Тригонометрийн хувьд олон томьёог цээжлэхээс илүүтэй гаргахад хялбар байдаг. Давхар өнцгийн косинус бол гайхалтай томьёо юм! Энэ нь багасгах томъёо болон хагас өнцгийн томъёог авах боломжийг танд олгоно.
Тиймээс бидэнд давхар өнцгийн косинус ба тригонометрийн нэгж хэрэгтэй болно.
Тэд бүр ижил төстэй байдаг: давхар өнцгийн косинусын томъёонд - косинус ба синусын квадратуудын ялгаа, тригонометрийн нэгжид - тэдгээрийн нийлбэр. Хэрэв бид косинусыг тригонометрийн нэгжээс илэрхийлбэл:
Үүнийг давхар өнцгийн косинусаар орлуулбал бид дараахь зүйлийг авна.
Энэ бол давхар өнцгийн косинусын өөр нэг томъёо юм.
Энэ томъёо нь бууруулах томъёог авах түлхүүр юм:
Тиймээс синусын зэргийг бууруулах томъёо нь:
Хэрэв альфа өнцгийг хагас өнцгийн альфагаар, хоёр альфа өнцгийг альфа өнцгөөр сольсон бол синусын хагас өнцгийн томъёог авна.
Одоо тригонометрийн нэгжээс бид синусыг илэрхийлнэ:
Энэ илэрхийлэлийг давхар өнцгийн косинусын томъёонд орлуул.
Бид давхар өнцгийн косинусын өөр томьёог олж авсан.
Энэ томъёо нь косинусын бууралтын томъёо болон косинусын хагас өнцгийн томъёог олох түлхүүр юм.
Тиймээс косинусын зэргийг бууруулах томъёо нь:
Хэрэв бид α-г α/2-оор, 2α-г α-аар сольвол косинусын хагас аргументийн томъёог авна.
Тангенс нь синус ба косинусын харьцаа тул шүргэгчийн томъёо нь:
Котангенс нь косинус ба синусын харьцаа юм. Тиймээс котангентын томъёо нь:
Мэдээжийн хэрэг, тригонометрийн илэрхийллийг хялбарчлах явцад хагас өнцгийн томьёо гаргаж авах, эсвэл зэрэглэлийг бууруулах нь утгагүй юм. Таны өмнө томьёоны хуудсыг тавих нь илүү хялбар байдаг. Мөн хялбаршуулах нь илүү хурдан урагшлах бөгөөд харааны санах ой нь цээжлэхэд зориулагдсан болно.
Гэхдээ эдгээр томъёог хэд хэдэн удаа гаргаж авах нь үнэ цэнэтэй хэвээр байна. Дараа нь та шалгалтын үеэр хууран мэхлэх хуудас ашиглах боломжгүй үед шаардлагатай бол тэдгээрийг хялбархан авах боломжтой гэдэгт бүрэн итгэлтэй байх болно.
Синусын утгууд нь [-1; 1], i.e. -1 ≤ sin α ≤ 1. Иймд хэрэв |a| > 1, тэгвэл sin x = a тэгшитгэл үндэсгүй болно. Жишээлбэл, sin x = 2 тэгшитгэлд үндэс байхгүй.
Зарим даалгавар руу шилжье.
sin x = 1/2 тэгшитгэлийг шийд.
Шийдэл.
Р (1; 0) цэгийг эхийн эргэн тойронд х өнцгөөр эргүүлсний үр дүнд олж авсан нэгж тойргийн цэгийн ординатыг sin x гэдгийг анхаарна уу.
M 1 ба M 2 тойргийн хоёр цэг дээр ½-тэй тэнцэх ординат байна.
1/2 \u003d sin π / 6 тул M 1 цэгийг P (1; 0) цэгээс x 1 \u003d π / 6 өнцгөөр, мөн x \u003d π өнцгөөр эргүүлж авна. / 6 + 2πk, энд k \u003d +/-1, +/-2, …
M 2 цэгийг x 2 = 5π/6 өнцгөөр, мөн x = 5π/6 + 2πk өнцгөөр эргүүлсний үр дүнд P (1; 0) цэгээс олж авна, энд k = +/- байна. 1, +/-2, ... , i.e. өнцөгт x = π – π/6 + 2πk, энд k = +/-1, +/-2, ….
Тэгэхээр sin x = 1/2 тэгшитгэлийн бүх язгуурыг x = π/6 + 2πk, x = π - π/6 + 2πk, k € Z томъёогоор олж болно.
Эдгээр томъёог нэг болгон нэгтгэж болно: x \u003d (-1) n π / 6 + πn, энд n € Z (1).
Үнэн хэрэгтээ, хэрэв n нь тэгш тоо бол i.e. n = 2k, дараа нь (1) томъёоноос бид х = π/6 + 2πk, хэрэв n нь сондгой тоо бол i.e. n = 2k + 1, дараа нь (1) томъёоноос бид х = π – π/6 + 2πk-ийг авна.
Хариулт. x \u003d (-1) n π / 6 + πn, энд n € Z.
sin x = -1/2 тэгшитгэлийг шийд.
Шийдэл.
Ординат -1/2 нь M 1 ба M 2 нэгж тойргийн хоёр цэгтэй бөгөөд энд x 1 = -π/6, x 2 = -5π/6 байна. Иймд sin x = -1/2 тэгшитгэлийн бүх язгуурыг x = -π/6 + 2πk, x = -5π/6 + 2πk, k ∈ Z томъёогоор олно.
Бид эдгээр томъёог нэг болгон нэгтгэж болно: x \u003d (-1) n (-π / 6) + πn, n € Z (2).
Үнэхээр хэрэв n = 2k бол (2) томъёогоор бид x = -π/6 + 2πk, n = 2k – 1 бол (2) томъёогоор бид x = -5π/6 + 2πk-ийг олно.
Хариулт. x \u003d (-1) n (-π / 6) + πn, n € Z.
Тиймээс sin x = 1/2, sin x = -1/2 тэгшитгэл бүр нь хязгааргүй олон үндэстэй.
-π/2 ≤ x ≤ π/2 сегмент дээр эдгээр тэгшитгэл бүр зөвхөн нэг үндэстэй байна:
x 1 \u003d π / 6 - тэгшитгэлийн үндэс sin x \u003d 1/2 ба x 1 \u003d -π / 6 - sin x \u003d -1/2 тэгшитгэлийн үндэс.
π/6 тоог 1/2 тооны арксинус гэж нэрлээд бичнэ: arcsin 1/2 = π/6; -π/6 тоог -1/2 тооны арксинус гэж нэрлэдэг бөгөөд тэд бичнэ: arcsin (-1/2) = -π/6.
Ерөнхийдөө sin x \u003d a тэгшитгэл нь -π / 2 ≤ x ≤ π / 2 сегмент дээрх -1 ≤ a ≤ 1 нь зөвхөн нэг үндэстэй. Хэрэв a ≥ 0 бол үндэс нь интервалд хаалттай байна; Хэрвээ< 0, то в промежутке [-π/2; 0). Этот корень называют арксинусом числа а и обозначают arcsin а.
Ийнхүү a тооны арксинус € [–1; 1] ийм тоог € [–π/2; π/2], түүний синус нь a.
arcsin a = α хэрэв sin α = a ба -π/2 ≤ x ≤ π/2 (3).
Жишээлбэл, arcsin √2/2 = π/4, учир нь sin π/4 = √2/2 ба – π/2 ≤ π/4 ≤ π/2;
arcsin (-√3/2) = -π/3, учир нь sin (-π/3) = -√3/2 ба – π/2 ≤ 
– π/3 ≤ π/2.
1 ба 2-р бодлогыг шийдвэрлэх үед хэрхэн хийгдсэнтэй адил тэгшитгэлийн үндэс sin x = a, энд |a| ≤ 1-ийг томъёогоор илэрхийлнэ
x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n € Z (4).
Мөн бид ямар ч € [-1; 1] arcsin (-a) = -arcsin a томъёо хүчинтэй.
Томъёо (4)-аас тэгшитгэлийн үндэс гарч ирнэ
sin x \u003d a for a \u003d 0, a \u003d 1, a \u003d -1-ийг илүү энгийн томъёо ашиглан олж болно.
нүгэл x \u003d 0 x \u003d πn, n € Z (5)
нүгэл x \u003d 1 x \u003d π / 2 + 2πn, n € Z (6)
нүгэл x \u003d -1 x \u003d -π / 2 + 2πn, n € Z (7)
материалыг бүрэн буюу хэсэгчлэн хуулбарласан сайтын эх сурвалжийн холбоос шаардлагатай.
|BD| - А цэг дээр төвлөрсөн тойргийн нумын урт.
α нь радианаар илэрхийлэгдсэн өнцөг юм.
шүргэгч ( tgα) нь тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенуз ба хөлийн хоорондох α өнцөгөөс хамаарах тригонометрийн функц бөгөөд эсрэг талын хөлийн уртын харьцаатай тэнцүү |BC| зэргэлдээх хөлний урт хүртэл |AB| .
Котангенс ( ctgα) нь тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенуз ба хөлийн хоорондох α өнцөгөөс хамаарах тригонометрийн функц бөгөөд зэргэлдээх хөлийн уртын харьцаатай тэнцүү |AB| эсрэг талын хөлний урт хүртэл |BC| .
Тангенс
Хаана n- бүхэлд нь.
Барууны уран зохиолд шүргэгчийг дараах байдлаар тэмдэглэсэн байдаг.
.
;
;
.
Шүргэх функцийн график, y = tg x
Котангенс
Хаана n- бүхэлд нь.
Барууны уран зохиолд котангенсыг дараах байдлаар тэмдэглэсэн байдаг.
.
Дараах тэмдэглэгээг мөн баталсан.
;
;
.
Котангенсийн функцийн график, y = ctg x
Тангенс ба котангенсын шинж чанарууд
Үе үе
y= функцууд tg xба у= ctg xπ үетэй үечилсэн байна.
Паритет
Тангенс ба котангенс функцууд нь сондгой.
Тодорхойлолт ба утгын хүрээ, өсөх, буурах
Тангенс ба котангенс функцууд нь тодорхойлолтын муждаа тасралтгүй байдаг (тасралтгүй байдлын баталгааг үзнэ үү). Тангенс ба котангентын үндсэн шинж чанарыг хүснэгтэд үзүүлэв ( n- бүхэл тоо).
| у= tg x | у= ctg x | |
| Хамрах хүрээ ба тасралтгүй байдал | ||
| Утгын хүрээ | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| Өгсөж байна | - | |
| Бууж байна | - | |
| Хэт их | - | - |
| Тэг, у = 0 | ||
| У тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүд, x = 0 | у= 0 | - |
Томъёо
Синус ба косинусын илэрхийлэл
;
;
;
;
;
Нийлбэр ба ялгаварын тангенс ба котангенсийн томъёо
Жишээлбэл, бусад томъёог олж авахад хялбар байдаг
Шүргэгчийн бүтээгдэхүүн
Шүргэгчийн нийлбэр ба зөрүүний томъёо
Энэ хүснэгтэд аргументийн зарим утгуудын шүргэгч ба котангентын утгыг харуулав. 
Комплекс тоонуудын илэрхийлэл
Гиперболын функцүүдийн илэрхийлэл
;
;
Дериватив
; .
.
Функцийн x хувьсагчийн хувьд n-р эрэмбийн дериватив:
.
Шүргэгчийн томьёо гарган авах > > > ; котангенсийн хувьд > > >
Интеграл
Цуврал болгон өргөтгөх
X-ийн зэрэглэлийн тангенсийн тэлэлтийг авахын тулд та функцүүдийн хүчирхэг цуваа дахь тэлэлтийн хэд хэдэн нөхцөлийг авах хэрэгтэй. гэм хболон cos xмөн эдгээр олон гишүүнтүүдийг хооронд нь хувааж, . Үүний үр дүнд дараах томъёо гарч ирнэ.
-д.
цагт.
хаана Б н- Бернуллигийн тоо. Тэдгээрийг дахилтын хамаарлаас аль нэгээр нь тодорхойлно.
;
;
хаана.
Эсвэл Лапласын томъёоны дагуу: 
Урвуу функцууд
Тангенс ба котангенсийн урвуу функцууд нь арктангенс ба арккотангенс байна.
Арктангенс, арктг
, хаана n- бүхэлд нь.
Нуман тангенс, arcctg
, хаана n- бүхэлд нь.
Лавлагаа:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Дээд боловсролын байгууллагын инженер, оюутнуудад зориулсан математикийн гарын авлага, Лан, 2009 он.
Г.Корн, Судлаач, инженерүүдэд зориулсан математикийн гарын авлага, 2012 он.
