Domáca úloha (1 min.)

Domácu úlohu tvoria úlohy č.11, 12 s.289-290, č.10s.301.

Záverečné slová učiteľa (1 min).

Dnes ste si zvonku vypočuli matematickú reč toho druhého a zhodnotili ste svoje schopnosti. V budúcnosti budeme takéto diskusie využívať na lepšie pochopenie témy. Argumenty v lekcii boli priateľstvo s faktami a teória s praxou. Ďakujem vám všetkým.

Literatúra:

1. Tkachuk V.V. Matematika pre uchádzačov. – M.: MTsNMO, 2005.

Matematika - 10. ročník Mendel Viktor Vasilievich, dekan Fakulty prírodných vied, matematiky a informačných technológií Štátnej univerzity Ďalekého východu CHEVOVA VETA A MENELAYOVA VETA Osobitné miesto v planimetrii majú dve pozoruhodné vety: Cevova veta a Menelaova veta. Tieto vety nie sú súčasťou základného učiva stredoškolskej geometrie, ale ich štúdium (a aplikácia) sa odporúča každému, koho matematika zaujíma trochu viac, ako je možné v rámci školských osnov. Prečo sú tieto vety zaujímavé? Najprv si všimneme, že pri riešení geometrických problémov sa produktívne kombinujú dva prístupy: - jeden je založený na definícii základnej štruktúry (napríklad: trojuholník - kruh; trojuholník - sečná čiara; trojuholník - tri priame čiary prechádzanie jeho vrcholmi a pretínanie v jednom bode, štvoruholník s dvoma rovnobežnými stranami atď.) - a druhým je metóda podopretia (jednoduché geometrické úlohy, na ktoré sa redukuje proces riešenia zložitého problému). Menelaove a Chevove teorémy teda patria medzi najčastejšie sa vyskytujúce konštrukcie: prvá uvažuje o trojuholníku, ktorého strany alebo predĺženia strán pretína nejaká priamka (sekanta), druhá sa zaoberá trojuholníkom a troma priamkami prechádzajúcimi cez jeho vrcholy, pretínajúce sa v jednom bode. Menelaova veta Táto veta ukazuje pozorovateľné (spolu s inverznými) vzťahy úsečiek, vzor spájajúci vrcholy trojuholníka a priesečníky sečny so stranami (predĺženiami strán) trojuholníka. Na výkresoch sú znázornené dva možné prípady umiestnenia trojuholníka a sečny. V prvom prípade sečna pretína dve strany trojuholníka a predĺženie tretieho, v druhom - pokračovanie všetkých troch strán trojuholníka. Veta 1. (Menelaus) Nech ABC pretína priamka, ktorá nie je rovnobežná so stranou AB a pretína jej dve strany AC a BC v bodoch B1 a A1, a priamku AB v bode C1, potom AB1 CA1 BC1    1. B1C A1B C1 A Veta 2. (obracajte sa na Menelaovu vetu) Nech body A1, B1, C1 v trojuholníku ABC patria k priamkam BC, AC, AB, potom ak AB1 CA1 BC1   1 B1C A1B C1 A, potom body A1, B1, C1 ležia na jednej priamke. Dôkaz prvej vety možno vykonať nasledovne: kolmice zo všetkých vrcholov trojuholníka sa spúšťajú na sečnicu. Výsledkom sú tri páry podobných pravouhlých trojuholníkov. Vzťahy úsečiek vyskytujúcich sa vo formulácii vety sú nahradené vzťahmi kolmíc, ktoré im zodpovedajú v podobnosti. Ukazuje sa, že každý kolmý segment v zlomkoch bude prítomný dvakrát: raz v jednom zlomku v čitateli, druhýkrát v inom zlomku v menovateli. Súčin všetkých týchto pomerov sa teda bude rovnať jednej. Opačná veta sa dá dokázať protirečením. Predpokladá sa, že ak sú splnené podmienky vety 2, body A1, B1, C1 neležia na tej istej priamke. Potom priamka A1B1 pretína stranu AB v bode C2, odlišnom od bodu C1. V tomto prípade bude na základe vety 1 pre body A1, B1, C2 platiť rovnaký vzťah ako pre body A1, B1, C1. Z toho vyplýva, že body C1 a C2 rozdelia segment AB v rovnakých pomeroch. Potom sa tieto body zhodujú – dostaneme rozpor. Pozrime sa na príklady aplikácie Menelaovej vety. Príklad 1. Dokážte, že stredy trojuholníka v priesečníku sú rozdelené v pomere 2:1 od vrcholu. Riešenie. Zapíšme si vzťah získaný vo vete Menelaus pre trojuholník ABMb a priamku McM(C): AM c BM M bC    1. M c B MM b CA Prvý zlomok v tomto súčine je zjavne rovný k 1 a tretí druhý pomer sa rovná 1. Preto 2 2:1, čo bolo potrebné dokázať. Príklad 2. Sečna pretína predĺženie strany AC trojuholníka ABC v bode B1 tak, že bod C je stredom úsečky AB1. Táto sečna rozdeľuje stranu AB na polovicu. Nájdite v akom pomere delí stranu BC? Riešenie. Pre trojuholník a sečnicu napíšme súčin troch pomerov z Menelaovej vety: AB1 CA1 BC1    1. B1C A1B C1 A Z podmienok úlohy vyplýva, že prvý pomer sa rovná jednej a tretina je 1, 2, takže druhý pomer sa rovná 2, t.j. sečna delí stranu BC v pomere 2:1. Ďalší príklad aplikácie Menelaovej vety uvidíme, keď zvážime dôkaz Cevovej vety. Cevova veta Väčšinu pozoruhodných bodov trojuholníka možno získať pomocou nasledujúceho postupu. Nech existuje nejaké pravidlo, podľa ktorého môžeme zvoliť určitý bod A1 na strane BC (alebo jeho pokračovanie) trojuholníka ABC (napríklad vybrať stred tejto strany). Potom zostrojíme podobné body B1, C1 na ďalších dvoch stranách trojuholníka (v našom príklade ďalšie dva stredy strán). Ak je pravidlo výberu úspešné, potom sa priamky AA1, BB1, CC1 pretnú v určitom bode Z (výber stredov strán v tomto zmysle je samozrejme úspešný, pretože stredy trojuholníka sa pretínajú v jednom bode ). Chcel by som mať nejakú všeobecnú metódu, ktorá by umožnila určiť z polohy bodov na stranách trojuholníka, či sa zodpovedajúca trojica priamok pretína v jednom bode alebo nie. Univerzálny stav, ktorý „uzatvoril“ tento problém, našiel v roku 1678 taliansky inžinier Giovanni Ceva. Definícia. Úsečky spájajúce vrcholy trojuholníka s bodmi na opačných stranách (alebo ich predĺženia) sa nazývajú ceviany, ak sa pretínajú v jednom bode. Existujú dve možné polohy pre cevian. V jednom variante je priesečník vnútorný a konce cevianov ležia na stranách trojuholníka. V druhej možnosti je priesečník vonkajší, koniec jedného cevianu leží na boku a konce ďalších dvoch cevianov ležia na predĺženiach strán (pozri výkresy). Veta 3. (Chevova priama veta) V ľubovoľnom trojuholníku ABC sú na stranách BC, CA, AB alebo ich predĺženiach vzaté body A1, B1, C1 tak, že priamky AA1, BB1, CC1 sa pretínajú v nejakom spoločnom bod, potom BA1 CB1 AC1   1 CA1 AB1 BC1 . Dôkaz: Existuje niekoľko originálnych dôkazov Cevovej vety, my budeme uvažovať o dôkaze založenom na dvojitej aplikácii Menelaovej vety. Vzťah Menelaovej vety napíšeme prvý raz pre trojuholník ABB1 a sečnicu CC1 (priesečník cevianov označíme Z): AC1 BZ B1C    1, C1B ZB1 CA a druhýkrát pre trojuholník B1BC a sečna AA1: B1Z BA1 ​​​​CA    1. ZB A1C AB1 Vynásobením týchto dvoch pomerov a vykonaním potrebných redukcií dostaneme pomer obsiahnutý vo výroku vety. Veta 4. (Cevova konverzná veta). Ak pre body A1, B1 a C1 zvolené na stranách trojuholníka ABC alebo ich predĺženiach je Chevova podmienka splnená: BA1 CB1 AC1   1 CA1 AB1 BC1, potom sa priamky AA1, BB1 a CC1 pretínajú v jednom bode. Dôkaz tejto vety sa uskutočňuje protirečením, rovnako ako dôkaz Menelaovej vety. Uvažujme o príkladoch aplikácie Cevových priamych a inverzných viet. Príklad 3. Dokážte, že stredy trojuholníka sa pretínajú v jednom bode. Riešenie. Uvažujme vzťah AC1 BA1 CB1   C1B A1C B1 A pre vrcholy trojuholníka a stredy jeho strán. Je zrejmé, že v každom zlomku majú čitateľ a menovateľ rovnaké segmenty, takže všetky tieto zlomky sa rovnajú jednej. V dôsledku toho je Chevov vzťah splnený, preto sa podľa opačnej vety mediány pretínajú v jednom bode. Úlohy na samostatné riešenie Tu navrhnuté úlohy sú testovou prácou č.1 pre žiakov 9. ročníka. Vyriešte tieto úlohy, riešenia si zapíšte do samostatného zošita (z fyziky a informatiky). Na obale uveďte nasledujúce informácie o sebe: 1. Priezvisko, meno, trieda, profil triedy (napríklad: Vasilij Pupkin, 9. ročník, matematika) 2. PSČ, adresa bydliska, e-mail (ak existuje), telefón ( domov alebo mobil) ) 3. Informácie o škole (napríklad: MBOU č. 1, Bikin village) 4. Priezvisko, celé meno učiteľa matematiky (napríklad: učiteľka matematiky Petrova M.I.) Odporúča sa vyriešiť aspoň štyri úlohy. M 9.1.1. Môže sečna z Menelaovej vety rozrezať strany trojuholníka (alebo ich predĺženia) na segmenty dĺžky: a) 3, 3, 5, 7, 10, 14; c) 3, 5, 6, 7, 7, 10, Ak sú takéto možnosti možné, uveďte príklady. Segmenty môžu ísť v rôznom poradí. M 9.1.2. Môže vnútorné ceviany trojuholníka rozdeliť jeho strany na segmenty: a) 3, 3, 5, 7, 10, 14; c) 3, 5, 6, 7, 7, 10, Ak sú takéto možnosti možné, uveďte príklady. Segmenty môžu ísť v rôznom poradí. Pomôcka: pri vymýšľaní príkladov nezabudnite skontrolovať, či trojuholník nie je identický. M 9.1.3. Pomocou Cevovej konverznej vety dokážte, že: a) osi trojuholníka sa pretínajú v jednom bode; b) úsečky spájajúce vrcholy trojuholníka s bodmi na opačných stranách, v ktorých sa tieto strany dotýkajú vpísanej kružnice, sa pretínajú v jednom bode. Pokyny: a) zapamätajte si, v akom pomere delí os opačnú stranu; b) použite vlastnosť, že úsečky dvoch dotyčníc nakreslených z jedného bodu do určitej kružnice sú rovnaké. M 9.1.4. Dokončite dôkaz Menelaovej vety, ktorý začal v prvej časti článku. M 9.1.5. Dokážte, že výšky trojuholníka sa pretínajú v jednom bode pomocou Cevovej konverznej vety. M 9.1.6. Dokážte Simpsonovu vetu: z ľubovoľného bodu M na kružnici opísanej trojuholníku ABC padajú kolmice na strany alebo predĺženia strán trojuholníka, dokážte, že základne týchto kolmíc ležia na tej istej priamke. Pomôcka: Použite opak Menelaovej vety. Pokúste sa vyjadriť dĺžky úsečiek použitých vo vzťahoch pomocou dĺžok kolmic nakreslených z ich bodu M. Je tiež užitočné pripomenúť si vlastnosti uhlov vpísaného štvoruholníka.

Menelaova veta alebo úplná štvoruholníková veta je známa už od čias starovekého Grécka. Svoje meno dostala na počesť svojho autora, starogréckeho matematika a astronóma. Menelaos Alexandrijský(okolo roku 100 nášho letopočtu). Táto veta je veľmi krásna a jednoduchá, ale nanešťastie sa jej v moderných školských kurzoch nevenuje náležitá pozornosť. Zároveň v mnohých prípadoch pomáha veľmi jednoducho a elegantne riešiť pomerne zložité geometrické úlohy.

Veta 1 (Menelaova veta). Nech ∆ABC pretína priamka, ktorá nie je rovnobežná so stranou AB a pretína jej dve strany AC a BC v bodoch F a E, a priamka AB v bode D (obr. 1),

potom A F FC * CE EB * BD DA = 1

Poznámka. Aby ste si tento vzorec ľahko zapamätali, môžete použiť nasledujúce pravidlo: pohybujte sa pozdĺž obrysu trojuholníka z vrcholu do priesečníka s čiarou a z priesečníka do ďalšieho vrcholu.

Dôkaz. Z vrcholov A, B, C trojuholníka nakreslíme tri rovnobežné priamky, až kým sa nepretnú so sečnou. Získame tri páry podobných trojuholníkov (znak podobnosti v dvoch uhloch). Z podobnosti trojuholníkov vyplývajú nasledujúce rovnosti:

Teraz vynásobme tieto výsledné rovnosti:

Veta bola dokázaná.

Aby sme pocítili krásu tejto vety, pokúsme sa vyriešiť geometrický problém navrhnutý nižšie dvoma rôznymi spôsobmi: pomocou pomocnej konštrukcie a s pomocou Menelaova veta.

Úloha 1.

V ∆ABC delí os AD stranu BC v pomere 2 : 1. V akom pomere delí stredný stred CE túto os?

Riešenie.

Použitie pomocnej konštrukcie:

Nech S je priesečník osi AD a mediánu CE. Zostavme ∆ASB na rovnobežník ASBK. (obr. 2)

Je zrejmé, že SE = EK, pretože priesečník rovnobežníka pretína uhlopriečky. Uvažujme teraz trojuholníky ∆CBK a ∆CDS. Je ľahké vidieť, že sú podobné (znak podobnosti v dvoch uhloch: a ako vnútorné jednostranné uhly s rovnobežnými čiarami AD a KB a sečnicou CB). Z podobnosti trojuholníka vyplýva:

Pomocou podmienky dostaneme:

CB CD = CD + DB CD = CD + 2CD CB = 3CD CD = 3

Teraz si všimnite, že KB = AS, ako opačné strany rovnobežníka. Potom

AS SD = KB SD = CB CD = 3

Použitie Menelaovej vety.

Uvažujme ∆ABD a aplikujme naň Menelaovu vetu (priamka prechádzajúca bodmi C, S, E je sečnicou):

BE EA * AS SD * DC CB = 1

Podľa podmienok vety máme BE/EA = 1, keďže CE je medián, a DC/CB = 1/3, ako sme už predtým vypočítali.

1 * AS SD * 1 3 = 1

Odtiaľ dostaneme AS/SD = 3 Obe riešenia sú na prvý pohľad celkom kompaktné a približne rovnocenné. Myšlienka dodatočnej konštrukcie pre školákov sa však často ukazuje ako veľmi zložitá a vôbec nie zrejmá, zatiaľ čo, keď pozná Menelaovu vetu, musí ju len správne aplikovať.

Uvažujme o ďalšom probléme, v ktorom veľmi elegantne funguje Menelaova veta.

Úloha 2.

Na stranách AB a BC ∆ABC sú dané body M a N tak, že platia nasledujúce rovnosti:

AM MB = CN NA = 1 2

V akom pomere delí priesečník S segmentov BN a CM každý z týchto segmentov (obr. 3)?

Riešenie.

Uvažujme ∆ABN. Aplikujme na tento trojuholník Menelaovu vetu (priamka prechádzajúca bodmi M, S, C je sečnicou)

AM MB * BC SN * CN CA = 1

Z problémových podmienok máme: AM MB = 1 2

NC CA = NC CN + NA = NC CN + 2NC = NC 3 NC = 1 3

Nahradíme tieto výsledky a získame:

1 2 * BS SN * 1 3 = 1

Preto BS/SN = 6. A preto bod S priesečníka segmentov BN a CM rozdeľuje segment BN v pomere 6:1.

Uvažujme ∆ACM. Aplikujme na tento trojuholník Menelaovu vetu (priamka prechádzajúca bodmi N, S, B je sečnicou):

AN NC * CS SM * MB BA = 1

Z problémových podmienok máme: AN NC = 2

MB BA = MB BM + MA = 2 MA 2 MA + MA = 2 MB 3 MA = 2 3

Nahradíme tieto výsledky a získame:

2 * CS SM * 2 3 = 1

Preto CS/SM = 3/4

A preto bod S priesečníka segmentov BN a CM rozdeľuje segment CM v pomere 3: 4.

Platí aj opačná veta k Menelaovej vete. Často sa ukáže, že je to ešte užitočnejšie. Funguje to obzvlášť dobre v problémoch s dôkazmi. Často sa s jeho pomocou dajú krásne, jednoducho a rýchlo vyriešiť aj úlohy z olympiády.

Veta 2(Obrátená Menelaova veta). Nech je daný trojuholník ABC a body D, E, F patria k priamkam BC, AC, AB (všimnite si, že môžu ležať na stranách trojuholníka ABC aj na ich predĺženiach) (obr. 4).

Potom, ak AF FC * CE EB * BD DA = 1

potom body D, E, F ležia na tej istej priamke.

Dôkaz. Dokážme vetu kontradikciou. Predpokladajme, že vzťah z podmienok vety je splnený, ale bod F neleží na priamke DE (obr. 5).

Priesečník priamok DE a AB označme písmenom O. Teraz použijeme Menelaovu vetu a dostaneme: AE EC * CD DB * BO OA = 1

Ale na druhej strane rovnosť BF FA = BO OA

nemožno vykonať.

Preto vzťah z podmienok vety nemôže byť splnený. Máme rozpor.

Veta bola dokázaná.

webová stránka, pri kopírovaní celého materiálu alebo jeho časti je potrebný odkaz na zdroj.

Kurz geometrie obsahuje vety, ktoré sa v škole neštudujú dostatočne podrobne, ale ktoré môžu byť užitočné pri riešení najzložitejších problémov Jednotnej štátnej skúšky a Jednotnej štátnej skúšky. Patrí medzi ne napríklad Menelaova veta. Tradične sa študuje v triedach s hĺbkovým štúdiom matematiky v 8. ročníku a v bežnom programe (podľa Atanasyanovej učebnice) je Menelaova veta zaradená do učebnice pre ročníky 10-11.
Medzitým výsledok štúdia internetových zdrojov, ktoré spomínajú Menelaovu vetu, ukazuje, že je zvyčajne formulovaná neúplne, a teda nepresne, a nie sú uvedené všetky prípady jej použitia, ako aj dôkaz opačnej vety. Účelom tohto článku je pochopiť, čo je Menelaova veta, ako a prečo sa používa, a tiež zdieľať metodiku výučby tejto vety na individuálnych lekciách tútora so študentmi.
Zoberme si typický problém (Úloha č. 26, OGE), ktorý sa na skúškach objavuje v mnohých variantoch, líšia sa len číslami v podmienke.

Samotné riešenie problému je jednoduché – nájdete ho nižšie. V tomto článku nás zaujíma hlavne trochu iný bod, ktorý sa často vynecháva a berie ako samozrejmosť. Ale je zrejmé, čo sa dá dokázať. A to sa dá dokázať rôznymi spôsobmi - zvyčajne sa dokazujú výlučne pomocou podobnosti - ale možno to urobiť aj pomocou Menelaovej vety.
Z podmienky vyplýva, že keďže súčet uhlov na spodnej základni lichobežníka je 90°, tak ak predĺžite strany, dostanete pravouhlý trojuholník. Ďalej z výsledného priesečníka predĺžení bočných strán nakreslite segment, ktorý prechádza stredom základov. Prečo tento segment prechádza cez všetky tieto tri body? Riešenia problému nájdené na internete o tom zvyčajne nehovoria ani slovo. Neexistuje ani odkaz na štvorbodovú vetu o lichobežníku, nieto dôkaz tohto tvrdenia. Medzitým sa to dá dokázať pomocou Menelaovej vety, ktorá je podmienkou, aby tri body patrili do jednej priamky.

Formulácie Menelaovej vety
Je čas sformulovať vetu. Treba poznamenať, že v rôznych učebniciach a príručkách sú jeho formulácie značne odlišné, hoci podstata zostáva nezmenená. V učebnici od Atanasyana a kol. pre ročníky 10-11 je uvedená nasledujúca formulácia Menelaovej vety, nazvime ju „vektorová“:

V učebnici „Geometry grades 10-11“ od Aleksandrova a kol., ako aj v učebnici od tých istých autorov „Geometria. 8. ročník“ poskytuje mierne odlišnú formuláciu Menelaovej vety a je rovnaká pre oba ročníky 10-11 a ročník 8:
Tu je potrebné urobiť tri poznámky.
Poznámka 1. Na vyšetreniach nie sú žiadne problémy, ktoré je potrebné riešiť len pomocou vektorov, pre ktoré sa používa „mínus jedna“. Preto je pre praktické použitie najvhodnejšia formulácia, ktorá je v podstate dôsledkom vety pre segmenty (toto je druhá formulácia, zvýraznená tučným písmom). Obmedzíme sa na to pri ďalšom štúdiu Menelaovej vety, pretože naším cieľom je naučiť sa ju aplikovať na riešenie problémov.
Poznámka 2. Napriek tomu, že všetky učebnice jasne stanovujú prípad, keď všetky tri body A 1, B 1 a C 1 môžu ležať na predĺženiach strán trojuholníka (alebo na priamkach obsahujúcich strany trojuholníka), na na viacerých doučovacích stránkach na internete sa formuluje iba prípad, keď dva body ležia na dvoch stranách a tretí leží na pokračovaní tretej strany. To možno len ťažko ospravedlniť tým, že pri skúškach sa stretávame len s problémami prvého typu a problémy sa nedajú naraziť, keď všetky tieto body ležia na predĺženiach troch strán.
Poznámka 3. Obrátená veta, t.j. podmienka, aby tri body ležali na jednej priamke, sa väčšinou vôbec neberie do úvahy a niektorí tútori dokonca radia (???) študovať iba priamu vetu a neuvažovať inverznú vetu. Dôkaz opačného tvrdenia je dosť poučný a umožňuje vám dokázať tvrdenia podobné tým, ktoré sú uvedené v riešení úlohy 1. Skúsenosti s dokazovaním opačnej vety nepochybne poskytnú študentovi hmatateľné výhody pri riešení problémov.

Kresby a vzory

Aby sa študent naučil vidieť Menelaovu vetu v problémoch a používať ju pri rozhodovaní, je dôležité venovať pozornosť obrázkom a vzorom pri písaní vety pre konkrétny prípad. A keďže samotná veta je vo svojej „čistej“ forme, t.j. bez obklopenia inými úsečkami, strany rôznych útvarov sa zvyčajne v problémoch nenachádzajú, potom je vhodnejšie ukázať vetu na konkrétnych problémoch. A ak ukážete kresby ako vysvetlenie, urobte ich viacrozmernými. V tomto prípade zvýraznite jednou farbou (napríklad červenou) priamku, ktorá je tvorená tromi bodmi, a modrou - segmenty trojuholníka, ktoré sa podieľajú na písaní Menelaovej vety. V tomto prípade tie prvky, ktoré sa nezúčastnia, zostanú čierne:

Na prvý pohľad sa môže zdať, že formulácia vety je pomerne zložitá a nie vždy zrozumiteľná; napokon ide o tri zlomky. V skutočnosti, ak študent nemá dostatok skúseností, môže sa ľahko pomýliť v písaní a v dôsledku toho problém vyriešiť nesprávne. A tu niekedy začínajú problémy. Ide o to, že učebnice sa väčšinou nezameriavajú na to, ako sa pri písaní vety „obísť“. O zákonoch zaznamenávania samotnej vety sa nič nehovorí. Preto niektorí lektori dokonca kreslia rôzne šípky, ktoré označujú poradie, v ktorom má byť vzorec napísaný. A žiadajú študentov, aby prísne dodržiavali takéto pokyny. To je čiastočne správne, ale je oveľa dôležitejšie pochopiť podstatu vety, ako ju zapísať čisto mechanicky pomocou „pravidla obídenia“ a šípok.
V skutočnosti je dôležité iba pochopiť logiku „obchvatu“ a je taká presná, že nie je možné urobiť chybu pri písaní vzorca. V oboch prípadoch a) aj b) napíšeme vzorec pre trojuholník AMC.
Najprv si definujeme tri body - vrcholy trojuholníka. Pre nás sú to body A, M, C. Potom určíme body ležiace na priesečníku (červená čiara), to sú B, P, K. „Pohyb“ začíname od vrcholu trojuholníka napr. z bodu C. Od tohto bodu „prejdeme "do bodu, ktorý je tvorený priesečníkom napr. strany AC a priesečníkom - pre nás je to bod K. Do čitateľa prvého zlomku zapíšeme - SK . Potom z bodu K „prejdeme“ do zvyšného bodu na priamke AC – do bodu A. Do menovateľa prvého zlomku napíšeme KA. Keďže bod A tiež patrí k čiare AM, robíme to isté so segmentmi na čiare AM. A tu opäť začíname od vrcholu, potom „ideme“ do bodu na priesečníku, po ktorom sa presunieme do vrcholu M. „Keď sme sa ocitli“ na priamke BC, urobíme to isté so segmentmi na tento riadok. Z M „ideme“ samozrejme do B, potom sa vrátime do C. Túto „obchádzku“ je možné urobiť v smere alebo proti smeru hodinových ručičiek. Dôležité je len porozumieť pravidlu prechodu – z vrcholu do bodu na priamke a z bodu na priamke do iného vrcholu. Zhruba takto sa zvyčajne vysvetľuje pravidlo pre zápis súčinu zlomkov. Výsledkom je:
Upozorňujeme, že celá „obchádzka“ sa odráža v zázname a pre pohodlie je znázornená šípkami.
Výsledný záznam je však možné získať bez vykonania akéhokoľvek „prechádzania“. Po zapísaní bodov - vrcholov trojuholníka (A, M, C) a bodov - ležiacich na priesečníku (B, P, K), zapíšte aj trojice písmen označujúce body ležiace na každom z troch linky. V našich prípadoch sú to I) B, M, C; II) A, P, M a III) A, C, K. Potom je možné napísať správnu ľavú stranu vzorca bez toho, aby ste sa pozreli na výkres a v akomkoľvek poradí. Stačí, aby sme z každého troch písmen, ktoré dodržiavajú pravidlo, napísali skutočné zlomky - zvyčajne sú „stredné“ písmená bodmi pretínajúcej sa čiary (červená). Zvyčajne sú „vonkajšie“ písmená bodmi vrcholov trojuholníka (modré). Pri písaní vzorca týmto spôsobom stačí dbať na to, aby sa každé „modré“ písmeno (vrchol trojuholníka) objavilo raz v čitateli aj v menovateli, napr.
Táto metóda je užitočná najmä pre prípady typu b), ako aj pre samotestovanie.

Menelaova veta. Dôkaz
Existuje niekoľko rôznych spôsobov, ako dokázať Menelaovu vetu. Niekedy to dokazujú pomocou podobnosti trojuholníkov, pre ktoré je z bodu M nakreslená úsečka rovnobežná s AC (ako na tomto výkrese). Iní nakreslia ďalšiu čiaru, ktorá nie je rovnobežná s pretínajúcou sa čiarou, a potom sa zdá, že pomocou priamych čiar rovnobežných s priesečníkom „premietnu“ všetky potrebné segmenty na túto čiaru a pomocou zovšeobecnenia Thalesovej vety (t.j. veta o proporcionálnych segmentoch), odvodzujte vzorec. Azda najjednoduchší spôsob dôkazu sa však získa nakreslením priamky z bodu M rovnobežnej s pretínajúcou sa čiarou. Dokážme Menelaovu vetu týmto spôsobom.
Dané: Triangle ABC. Priamka PK pretína strany trojuholníka a pokračovanie strany MC v bode B.
Dokážte, že platí rovnosť:
Dôkaz. Nakreslíme lúč MM 1 rovnobežný s BK. Zapíšme si vzťahy, na ktorých sa podieľajú segmenty, ktoré sú zahrnuté vo vzorci Menelaovej vety. V jednom prípade uvažujme priamky pretínajúce sa v bode A a v druhom prípade pretínajúce sa v bode C. Vynásobme ľavú a pravú stranu týchto rovníc:

Veta bola dokázaná.
Veta je dokázaná podobne pre prípad b).

Z bodu C nakreslíme úsečku CC 1 rovnobežnú s priamkou BK. Zapíšme si vzťahy, na ktorých sa podieľajú segmenty, ktoré sú zahrnuté vo vzorci Menelaovej vety. V jednom prípade uvažujme priamky pretínajúce sa v bode A a v druhom prípade pretínajúce sa v bode M. Keďže Thalesova veta nehovorí nič o umiestnení úsečiek na dvoch pretínajúcich sa priamkach, úsečky môžu byť umiestnené na opačných stranách bodu M. Preto

Veta bola dokázaná.

Teraz dokážme opačnú vetu.
Vzhľadom na to:
Dokážte, že body B, P, K ležia na tej istej priamke.
Dôkaz. Nech priamka BP pretína AC v nejakom bode K 2, ktorý sa nezhoduje s bodom K. Keďže BP je priamka obsahujúca bod K 2 , platí pre ňu práve dokázaná Menelaova veta. Tak jej to napíšeme
To sme však práve dokázali
Z toho vyplýva, že body K a K 2 sa zhodujú, pretože rozdeľujú stranu AC v rovnakom pomere.
Pre prípad b) sa veta dokazuje podobným spôsobom.

Riešenie úloh pomocou Menelaovej vety

Najprv sa vráťme k problému 1 a vyriešme ho. Prečítajme si to ešte raz. Urobme si kresbu:

Daný lichobežník ABCD. ST - stredná čiara lichobežníka, t.j. jednu z daných vzdialeností. Súčet uhlov A a D je 90°. Predĺžime strany AB a CD a na ich priesečníku dostaneme bod K. Spojíme bod K s bodom N - stred BC. Teraz dokážeme, že bod P, ktorý je stredom základne AD, tiež patrí do priamky KN. Uvažujme postupne trojuholníky ABD a ACD. Dve strany každého trojuholníka pretína priamka KP. Predpokladajme, že priamka KN pretína základňu AD v určitom bode X. Podľa Menelaovej vety:
Keďže trojuholník AKD je pravouhlý, bod P, ktorý je stredom prepony AD, je rovnako vzdialený od bodov A, D a K. Podobne aj bod N je rovnako vzdialený od bodov B, C a K. Kde sa jedna základňa rovná 36 a druhá 2.
Riešenie. Zvážte trojuholník BCD. Pretína ho lúč AX, kde X je priesečník tohto lúča s predĺžením strany BC. Podľa Menelaovej vety:
Nahradením (1) za (2) dostaneme:

Riešenie. Označme písmenami S 1 , S 2 , S 3 a S 4 plochy trojuholníkov AOB, AOM, BOK a štvoruholníka MOKC.

Keďže BM je medián, potom S ABM = S BMC.
To znamená S1 + S2 = S3 + S4.
Keďže potrebujeme nájsť pomer plôch S 1 a S 4, obe strany rovnice vydelíme S 4:
Nahraďte tieto hodnoty do vzorca (1): Z trojuholníka BMC so sečnicou AK podľa Menelaovej vety máme: Z trojuholníka AKC so sečnicou BM podľa Menelaovej vety máme: Všetky potrebné vzťahy sú vyjadrené prostredníctvom k a teraz ich môžete nahradiť výrazom (2):
Riešenie tohto problému pomocou Menelaovej vety je diskutované na stránke.

Poznámka učiteľa matematiky. Aplikácia Menelaovej vety v tomto probléme je práve ten prípad, keď vám táto metóda umožňuje výrazne ušetriť čas na skúške. Túto úlohu ponúka demo verzia prijímacej skúšky na Lýceum na Vysokej škole ekonomickej pre 9. ročník (2019).

© Doučovateľ matematiky v Moskve, Alexander Anatolyevich, 8-968-423-9589.

Rozhodnite sa sami

1) Úloha je jednoduchšia. Na strednej BD trojuholníka ABC je vyznačený bod M tak, že BM: MD = m: n. Čiara AM pretína stranu BC v bode K.
Nájdite pomer BK:KC.
2) Úloha je náročnejšia. Osa uhla A rovnobežníka ABCD pretína stranu BC v bode P a uhlopriečku BD v bode T. Je známe, že AB: AD = k (0 3) Úloha č.26 OGE. V trojuholníku ABC sú os BE a strednica AD kolmé a majú rovnakú dĺžku rovnajúcu sa 36. Nájdite strany trojuholníka ABC.
Tip učiteľa matematiky. Na internete sa dá nájsť riešenie takéhoto problému pomocou dodatočnej konštrukcie a potom buď podobnosti alebo nájdenia oblastí a až potom strán trojuholníka. Tie. obe tieto metódy vyžadujú dodatočnú konštrukciu. Riešenie takéhoto problému pomocou vlastnosti osy a Menelaovej vety si však nevyžaduje žiadne ďalšie konštrukcie. Je to oveľa jednoduchšie a racionálnejšie.

A.V. Shevkin

FMS č. 2007

Chevove a Menelaove vety o jednotnej štátnej skúške

Na našej stránke v sekcii ČLÁNKY bol uverejnený podrobný článok „O Ceva a Menelausových vetách“. Je určená učiteľom matematiky a stredoškolským študentom, ktorí sú motivovaní zdokonaliť sa v matematike. Ak chcete problematike porozumieť podrobnejšie, môžete sa k nej vrátiť. V tejto poznámke uvedieme stručné informácie z uvedeného článku a rozoberieme riešenia problémov zo zbierky na prípravu na Jednotnú štátnu skúšku 2016.

Ceva teorém

Nech je daný trojuholník ABC a po jeho stranách AB, B.C. A A.C. označené body C 1 , A 1 A B 1 podľa toho (obr. 1).

a) Ak segmenty AA 1 , BB 1 a CC 1 sa potom pretínajú v jednom bode

b) Ak platí rovnosť (1), potom segmenty AA 1 , BB 1 a CC 1 sa pretínajú v jednom bode.

Obrázok 1 ukazuje prípad, keď segmenty AA 1 , BB 1 a CC 1 sa pretínajú v jednom bode vnútri trojuholníka. Ide o takzvaný vnútorný bodový prípad. Ceva teorém platí aj v prípade vonkajšieho bodu, keď jeden z bodov A 1 , B 1 alebo S 1 patrí strane trojuholníka a ďalšie dve patria predĺženiam strán trojuholníka. V tomto prípade priesečník segmentov AA 1 , BB 1 a CC 1 leží mimo trojuholníka (obr. 2).

Ako si zapamätať Chevovu rovnosť?

Venujme pozornosť technike zapamätania si rovnosti (1). Vrcholy trojuholníka v každej relácii a samotné vzťahy sa zapisujú v smere prechodu cez vrcholy trojuholníka ABC, počnúc bodom A. Z bodu A poďme k veci B, pointu spĺňame S 1, napíš zlomok
. Ďalej od veci IN poďme k veci S, pointu spĺňame A 1, napíš zlomok
. Nakoniec od veci S poďme k veci A, pointu spĺňame IN 1, napíš zlomok
. V prípade externého bodu je poradie zápisu zlomkov zachované, hoci dva „deliace body“ segmentu sú mimo svojich segmentov. V takýchto prípadoch hovoria, že bod rozdeľuje segment navonok.

Všimnite si, že sa nazýva každý segment spájajúci vrchol trojuholníka s ktorýmkoľvek bodom na priamke obsahujúcej opačnú stranu trojuholníka ceviana.

Uvažujme niekoľko spôsobov, ako dokázať tvrdenie a) Cevovej vety pre prípad vnútorného bodu. Aby ste dokázali Cevovu vetu, musíte dokázať tvrdenie a) ktoroukoľvek z metód navrhovaných nižšie a tiež dokázať tvrdenie b). Dôkaz tvrdenia b) sa uvádza za prvým spôsobom preukazovania tvrdenia a). Podobne sa vykonáva dôkaz Cevovej vety pre prípad externého bodu.

Dôkaz výroku a) Cevovej vety pomocou vety o proporcionálnom segmente

Nechajte tri ceviány AA 1 , BB 1 a CC 1 sa pretínajú v bode Z vnútri trojuholníka ABC.

Myšlienkou dôkazu je nahradiť vzťahy segmentov z rovnosti (1) vzťahmi segmentov ležiacich na tej istej čiare.

Cez bod IN Nakreslíme priamku rovnobežnú s cevianom SS 1. Rovno AA 1 pretína zostrojenú čiaru v bode M, a priamka prechádzajúca bodom C a paralelne AA 1 , - v bode T. Cez bodky A A S nakreslíme rovné čiary rovnobežné s cevianom BB 1. Prekročia hranicu VM v bodoch N A R podľa toho (obr. 3).

P o vete o proporcionálnych segmentoch máme:

,
A
.

Potom sú tie rovnosti pravdivé

.

V paralelogramoch ZСTM A ZCRB segmentov TM, СZ A BR rovnaké ako protiľahlé strany rovnobežníka. teda
a rovnosť je pravdivá

.

Na dôkaz tvrdenia b) používame nasledujúce tvrdenie. Ryža. 3

Lema 1. Ak body S 1 a S 2 rozdeliť segment AB interne (alebo externe) v rovnakom vzťahu, počítajúc od toho istého bodu, potom sa tieto body zhodujú.

Dokážme lemu pre prípad, keď body S 1 a S 2 rozdeliť segment AB vnútorne v rovnakom vzťahu:
.

Dôkaz. Z rovnosti
nasleduje rovnosť
A
. Posledný z nich je uspokojený len pod podmienkou, že S 1 B A S 2 B sú rovnaké, t.j. za predpokladu, že body S 1 a S 2 zápas.

Dôkaz lemy pre prípad, keď body S 1 a S 2 rozdeliť segment AB Vonkajšie sa to vykonáva podobne.

Dôkaz tvrdenia b) Cevovej vety

Nech je teraz rovnosť (1) pravdivá. Dokážme, že segmenty AA 1 , BB 1 a CC 1 sa pretínajú v jednom bode.

Nechajte Chevianov AA 1 a BB 1 sa pretínajú v bode Z, nakreslite segment cez tento bod CC 2 (S 2 leží na segmente AB). Potom na základe tvrdenia a) získame správnu rovnosť

. (2)

A Z porovnania rovnosti (1) a (2) usudzujeme, že
, teda bodov S 1 a S 2 rozdeliť segment AB v rovnakom vzťahu, počítajúc od toho istého bodu. Z Lemy 1 vyplýva, že body S 1 a S 2 zápas. To znamená, že segmenty AA 1 , BB 1 a CC 1 sa pretínajú v jednom bode, čo bolo potrebné dokázať.

Preukázateľne postup pri zápise rovnosti (1) nezávisí od toho, z ktorého bodu a ktorým smerom sa prechádzajú vrcholy trojuholníka.

Cvičenie 1. Nájdite dĺžku segmentu AN na obrázku 4, ktorý znázorňuje dĺžky ostatných segmentov.

Odpoveď. 8.

Úloha 2. Chevians A.M., BN, CK pretínajú v jednom bode vnútri trojuholníka ABC. Nájdite postoj
, Ak
,
. Ryža. 4

Odpoveď.
.

P Uvádzame dôkaz Cevovej vety z článku. Myšlienkou dôkazu je nahradiť vzťahy segmentov z rovnosti (1) vzťahmi segmentov ležiacich na rovnobežných čiarach.

Nechajte rovno AA 1 , BB 1 , CC 1 sa pretínajú v bode O vnútri trojuholníka ABC(obr. 5). Cez vrchol S trojuholník ABC nakreslíme rovnobežnú čiaru AB a jeho priesečníky s čiarami AA 1 , BB 1 označujeme zodpovedajúcim spôsobom A 2 , B 2 .

Z podobnosti dvoch párov trojuholníkov C.B. 2 B 1 A ABB 1 , BAA 1 A C.A. 2 A 1, Obr. 5

máme rovnosť

,
. (3)

Z podobnosti trojuholníkov BC 1 O A B 2 CO, AS 1 O A A 2 CO máme rovnosť
, z čoho vyplýva, že

. (4)

P Vynásobením rovnosti (3) a (4) dostaneme rovnosť (1).

Tvrdenie a) Cevovej vety bolo dokázané.

Uvažujme o dôkaze tvrdenia a) Cevovej vety pomocou plôch pre vnútorný bod. Uvádza sa v knihe A.G. Myakishev a spolieha sa na vyhlásenia, ktoré formulujeme vo forme úloh 3 A 4 .

Úloha 3. Pomer plôch dvoch trojuholníkov so spoločným vrcholom a základňami ležiacimi na tej istej priamke sa rovná pomeru dĺžok týchto základní. Dokážte toto tvrdenie.

Úloha 4. Dokážte, že ak
, To
A
. Ryža. 6

Nechajte segmenty AA 1 , BB 1 a CC 1 sa pretínajú v bode Z(obr. 6), potom

,
. (5)

A z rovnosti (5) a druhý výrok úlohy 4 z toho vyplýva
alebo
. Podobne to získame
A
. Vynásobením posledných troch rovnosti dostaneme:

,

t.j. rovnosť (1) je pravdivá, čo je potrebné dokázať.

Tvrdenie a) Cevovej vety bolo dokázané.

Úloha 15. Nechajte ceviany pretínať v jednom bode vnútri trojuholníka a rozdeľte ho na 6 trojuholníkov, ktorých obsahy sú rovnaké S 1 , S 2 , S 3 , S 4 , S 5 , S 6 (obr. 7). Dokáž to. Ryža. 7

Úloha 6. Nájdite oblasť S trojuholník CNZ(plochy ostatných trojuholníkov sú znázornené na obrázku 8).

Odpoveď. 15.

Úloha 7. Nájdite oblasť S trojuholník CNO, ak je plocha trojuholníka ANIE rovná sa 10 a
,
(obr. 9).

Odpoveď. 30.

Úloha 8. Nájdite oblasť S trojuholník CNO, ak je plocha trojuholníka AB.C. rovná sa 88 a ,
(obr. 9).

R rozhodnutie. Od , označujeme
,
. Pretože , potom označíme
,
. Z Cevovej vety to vyplýva
, a potom
. Ak
, To
(obr. 10). Máme tri neznáme množstvá ( X, r A S), teda nájsť S Zostavme tri rovnice.

Pretože
, To
= 88. Odkedy
, To
, kde
. Pretože
, To
.

takže,
, kde
. Ryža. 10

Úloha 9. V trojuholníku ABC bodov K A L patria jednotlivým stranám AB A BC.
,
. P AL A CK. Oblasť trojuholníka PBC sa rovná 1. Nájdite obsah trojuholníka ABC.

Odpoveď. 1,75.

T Menelaova veta

Nech je daný trojuholník ABC a po jeho stranách A.C. A CB označené body B 1 a A 1 v súlade s tým a na strane pokračovania AB označený bod C 1 (obr. 11).

a) Ak body A 1 , B 1 a S 1 ležte na rovnakej priamke

. (6)

b) Ak platí rovnosť (7), potom body A 1 , B 1 a S 1 leží na rovnakej priamke. Ryža. jedenásť

Ako si zapamätať Menelaovu rovnosť?

Technika zapamätania si rovnosti (6) je rovnaká ako pri rovnosti (1). Vrcholy trojuholníka v každej relácii a samotné vzťahy sa zapisujú v smere prechodu cez vrcholy trojuholníka ABC- od vrcholu k vrcholu, prechádzajúci bodmi delenia (vnútornými alebo vonkajšími).

Úloha 10. Dokážte, že zapísanie rovnosti (6) z ktoréhokoľvek vrcholu trojuholníka v akomkoľvek smere vedie k rovnakému výsledku.

Aby ste dokázali Menelaovu vetu, musíte dokázať tvrdenie a) ktoroukoľvek z metód navrhovaných nižšie a tiež dokázať tvrdenie b). Dôkaz tvrdenia b) sa uvádza za prvým spôsobom preukazovania tvrdenia a).

Dôkaz tvrdenia a) pomocou vety o proporcionálnom segmente

jaspôsobom. a) Myšlienkou dôkazu je nahradiť pomery dĺžok segmentov v rovnosti (6) pomermi dĺžok segmentov ležiacich na tej istej čiare.

Nechajte body A 1 , B 1 a S 1 leží na rovnakej priamke. Cez bod C urobme si prím l, rovnobežne s čiarou A 1 B 1, pretína priamku AB v bode M(obr. 12).

R
je. 12

Podľa vety o proporcionálnych segmentoch máme:
A
.

Potom sú tie rovnosti pravdivé
.

Dôkaz tvrdenia b) Menelaovej vety

Teraz nech je rovnosť (6) pravdivá, dokážme, že body A 1 , B 1 a S 1 leží na rovnakej priamke. Nechajte rovno AB A A 1 B 1 sa pretínajú v bode S 2 (obr. 13).

Od bodov A 1 B 1 a S 2 ležia na tej istej priamke, potom podľa výroku a) Menelaovej vety

. (7)

Z porovnania rovnosti (6) a (7) máme
, z čoho vyplýva, že rovnosti sú pravdivé

,
,
.

Posledná rovnosť platí len vtedy, ak
, teda ak body S 1 a S 2 zápas.

Tvrdenie b) Menelaovej vety bolo dokázané. Ryža. 13

Dôkaz tvrdenia a) pomocou podobnosti trojuholníkov

Myšlienkou dôkazu je nahradiť pomery dĺžok segmentov z rovnosti (6) pomermi dĺžok segmentov ležiacich na rovnobežných čiarach.

Nechajte body A 1 , B 1 a S 1 leží na rovnakej priamke. Z bodov A, B A C nakreslíme kolmice AA 0 , BB 0 a SS 0 k tejto priamke (obr. 14).

R
je. 14

Z podobnosti troch párov trojuholníkov A.A. 0 B 1 A CC 0 B 1 , CC 0 A 1 A BB 0 A 1 , C 1 B 0 B A C 1 A 0 A(v dvoch uhloch) máme správne rovnosti

,
,
,

ich vynásobením dostaneme:

.

Výrok a) Menelaovej vety je dokázaný.

Dôkaz tvrdenia a) pomocou plôch

Myšlienkou dôkazu je nahradiť pomer dĺžok segmentov z rovnosti (7) pomermi plôch trojuholníkov.

Nechajte body A 1 , B 1 a S 1 leží na rovnakej priamke. Spojme bodky C A C 1. Označme plochy trojuholníkov S 1 , S 2 , S 3 , S 4 , S 5 (obr. 15).

Potom sú tie rovnosti pravdivé

,
,
. (8)

Vynásobením rovnosti (8) dostaneme:

Výrok a) Menelaovej vety je dokázaný.

R
je. 15

Tak ako platí Cevova veta, ak je priesečník Cevianov mimo trojuholníka, Menelaova veta zostáva v platnosti, ak sečna pretína len predĺženia strán trojuholníka. V tomto prípade môžeme hovoriť o priesečníku strán trojuholníka vo vonkajších bodoch.

Doklad o tvrdení a) pre prípad vonkajších bodov

P sečna pretína strany trojuholníka ABC vo vonkajších bodoch, t.j. pretína predĺženia strán AB,B.C. A A.C. v bodoch C 1 , A 1 a B 1 a tieto body ležia na rovnakej priamke (obr. 16).

Podľa vety o proporcionálnych segmentoch máme:

A .

Potom sú tie rovnosti pravdivé

Výrok a) Menelaovej vety je dokázaný. Ryža. 16

Všimnite si, že vyššie uvedený dôkaz sa zhoduje s dôkazom Menelaovej vety pre prípad, keď sečna pretína dve strany trojuholníka vo vnútorných bodoch a jednu vo vonkajších.

Dôkaz tvrdenia b) Menelaovej vety pre prípad vonkajších bodov je podobný dôkazu uvedenému vyššie.

Z zadanie11. V trojuholníku ABC bodov A 1 , IN 1 ležať po stranách slnko A AS. P- priesečník segmentov AA 1 A BB 1 .
,
. Nájdite postoj
.

Riešenie. Označme
,
,
,
(obr. 17). Podľa Menelaovej vety pre trojuholník B.C.IN 1 a sekta PA 1 napíšeme správnu rovnosť:

,

odkiaľ z toho vyplýva

. Ryža. 17

Odpoveď. .

Z zadanie12 (MSU, korešpondenčné prípravné kurzy). V trojuholníku ABC, ktorého plocha je 6, na strane AB dobrá poznámka TO, zdieľanie tejto strany vo vzťahu
a na strane AC- bodka L, delenie AC vo vzťahu
. Bodka P priesečníky čiar SK A INL preč od priamky AB vo vzdialenosti 1,5. Nájdite dĺžku strany AB.

Riešenie. Z bodov R A S zhodíme kolmice PR A CM priamo AB. Označme
,
,
,
(obr. 18). Podľa Menelaovej vety pre trojuholník A.K.C. a sekant P.L. Zapíšme si správnu rovnosť:
, odkiaľ to máme
,
. Ryža. 18

Z podobnosti trojuholníkov TOM.C. A TOR.P.(v dvoch uhloch) to dostaneme
, z čoho vyplýva, že
.

Teraz, keď poznáme dĺžku výšky nakreslenej na stranu AB trojuholník ABC a oblasť tohto trojuholníka vypočítame dĺžku strany:
.

Odpoveď. 4.

Z zadanie13. Tri kruhy so stredmi A,IN,S, ktorých polomery súvisia ako
, navzájom sa v bodoch zvonka dotýkajte X, Y, Z ako je znázornené na obrázku 19. Segmenty AX A BY pretínajú v bode O. V akom ohľade, rátajúc od bodu B, úsečka CZ rozdeľuje segment BY?

Riešenie. Označme
,
,
(obr. 19). Pretože
, potom podľa tvrdenia b) Cevovej vety segmenty AX, BY A SZ pretínajú v jednom bode - bode O. Potom segment CZ rozdeľuje segment BY vo vzťahu
. Nájdime tento vzťah. Ryža. 19

Podľa Menelaovej vety pre trojuholník B.C.Y. a sekant VÔL máme:
, z čoho vyplýva, že
.

Odpoveď. .

Úloha 14 (Jednotná štátna skúška 2016).

Body IN 1 a S AC A AB trojuholník ABC, a AB 1:B 1 S =
= AC 1:S 1 B. Priamy BB 1 A SS 1 pretínajú v bode O.

A ) Dokážte, že riadok JSC rozpolí stranu Slnko.

AB 1 O.C. 1 do oblasti trojuholníka ABC, ak je to známe AB 1:B 1 S = 1:4.

Riešenie. a) Nech je to priamka A.O. prekračuje stranu B.C. v bode A 1 (obr. 20). Podľa Cevovej vety máme:

. (9)

Pretože AB 1:B 1 S = AC 1:S 1 B, potom z rovnosti (9) vyplýva, že
, teda C.A. 1 = A 1 B, čo bolo potrebné dokázať. Ryža. 20

b) Nechajte oblasť trojuholníka AB 1 O rovná S. Pretože AB 1:B 1 S C.B. 1 O rovná sa 4 S a oblasť trojuholníka AOC rovná sa 5 S. Potom oblasť trojuholníka AOB sa tiež rovná 5 S, pretože trojuholníky AOB A AOC majú spoločný základ A.O. a ich vrcholy B A C v rovnakej vzdialenosti od čiary A.O.. Okrem toho oblasť trojuholníka AOC 1 sa rovná S, pretože AC 1:S 1 B = 1:4. Potom oblasť trojuholníka ABB 1 sa rovná 6 S. Pretože AB 1:B 1 S= 1:4, potom plocha trojuholníka C.B. 1 O rovný 24 S a oblasť trojuholníka ABC rovný 30 S. Teraz nájdime pomer plochy štvoruholníka AB 1 O.C. 1 (2S) do oblasti trojuholníka ABC (30S), rovná sa 1:15.

Odpoveď. 1:15.

Úloha 15 (Jednotná štátna skúška 2016).

Body IN 1 a S 1 ležať na bokoch resp AC A AB trojuholník ABC, a AB 1:B 1 S =
= AC 1:S 1 B. Priamy BB 1 A SS 1 pretínajú v bode O.

a) Dokážte, že čiara JSC rozpolí stranu Slnko.

b) Nájdite pomer plochy štvoruholníka AB 1 O.C. 1 do oblasti trojuholníka ABC, ak je to známe AB 1:B 1 S = 1:3.

Odpoveď. 1:10.

Z úloha 16 (POUŽITIE-2016). Na segmente BD dobrá poznámka S. Bisector B.L. ABC so základňou slnko BLD so základňou BD.

a) Dokážte, že trojuholník DCL rovnoramenné.

b) Je známe, že cos
ABC DL, teda trojuholník BD dobrá poznámka S. Bisector B.L. rovnoramenný trojuholník ABC so základňou slnko je bočná strana rovnoramenného trojuholníka BLD so základňou BD.

a) Dokážte, že trojuholník DCL rovnoramenné.

b) Je známe, že cos ABC= . V akom ohľade je priamka D.L. rozdeľuje stranu AB?

Odpoveď. 4:21.

Literatúra

1. Smirnova I.M., Smirnov V.A. Nádherné body a čiary trojuholníka. M.: Matematika, 2006, č.17.

2. Myakishev A.G. Prvky trojuholníkovej geometrie. (Séria „Knižnica „Matematická výchova“). M.: MTsNMO, 2002. - 32 s.

3. Geometria. Doplnkové kapitoly k učebnici 8. ročníka: Učebnica pre žiakov škôl a tried s prehlbovacím štúdiom / L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev a kol., M.: Vita-Press, 2005. - 208 s.

4. Erdniev P., Mantsaev N. Chevove a Menelaove vety. M.: Kvant, 1990, č. 3, s. 56–59.

5. Sharygin I.F. Chevove a Menelaove vety. M.: Kvant, 1976, č. 11, s. 22–30.

6. Vavilov V.V. Strednice a stredové čiary trojuholníka. M.: Matematika, 2006, č.1.

7. Efremov Dm. Nová trojuholníková geometria. Odesa, 1902. - 334 s.

8. Matematika. 50 variantov typických testových úloh / I.V. Yashchenko, M.A. Volkevič, I.R. Vysockij a ďalší; upravil I.V. Jaščenko. - M.: Vydavateľstvo "Skúška", 2016. - 247 s.