A vektorok pont szorzata

Továbbra is foglalkozunk a vektorokkal. Az első leckében Vektorok a bábukhoz megvizsgáltuk a vektor fogalmát, a vektorokkal végzett műveleteket, a vektor koordinátáit és a legegyszerűbb feladatokat a vektorokkal. Ha először járt erre az oldalra keresőmotorból, akkor nagyon ajánlom, hogy olvassa el a fenti bevezető cikket, mert az anyag elsajátításához el kell navigálnia az általam használt kifejezésekben és jelölésekben, alapvető ismeretekkel kell rendelkeznie a vektorokról, és képesnek kell lennie az elemi problémák megoldására. Ez a lecke a téma logikus folytatása, és részletesen elemzem azokat a tipikus feladatokat, amelyekben a vektorok pont szorzatát használják. Ez NAGYON FONTOS tevékenység... Ne hagyjon ki példákat, ezeket hasznos bónusz kíséri - a gyakorlat segít megszilárdítani a lefedett anyagot, és "kézbe veheti" az analitikai geometriában előforduló gyakori problémákat.

Vektorok összeadása, egy vektor szorzása számmal…. Naivitás lenne azt gondolni, hogy a matematikusok nem találtak ki mást. A már figyelembe vett tevékenységek mellett számos más művelet is létezik vektorokkal, nevezetesen: a vektorok dot szorzata, vektorok terméke és a vektorok vegyes terméke... A vektorok skaláris szorzata ismeretes számunkra az iskolából, a másik két szorzat hagyományosan a felsőbb matematika menetéhez kapcsolódik. A témák egyszerűek, a sok probléma megoldásának algoritmusa sablonos és világos. Az egyetlen dolog. Nagyon sok információ van, ezért nem kívánatos mindent megpróbálni elsajátítani, MINDENT EGYSZER megoldani. Különösen igaz ez a teáskannákra, hidd el, a szerző egyáltalán nem akar Chikatilónak érezni magát a matematikából. Nos, és természetesen a matematikából sem \u003d) A felkészültebb hallgatók szelektíven használhatják az anyagokat, bizonyos értelemben "megszerezhetik" a hiányzó ismereteket, számodra ártalmatlan Drakula gróf leszek \u003d)

Végül nyissuk ki az ajtót, és lelkesedéssel lássuk, mi történik, ha két vektor találkozik egymással ...

A vektorok ponttermékének meghatározása.
Pontos termék tulajdonságai. Tipikus feladatok

Pont termék fogalma

Először kb vektorok közötti szög... Azt hiszem, mindenki intuitív módon megérti, hogy mi a szög a vektorok között, de csak arra az esetre, ha egy kicsit részletesebben. Tekintsük a szabad nem nulla vektorokat és. Ha elhalasztja ezeket a vektorokat egy tetszőleges pontról, olyan képet kap, amelyet sokan már elképzeltek a fejükben:

Bevallom, hogy itt csak a megértés szintjén vázoltam fel a helyzetet. Ha szigorúan meg kell határoznia a vektorok közötti szöget, kérjük, olvassa el a tankönyvet, de gyakorlati problémák esetén elvileg nincs rá szükségünk. ITT ÉS TOVÁBB néhol figyelmen kívül hagyom a nulla vektorokat alacsony gyakorlati jelentőségük miatt. Foglalást tettem kifejezetten a haladó webhelylátogatók számára, akik szemrehányást tehetnek rám az alábbi állítások néhány elméleti hiányossága miatt.

0 és 180 fok közötti (0-tól radiánig) értékeket vehet fel. Analitikai szempontból ez a tény kettős egyenlőtlenség formájában van megírva: vagy (radiánban).

Az irodalomban a szög ikont gyakran figyelmen kívül hagyják és egyszerűen írják.

Meghatározás: Két vektor skaláris szorzata olyan SZÁM, amely megegyezik ezen vektorok hosszának szorzatával a közöttük lévő szög koszinuszával:

Ez már elég szigorú meghatározás.

Az alapvető információkra összpontosítunk:

Kijelölés: a dot szorzatot vagy egyszerűen jelöljük.

A művelet eredménye egy SZÁM: A vektort megszorozzuk a vektorral, és az eredmény egy szám. Valójában, ha a vektorok hossza szám, akkor a szög koszinusa egy szám, akkor szorzatuk szám is lesz.

Csak néhány bemelegítő példa:

1. példa

Döntés: A képletet használjuk ... Ebben az esetben:

Válasz:

A koszinusz-értékek itt találhatók trigonometrikus táblázat... Javaslom kinyomtatni - a torony szinte minden szakaszában szükség lesz rá, és sokszor lesz rá szükség.

Tisztán matematikai szempontból a dot szorzat dimenzió nélküli, vagyis az eredmény ebben az esetben csak egy szám, és ennyi. A fizika problémái szempontjából a pontterméknek mindig van egy bizonyos fizikai jelentése, vagyis az eredmény után meg kell jelölni egyik vagy másik fizikai egységet. Az erő munkájának kiszámításához kanonikus példa található bármely tankönyvben (a képlet pontosan a pont szorzat). Az erő munkáját Joule-ban mérjük, és a választ például egészen konkrétan írjuk le.

2. példa

Keresse meg, ha , és a vektorok közötti szög.

Ez egy példa önálló megoldásra, a válasz az oktatóanyag végén található.

A vektorok és a pont szorzat közötti szög

Az 1. példában a ponttermék pozitívnak, a 2. példában pedig negatívnak bizonyult. Derítsük ki, hogy mitől függ a ponttermék jele. Megnézzük a képletünket: ... A nem nulla vektorok hossza mindig pozitív:, így a jel csak a koszinusz értékétől függhet.

Jegyzet: Az alábbi információk jobb megértése érdekében jobb tanulmányozni a koszinusz grafikont a kézikönyvben Funkciógrafikonok és tulajdonságok... Nézze meg, hogyan viselkedik a koszinusz egy szakaszon.

Mint már említettük, a vektorok közötti szög belül változhat , és a következő esetek lehetségesek:

1) Ha szög vektorok között akut: (0 és 90 fok között) és dot termék pozitív lesz társrendezett, akkor a köztük lévő szöget nullának tekintjük, és a pont szorzat is pozitív lesz. Mivel a képlet leegyszerűsített :.

2) Ha szög vektorok között hülye: (90 és 180 fok között), akkor , és ennek megfelelően a dot szorzat negatív:. Különleges eset: ha vektorok ellenkező irányba, akkor a köztük lévő szöget vesszük figyelembe bevetett: (180 fok). A dot szorzat is negatív, mivel

A fordított állítások is igazak:

1) Ha, akkor a vektorok szöge éles. Alternatív megoldásként a vektorok irányirányúak.

2) Ha, akkor az adott vektorok szöge tompa. Alternatív megoldásként a vektorok ellentétesek.

De a harmadik eset különösen érdekes:

3) Ha szög vektorok között egyenes: (90 fok), akkor pont szorzata nulla:. Fordítva is igaz: ha, akkor. Az állítás tömören a következőképpen van megfogalmazva: Két vektor skaláris szorzata akkor és csak akkor nulla, ha ezek a vektorok merőlegesek... Rövid matematikai jelölés:

! jegyzet : ismételje meg a matematikai logika alapjai: a kétoldalas logikai következmény ikon általában „akkor és csak akkor”, „ha és csak akkor” felirat. Amint láthatja, a nyilak mindkét irányba irányulnak - "ebből következik ez és fordítva - abból, ami ebből következik". Egyébként mi a különbség az egyirányú követés ikontól? Az ikon azt állítja csak az, hogyhogy "ez következik ebből", és nem tény, hogy ennek az ellenkezője igaz. Például: de nem minden állat párduc, ezért ebben az esetben az ikon nem használható. Ugyanakkor az ikon helyett tud használjon egyirányú ikont. Például a probléma megoldása során megtudtuk, amely arra a következtetésre jutott, hogy a vektorok ortogonálisak: - egy ilyen bejegyzés helyes lesz, és még megfelelőbb is, mint a .

A harmadik eset nagy gyakorlati jelentőséggel bír.mivel lehetővé teszi annak ellenőrzését, hogy a vektorok merőlegesek-e vagy sem. Ezt a problémát a lecke második szakaszában oldjuk meg.

Pontos termék tulajdonságai

Térjünk vissza arra a helyzetre, amikor két vektor társrendezett... Ebben az esetben a köztük lévő szög nulla, és a dot szorzat képlete a következő:

Mi történik, ha a vektort megsokszorozza? Nyilvánvaló, hogy a vektor önmagával együttirányú, ezért a fenti egyszerűsített képletet használjuk:

A számot hívják skalár négyzet vektor, és jelöljük.

Ily módon a vektor skaláris négyzete megegyezik az adott vektor hosszának négyzetével:

Ebből az egyenlőségből megkaphatja a képletet a vektor hosszának kiszámításához:

Bár homályosnak tűnik, az óra feladatai mindent a helyére fognak állítani. A problémák megoldásához nekünk is szükségünk van dot termék tulajdonságai.

Tetszőleges vektorok és tetszőleges szám esetén a következő tulajdonságok érvényesek:

1) - mozgatható vagy kommutatív skaláris terméktörvény.

2) - terjesztés vagy elosztó skaláris terméktörvény. Egyszerűen kibonthatja a zárójeleket.

3) - kombináció vagy asszociációs skaláris terméktörvény. Az állandót ki lehet venni a dot termékből.

Gyakran mindenféle tulajdonságot (amelyet bizonyítani is kell!) A diákok felesleges szemétként érzékelnek, amelyet csak meg kell jegyezni és a vizsga után azonnal el kell felejteni. Úgy tűnik, hogy ami itt fontos, az első osztálytól kezdve mindenki tudja, hogy a termék nem változik a tényezők permutációjától:. Figyelmeztetnem kell, a felsőbb matematikában ezzel a megközelítéssel könnyű fát törni. Tehát például az elmozdulás tulajdonság nem érvényes algebrai mátrixok... Az is helytelen vektorok terméke... Ezért legalább jobb elmélyülni minden olyan tulajdonságban, amellyel a felsőbb matematika során találkozik, hogy megértse, mit tehet és mit nem.

3. példa

.

Döntés:Először tisztázzuk a helyzetet a vektorral. Mi ez egyébként? A vektorok összege és egy jól definiált vektor, amelyet jelölünk. A vektorokkal végzett műveletek geometriai értelmezése megtalálható a cikkben Vektorok a bábukhoz... Ugyanaz a petrezselyem egy vektorral együtt a vektorok és.

Tehát feltétel szerint meg kell találni a dot terméket. Elméletileg a munkaképletet kell alkalmaznia , de az a baj, hogy nem ismerjük a vektorok hosszát és a közöttük lévő szöget. De a feltétel hasonló paramétereket ad a vektorokhoz, így a másik utat fogjuk folytatni:

(1) Helyettesítse a vektor kifejezéseket.

(2) A zárójeleket kibővítjük a polinomok szorzásának szabálya szerint, egy vulgáris nyelvcsavaró található a cikkben Komplex számok vagy Törtrészes racionális függvény integrálása... Nem fogom megismételni magam \u003d) Egyébként a ponttermék eloszlási tulajdonsága lehetővé teszi számunkra a zárójelek bővítését. Nekünk jogunk van.

(3) Az első és az utolsó kifejezésben kompaktan írjuk a vektorok skaláris négyzeteit: ... A második kifejezésben a skaláris szorzat permutálhatóságát használjuk :.

(4) Hasonló kifejezéseket adunk:

(5) Az első kifejezésben a skalár négyzet képletet használjuk, amelyet nem is olyan régen említettek. Az utolsó kifejezésben ugyanez működik :. A második kifejezést a standard képlet szerint bővítjük .

(6) Ezeket a feltételeket helyettesítjük , és GONDOSAN végezze el a végső számításokat.

Válasz:

A pont szorzat negatív értéke azt a tényt jelzi, hogy a vektorok szöge tompa.

A feladat tipikus, itt egy példa egy független megoldásra:

4. példa

Keresse meg a vektorok skaláris szorzatát, és ha ez ismert .

Most egy másik gyakori feladat, csak a vektor hosszúságának új képletéhez. Az itt szereplő megnevezések kissé átfedik egymást, ezért az érthetőség kedvéért átírom egy másik betűvel:

5. példa

Keresse meg a vektor hosszát, ha .

Döntés a következő lesz:

(1) Adjon meg egy vektor kifejezést.

(2) A hosszúság képletét használjuk, míg az egész kifejezés "ve" vektorként működik.

(3) Az összeg négyzetére az iskolai képletet használjuk. Figyelje meg, hogyan működik itt kíváncsian: - Valójában ez a különbség négyzete, és valójában az is. Az érdeklődők helyenként átrendezhetik a vektorokat: - a feltételek átrendezéséig ugyanez derült ki.

(4) A többi már ismeretes a két korábbi problémából.

Válasz:

Mivel a hosszról beszélünk, ne felejtsük el feltüntetni a dimenziót - "egységek".

6. példa

Keresse meg a vektor hosszát, ha .

Ez egy példa a "csináld magad" megoldásra. Teljes megoldás és válasz az oktatóanyag végén.

Továbbra is hasznos dolgokat szorítunk ki a dot termékből. Nézzük meg újra a képletünket ... Az arányszabály szerint állítsuk vissza a vektorok hosszát a bal oldal nevezőjére:

És cseréljük az alkatrészeket:

Mit jelent ez a képlet? Ha ismeri két vektor hosszát és azok pontszorzatát, akkor kiszámíthatja az e vektorok közötti szög koszinuszát, következésképpen magát a szöget is.

A dot termék szám? Szám. A vektorok hossza szám? Számok. Ennélfogva a tört is egy bizonyos szám. És ha a szög koszinusa ismert: , akkor az inverz függvény segítségével könnyen megtalálja magát a szöget: .

7. példa

Keresse meg a vektorok közötti szöget és, ha ez ismert.

Döntés: A képletet használjuk:

A számítások utolsó szakaszában technikát alkalmaztak - az iracionalitás kiküszöbölését a nevezőben. Az irracionalitás kiküszöbölése érdekében megszoroztam a számlálót és a nevezőt.

Tehát, ha , azután:

Az inverz trigonometrikus függvények értékei megtalálhatók trigonometrikus táblázat... Bár ez ritkán fordul elő. Az analitikai geometria problémáiban valamiféle esetlen medve sokkal gyakrabban jelenik meg, és a szög értékét hozzávetőlegesen egy számológép segítségével kell megtalálni. Valójában nem egyszer látni fogunk egy ilyen képet.

Válasz:

Ismét ne felejtsük el feltüntetni a dimenziót - radiánokat és fokokat. Személy szerint annak érdekében, hogy tudatosan „tisztázzuk az összes kérdést”, előszeretettel jelzem mind ezt, mind azt (kivéve, ha természetesen a feltétel nem feltétlenül szükséges, hogy a választ csak radiánban vagy csak fokban adja meg).

Most egyedül képes lesz megbirkózni egy nehezebb feladattal:

7. példa *

Megadjuk a vektorok hosszát és a közöttük lévő szöget. Keresse meg a vektorok közötti szöget ,.

A feladat nem is annyira nehéz, mint többlépcsős.
Elemezzük a megoldás algoritmust:

1) A feltételnek megfelelően meg kell találnia a vektorok közötti szöget, és ezért a képletet kell használnia .

2) Keresse meg a dot terméket (lásd a 3., 4. példát).

3) Keresse meg a vektor hosszát és a vektor hosszát (lásd az 5., 6. példát).

4) A megoldás vége egybeesik a 7. példával - ismerjük a számot, ami azt jelenti, hogy magát a szöget is könnyű megtalálni:

Rövid megoldás és válasz a bemutató végén.

A lecke második szakasza ugyanarra a ponttermékre összpontosít. Koordináták. Még könnyebb lesz, mint az első részben.

A vektorok pont szorzata,
koordináták adják ortonormális alapon

Válasz:

Mondanom sem kell, hogy a koordinátákkal való foglalkozás sokkal kellemesebb.

14. példa

Keresse meg a vektorok pont szorzatát, és ha

Ez egy példa a "csináld magad" megoldásra. Itt használhatja a művelet asszociativitását, vagyis ne számoljon, hanem azonnal mozgassa a hármasot a skalár szorzatán kívülre, és utoljára szorozza meg vele. Megoldás és válasz a lecke végén.

A bekezdés végén egy provokatív példa a vektor hosszának kiszámítására:

15. példa

Keresse meg a vektorok hosszát , ha

Döntés:az előző szakasz módja ismét önmagát sugallja:, de van egy másik módszer is:

Keresse meg a vektort:

És hossza a triviális képlet szerint :

A dot termék itt nem jöhet szóba!

Mint üzletileg, akkor a vektor hosszának kiszámításakor:
Állj meg. Miért ne használná ki a vektorhossz nyilvánvaló tulajdonságát? Mi a helyzet a vektor hosszával? Ez a vektor ötször hosszabb, mint a vektor. Az irány ellentétes, de nem számít, mert a beszélgetés hossza. Nyilvánvaló, hogy a vektor hossza megegyezik a szorzattal modul számok vektorhosszonként:
- a modul jele "megeszi" a szám lehetséges mínuszát.

Ily módon:

Válasz:

A vektorok közötti szög koszinuszának képlete, amelyet koordináták adnak meg

Most teljes információval rendelkezünk, hogy kifejezzük a vektorok közötti szög koszinuszának korábban levezetett képletét a vektorok koordinátái szerint:

A sík vektorai közötti szög koszinusa és ortonormális alapon adják meg, képlettel kifejezve:
.

Az űrvektorok közötti szög koszinusa ortonormális alapon adva, képlettel kifejezve:

16. példa

A háromszög három csúcsa van megadva. Keresse meg (csúcsszöge).

Döntés:A feltétel szerint a rajz elvégzése nem kötelező, de mégis:

A szükséges szöget zöld ív jelöli. Azonnal emlékezzen a szög iskolai megjelölésére: - különös figyelem átlagos a betű a szükséges sarok csúcsa. A rövidség kedvéért egyszerűen meg lehetne írni.

A rajz alapján teljesen nyilvánvaló, hogy a háromszög szöge egybeesik a vektorok szögével, más szavakkal: .

Célszerű megtanulni, hogyan kell elvégezni a mentálisan végzett elemzést.

Vektorok keresése:

Számítsuk ki a dot szorzatot:

És a vektorok hossza:

Egy szög koszinusa:

Ebben a sorrendben ajánlom a teáskannákat. A kifinomultabb olvasók "egy sorba" írhatnak számításokat:

Íme egy példa a „rossz” koszinusz-értékre. Az így kapott érték nem végleges, ezért nincs értelme megszabadulni az irracionalitástól a nevezőben.

Keresse meg magát a sarkot:

Ha megnézzük a rajzot, az eredmény meglehetősen hihető. Ellenőrzés céljából a szög szögmérővel is mérhető. Ne sértse meg a monitor fedelét \u003d)

Válasz:

A válaszban ezt ne felejtsd el kérdezték a háromszög szögéről (és nem a vektorok közötti szögről), ne felejtsük el megadni a pontos választ: és a szög hozzávetőleges értékét: a számológéppel talált.

Azok, akik élvezték a folyamatot, kiszámolhatják a szögeket és megbizonyosodhatnak arról, hogy a kanonikus egyenlőség igaz-e

17. példa

A háromszöget a térben csúcsainak koordinátái határozzák meg. Keresse meg az oldalak és a szög közötti szöget

Ez egy példa a "csináld magad" megoldásra. Teljes megoldás és válasz az oktatóanyag végén

Egy rövid záró szakaszt szentelünk a vetületeknek, amelyekben a skaláris szorzatot is „összekeverjük”:

Vektor-vektor vetület. A vektor vetülete a koordinátatengelyekhez.
A vektor irányított koszinuszai

Tekintsük a vektorokat és:

Vetítsük a vektort a vektorra, erre kihagyunk a vektor elejéről és végéről merőlegesek vektoronként (zöld pontozott vonalak). Képzelje el, hogy a fénysugarak merőlegesek a vektorra. Ekkor a szegmens (piros vonal) lesz a vektor "árnyéka". Ebben az esetben a vektor vetülete a vektorra a szegmens HOSSZA. Vagyis A PROJEKCIÓ SZÁM.

Ezt a SZÁMOT a következőképpen jelöljük: a "nagy vektor" egy vektort jelent AMELY A projekt, a "kis index index vektor" egy vektort jelöl TOVÁBB amelyet vetítenek.

Maga a rekord így hangzik: "az" a "vektor vetülete a" bh "vektorra.

Mi történik, ha a "bs" vektor "túl rövid"? Húzunk egy egyeneset, amely a "be" vektort tartalmazza. És az "a" vektor már kivetül a "bs" vektor irányában, egyszerűen - a "be" vektort tartalmazó egyenesen. Ugyanez történik, ha az "a" vektort elhalasztják a harminctizedik királyságban - akkor is könnyen kivetül a "bh" vektort tartalmazó egyenesre.

Ha a szög vektorok között akut (mint a képen), akkor

Ha vektorok ortogonális, akkor (a vetület egy olyan pont, amelynek méreteit nulláról feltételezzük).

Ha a szög vektorok között hülye(az ábrán mentálisan rendezze át a vektor nyílját), majd (azonos hosszúságú, de mínusz előjelű).

Halasszuk el ezeket a vektorokat egy pontról:

Nyilvánvaló, hogy amikor a vektor mozog, akkor a vetülete nem változik

1. meghatározás

A vektorok skaláris szorzata egy szám, amely megegyezik ezen vektorok dyn és a közöttük lévő szög koszinuszának szorzatával.

Az a → és b → vektorok szorzatának jelölése a →, b → formájú. Konvertáljuk a képletre:

a →, b → \u003d a → b → cos a →, b → ^. a → és b → a vektorok hosszát, a →, b → ^ az adott vektorok közötti szöget jelöli. Ha legalább egy vektor nulla, vagyis értéke 0, akkor az eredmény nulla lesz, a →, b → \u003d 0

Amikor a vektort önmagával megszorozzuk, megkapjuk a hosszának négyzetét:

a →, b → \u003d a → b → cos a →, a → ^ \u003d a → 2 cos 0 \u003d a → 2

2. definíció

A vektor skaláris szorzását önmagában skaláris négyzetnek nevezzük.

Képlet alapján számítva:

a →, b → \u003d a → b → cos a →, b → ^.

Az a →, b → \u003d a → b → cos a →, b → ^ \u003d a → npa → b → \u003d b → npb → a → jelölés azt mutatja, hogy az npb → a → a b →, npa → a → a b → és a → vetülete.

Fogalmazzuk meg a szorzat definícióját két vektor esetében:

Két a → b → vektor skaláris szorzatát az a vektor hosszúságának szorzatának nevezzük a b vetület által → az a → irány vagy a b → szorzat szorzatának az a → vetület által.

Pontos szorzat koordinátákban

A pont szorzat kiszámítható a vektorok koordinátáival egy adott síkban vagy a térben.

Két síkbeli vektor skaláris szorzatát, háromdimenziós térben nevezzük az adott a → és b → vektor koordinátáinak összegének.

Az adott a → \u003d (a x, a y), b → \u003d (b x, b y) vektorok skaláris szorzatának kiszámításához a derékszögű rendszerben használjuk:

a →, b → \u003d a x b x + a y b y,

háromdimenziós tér esetében a következő kifejezés érvényes:

a →, b → \u003d a x b x + a y b y + a z b z.

Valójában ez a dot termék harmadik meghatározása.

Bizonyítsuk be.

1. igazolás

A bizonyításhoz a → \u003d (ax, ay), b → \u003d (bx, by) vektorokhoz a →, b → \u003d a → b → cos a →, b → ^ \u003d ax bx + ay Derékszögű rendszer.

A vektorokat el kell halasztani

O A → \u003d a → \u003d a x, a y és O B → \u003d b → \u003d b x, b y.

Ekkor az A B → vektor hossza egyenlő lesz A B → \u003d O B → - O A → \u003d b → - a → \u003d (b x - a x, b y - a y).

Tekintsünk egy O A B háromszöget.

A B 2 \u003d O A 2 + O B 2 - 2 O A O B cos (∠ A O B) a koszinusz-tétel alapján igaz.

A feltétel alapján látható, hogy O A \u003d a →, O B \u003d b →, A B \u003d b → - a →, ∠ A O B \u003d a →, b → ^, ezért a vektorok közötti szög megtalálásának képlete másképp van megírva

b → - a → 2 \u003d a → 2 + b → 2 - 2 a → b → cos (a →, b → ^).

Ekkor az első definícióból következik, hogy b → - a → 2 \u003d a → 2 + b → 2 - 2 (a →, b →), tehát (a →, b →) \u003d 1 2 (a → 2 + b → 2 - b → - a → 2).

A vektorok hosszának kiszámításához használt képletet kapjuk:
a →, b → \u003d 1 2 ((a 2 x + ay 2) 2 + (b 2 x + 2-vel) 2 - ((bx - ax) 2 + (by - ay) 2) 2) \u003d \u003d 1 2 (a 2 x + a 2 y + b 2 x + b 2 y - (bx - ax) 2 - (by - ay) 2) \u003d \u003d ax bx + ay által

Bizonyítsuk be az egyenlőségeket:

(a →, b →) \u003d a → b → cos (a →, b → ^) \u003d \u003d a x b x + a y b y + a z b z

- illetve háromdimenziós tér vektorai esetében.

A koordinátákkal rendelkező vektorok skaláris szorzata azt mondja, hogy a vektor skaláris négyzete megegyezik a térben és egy síkban lévő koordináták négyzetének összegével. a → \u003d (a x, a y, a z), b → \u003d (b x, b y, b z) és (a →, a →) \u003d a x 2 + a y 2.

Pont termék és tulajdonságai

Vannak olyan ponttulajdonságok, amelyek a →, b → és c → esetében alkalmazhatók:

1. kommutativitás (a →, b →) \u003d (b →, a →);
2. disztributivitás (a → + b →, c →) \u003d (a →, c →) + (b →, c →), (a → + b →, c →) \u003d (a →, b →) + (a → , c →);
3. a kombinációs tulajdonság (λ a →, b →) \u003d λ (a →, b →), (a →, λ b →) \u003d λ (a →, b →), λ tetszőleges szám;
4. a skalár négyzet mindig nagyobb, mint nulla (a →, a →) ≥ 0, ahol (a →, a →) \u003d 0 abban az esetben, ha a → nulla.

1. példa

A tulajdonságok a síkbeli ponttermék meghatározása és a valós számok összeadásának és szorzásának tulajdonságai miatt magyarázhatók.

Bizonyítsa be a kommutativitási tulajdonságot (a →, b →) \u003d (b →, a →). A definícióból megvan, hogy (a →, b →) \u003d a y b y + a y b y és (b →, a →) \u003d b x a x + b y a y.

A kommutativitási tulajdonság alapján az a x b x \u003d b x a x és a y b y \u003d b y a y egyenlőségek igazak, tehát a x b x + a y b y \u003d b x a x + b y a y.

Ebből következik, hogy (a →, b →) \u003d (b →, a →). Q.E.D.

A disztribúció bármely számra érvényes:

(a (1) → + a (2) → + .. + a (n) →, b →) \u003d (a (1) →, b →) + (a (2) →, b →) +. ... ... + (a (n) →, b →)

és (a →, b (1) → + b (2) → + .. + b (n) →) \u003d (a →, b (1) →) + (a →, b (2) →) + ... ... ... + (a →, b → (n)),

ezért van

(a (1) → + a (2) → + .. + a (n) →, b (1) → + b (2) → + ... + b (m) →) \u003d (a ( 1) →, b (1) →) + (a (1) →, b (2) →) +. ... ... + (a (1) →, b (m) →) + + (a (2) →, b (1) →) + (a (2) →, b (2) →) +. ... ... + (a (2) →, b (m) →) +. ... ... + + (a (n) →, b (1) →) + (a (n) →, b (2) →) +. ... ... + (a (n) →, b (m) →)

Pontos termék példákkal és megoldásokkal

Az ilyen terv bármely problémáját a ponttermékhez kapcsolódó tulajdonságok és képletek segítségével oldják meg:

1. (a →, b →) \u003d a → b → cos (a →, b → ^);
2. (a →, b →) \u003d a → n p a → b → \u003d b → n p b → a →;
3. (a →, b →) \u003d a x b x + a y b y vagy (a →, b →) \u003d a x b x + a y b y + a z b z;
4. (a →, a →) \u003d a → 2.

Nézzünk meg néhány megoldási példát.

2. példa

A → hossza 3, a b → hossza 7. Keresse meg a pont szorzatot, ha a szög 60 fok.

Döntés

Feltételenként megvan az összes adat, ezért a képlettel számolunk:

(a →, b →) \u003d a → b → cos (a →, b → ^) \u003d 3 7 cos 60 ° \u003d 3 7 1 2 \u003d 21 2

Válasz: (a →, b →) \u003d 21 2.

3. példa

Adott vektorok a → \u003d (1, - 1, 2 - 3), b → \u003d (0, 2, 2 + 3). Mi a ponttermék.

Döntés

Ebben a példában a koordinátákkal történő kiszámítás képletét vesszük figyelembe, mivel ezeket a problémakönyv tartalmazza:

(a →, b →) \u003d ax bx + ay + az bz \u003d \u003d 1 0 + (- 1) 2 + (2 + 3) (2 + 3) \u003d \u003d 0 - 2 + ( 2 - 9) \u003d - 9

Válasz: (a →, b →) \u003d - 9

4. példa

Keresse meg az A B → és A C → pont szorzatot. Az A (1, - 3), B (5, 4), C (1, 1) pontok a koordinátasíkon vannak megadva.

Döntés

Először kiszámítják a vektorok koordinátáit, mivel a pontok koordinátáit a feltétel adja meg:

A B → \u003d (5 - 1, 4 - (- 3)) \u003d (4, 7) A C → \u003d (1 - 1, 1 - (- 3)) \u003d (0, 4)

Koordináták segítségével behelyettesítve a képletbe a következőket kapjuk:

(A B →, A C →) \u003d 4 0 + 7 4 \u003d 0 + 28 \u003d 28.

Válasz: (A B →, A C →) \u003d 28.

5. példa

Adott vektorok a → \u003d 7 m → + 3 n → és b → \u003d 5 m → + 8 n →, és keresse meg szorzatukat. m → egyenlő 3 és n → 2 egység, merőlegesek.

Döntés

(a →, b →) \u003d (7 m → + 3 n →, 5 m → + 8 n →). A disztribúciós tulajdonság alkalmazásával a következőket kapjuk:

(7 m → + 3 n →, 5 m → + 8 n →) \u003d \u003d (7 m →, 5 m →) + (7 m →, 8 n →) + (3 n →, 5 m →) + (3 n →, 8 n →)

Kivesszük a termék előjelének együtthatóját, és megkapjuk:

(7 m →, 5 m →) + (7 m →, 8 n →) + (3 n →, 5 m →) + (3 n →, 8 n →) \u003d \u003d 7 5 (m →, m →) + 7 8 (m →, n →) + 3 5 (n →, m →) + 3 8 (n →, n →) \u003d \u003d 35 (m →, m →) + 56 (m →, n →) + 15 (n →, m →) + 24 (n →, n →)

A kommutativitási tulajdonság által átalakítjuk:

35 (m →, m →) + 56 (m →, n →) + 15 (n →, m →) + 24 (n →, n →) \u003d 35 (m →, m →) + 56 (m →, n →) + 15 (m →, n →) + 24 (n →, n →) \u003d 35 (m →, m →) + 71 (m →, n → ) + 24 (n →, n →)

Ennek eredményeként a következőket kapjuk:

(a →, b →) \u003d 35 (m →, m →) + 71 (m →, n →) + 24 (n →, n →).

Most alkalmazzuk a képletet a ponttermékre a feltétel által megadott szöggel:

(a →, b →) \u003d 35 (m →, m →) + 71 (m →, n →) + 24 (n →, n →) \u003d \u003d 35 m → 2 + 71 m → n → cos (m →, n → ^) + 24 n → 2 \u003d \u003d 35 3 2 + 71 3 2 cos π 2 + 24 2 2 \u003d 411.

Válasz: (a →, b →) \u003d 411

Ha van numerikus vetület.

6. példa

Keresse meg az a → és b → pont szorzatot. Az a → vektor koordinátái a → \u003d (9, 3, - 3), a b vetület koordinátákkal (- 3, - 1, 1) vannak.

Döntés

Hipotézis szerint az a → és a b → vetület ellentétesen irányulnak, mert a → \u003d - 1 3 · n p a → b → →, tehát a b → vetület megfelel az n p a → b → → hosszúságnak, és a „-” előjelnek:

n p a → b → → \u003d - n p a → b → → \u003d - (- 3) 2 + (- 1) 2 + 1 2 \u003d - 11,

A képletbe behelyettesítve a következő kifejezést kapjuk:

(a →, b →) \u003d a → n p a → b → → \u003d 9 2 + 3 2 + (- 3) 2 (- 11) \u003d - 33.

Válasz: (a →, b →) \u003d - 33.

Problémák egy ismert pont szorzattal, ahol meg kell találni egy vektor vagy egy numerikus vetület hosszát.

7. példa

Mekkora értéket kell λ venni egy adott skaláris szorzatra, a → \u003d (1, 0, λ + 1) és b → \u003d (λ, 1, λ) egyenlő lesz -1-gyel.

Döntés

A képlet azt mutatja, hogy meg kell találni a koordináták szorzatának összegét:

(a →, b →) \u003d 1 λ + 0 1 + (λ + 1) λ \u003d λ 2 + 2 λ.

Adott esetben (a →, b →) \u003d - 1.

A λ megtalálásához kiszámítjuk az egyenletet:

λ 2 + 2 λ \u003d - 1, ezért λ \u003d - 1.

Válasz: λ \u003d - 1.

A ponttermék fizikai jelentése

A mechanika figyelembe veszi a dot termék alkalmazását.

Ha az A állandó erővel F → dolgozik, a test az M pontról az N-re mozog, megtalálja az F → és M N → vektorok hosszának szorzatát a közöttük lévő szög koszinuszával, ami azt jelenti, hogy a munka megegyezik az erő és az elmozdulás vektorainak szorzatával:

A \u003d (F →, M N →).

8. példa

Egy anyagi pont 3 méteres mozgása 5 ntonnak megfelelő erő hatására a tengelyhez képest 45 fokos szögben irányul. Találni.

Döntés

Mivel a munka az erővektor és az elmozdulás szorzata, ez azt jelenti, hogy az F → \u003d 5, S → \u003d 3, (F →, S → ^) \u003d 45 ° feltétel alapján A \u003d (F →, S →) \u003d F → S → cos (F →, S → ^) \u003d 5 3 cos (45 °) \u003d 15 2 2.

Válasz: A \u003d 15 2 2.

9. példa

Az M (2, - 1, - 3) pontról N-re (5, 3 λ - 2, 4) az F → \u003d (3, 1, 2) erő hatására az anyagi pont 13 J. -val megegyező munkát végzett. Számítsa ki a mozgás hosszát.

Döntés

Az M N → vektor megadott koordinátáira M N → \u003d (5 - 2, 3 λ - 2 - (- 1), 4 - (- 3)) \u003d (3, 3 λ - 1, 7).

Az F → \u003d (3, 1, 2) és az MN → \u003d (3, 3 λ - 1, 7) vektorokkal végzett munka megtalálásának képletével megkapjuk A \u003d (F ⇒, MN →) \u003d 3 3 + 1 (3 λ) - 1) + 2 7 \u003d 22 + 3 λ.

Hipotézis szerint megadják, hogy A \u003d 13 J, ami azt jelenti, hogy 22 + 3 λ \u003d 13. Ezért λ \u003d - 3, ezért M N → \u003d (3, 3 λ - 1, 7) \u003d (3, - 10, 7).

Az M N → elmozdulás hosszának meghatározásához alkalmazza a képletet és helyettesítse az értékeket:

M N → \u003d 3 2 + (- 10) 2 + 7 2 \u003d 158.

Válasz: 158.

Ha hibát észlel a szövegben, válassza ki azt, és nyomja meg a Ctrl + Enter billentyűt

Független megoldásokra is lesznek feladatok, amelyekre láthatja a válaszokat.

Ha a feladatban a vektorok hosszát és a közöttük lévő szöget "ezüst tálra" mutatjuk be, akkor a probléma állapota és megoldása így néz ki:

1. példaVektorok vannak megadva. Keresse meg a vektorok pontszorzatát, ha hosszukat és a közöttük lévő szöget a következő értékek képviselik:

Egy másik meghatározás is érvényes, amely teljesen megegyezik az 1. definícióval.

2. definíció... A vektorok skaláris szorzata egy szám (skaláris), amely megegyezik ezen vektorok egyikének hosszának szorzatával, a másik vektor vetítésével az ezen vektorok által meghatározott tengelyre. Képlet a 2. definíció szerint:

Ezt a képletet használva oldjuk meg a problémát a következő fontos elméleti pont után.

A vektorok pontszorzatának meghatározása koordináták alapján

Ugyanaz a szám kapható, ha a szorzandó vektorokat koordinátáikkal adjuk meg.

3. meghatározás A vektorok pontszorzata egy szám, amely megegyezik a megfelelő koordináták páros szorzatainak összegével.

A felszínen

Ha két vektort és a síkot a kettőjük határozza meg derékszögű téglalap alakú koordináták

akkor ezeknek a vektoroknak a skaláris szorzata megegyezik a megfelelő koordinátáik páronkénti szorzatainak összegével:

.

2. példaKeresse meg a vektor vetületének a vektorral párhuzamos tengelyre vetített számértékét.

Döntés. Megtaláljuk a vektorok pont szorzatát koordinátáik páros szorzatainak összeadásával:

Most a kapott skaláris szorzatot a vektor hosszának és a vektorral párhuzamos tengelyen való vetületének szorzatához kell igazítanunk (a képlet szerint).

Megtaláljuk a vektor hosszát, mint a koordinátáinak négyzeteinek négyzetgyökét:

.

Felállítunk egy egyenletet és megoldjuk:

Válasz. A kívánt számérték mínusz 8.

Űrben

Ha két vektort és a teret a három derékszögű téglalap koordinátájuk határoz meg

,

akkor ezeknek a vektoroknak a skaláris szorzata megegyezik a megfelelő koordinátáik páronkénti szorzatainak összegével, csak már három koordináta létezik:

.

A szóban forgó módszerrel a ponttermék megtalálásának problémája a ponttermék tulajdonságainak elemzése után következik be. Mivel a feladatban meg kell határoznia, hogy a megszorzott vektorok milyen szöget zárnak be.

A vektorok ponttulajdonságai

Algebrai tulajdonságok

1. (elmozdulási tulajdonság: ponttermékük nagysága nem változik a megsokszorozódó vektorok helyeinek változásától).

2. (kombinációs tulajdonság számtényező tekintetében: egy vektor pontszorzata, szorozva valamilyen tényezővel, és egy másik vektor megegyezik ezen vektorok pont szorzatával, szorozva ugyanazzal a tényezővel).

3. (eloszlási tulajdonság a vektorok összege tekintetében: a két vektor két vektor összegének pontszorzata megegyezik az első vektor a harmadik vektor és a második vektor a harmadik vektor ponttermékeinek összegével).

4. (a vektor skaláris négyzete nagyobb, mint nulla), ha nem nulla vektor, és ha nulla vektor.

Geometriai tulajdonságok

A vizsgált művelet definícióiban már érintettük a két vektor közötti szög fogalmát. Ideje tisztázni ezt a fogalmat.

A fenti képen két vektor látható, amelyek közös eredetűek. És az első dolog, amire figyelni kell: két szög van e vektorok között - φ 1 és φ 2 ... Ezek közül a szögek közül melyik jelenik meg a vektorok ponttermékének definícióiban és tulajdonságaiban? A figyelembe vett szögek összege 2 π és ezért ezeknek a szögeknek a koszinusza egyenlő. A ponttermék definíciója csak a szög koszinuszát tartalmazza, a kifejezés értékét nem. De a tulajdonságokban csak egy sarok tekinthető. És ez az egyik a két szögből, amely nem haladja meg π , vagyis 180 fok. Az ábrán ezt a szöget jelöljük φ 1 .

1. Két vektort hívunk meg ortogonális és e vektorok szöge egyenes (90 fok vagy π / 2) ha ezen vektorok pont szorzata nulla :

.

A vektor algebra ortogonalitása két vektor merőlegessége.

2. Két nem nulla vektor alkotja éles sarok (0 és 90 fok között, vagy, ami ugyanaz - kevesebb π dot termék pozitív .

3. Két nem nulla vektor alkotja tompaszög (90 és 180 fok között, vagy, ami ugyanaz - több π / 2) csak akkor, ha azok a dot szorzat negatív .

3. példa A vektorokat koordinátákban adjuk meg:

.

Számítsa ki az adott vektorok összes párjának pontszorzatát. Milyen szöget (éles, egyenes, tompa) képeznek ezek a vektorpárok?

Döntés. Számolni fogunk a megfelelő koordináták szorzatainak összeadásával.

Negatív számot kapott, így a vektorok tompaszöget képeznek.

Pozitív számot kaptunk, így a vektorok hegyes szöget képeznek.

Nulla lett, így a vektorok derékszöget képeznek.

Pozitív számot kaptunk, így a vektorok hegyes szöget képeznek.

.

Pozitív számot kaptunk, így a vektorok hegyes szöget képeznek.

Önellenőrzéshez használhatja online számológép A vektorok pont szorzata és a közöttük lévő szög koszinusa .

4. példa Két vektor hossza és a közöttük lévő szög megadva:

.

Határozza meg, hogy a vektorok számának melyik értékén vannak merőlegesek (merőlegesek).

Döntés. A vektorokat megszorozzuk a polinomok szorzásának szabálya szerint:

Most számítsuk ki az egyes kifejezéseket:

.

Készítsünk egy egyenletet (a szorzat egyenlősége nullával), adjunk meg hasonló kifejezéseket és oldjuk meg az egyenletet:

Válasz: megkaptuk az értéket λ \u003d 1,8, amelyre a vektorok ortogonálisak.

5. példaBizonyítsuk be, hogy a vektor a vektorra merőleges (merőleges)

Döntés. Az ortogonalitás ellenőrzéséhez megsokszorozzuk a vektorokat és polinomként, helyettesítve ezzel a probléma utasításban megadott kifejezést:

.

Ehhez meg kell szorozni az első polinom minden egyes tagját (tagját) a második egyes tagjával, és hozzá kell adni a kapott termékeket:

.

Ennek eredményeként a töredék csökken a költségen. Az eredmény a következő:

Következtetés: a szorzás eredményeként nulla értéket kaptunk, ezért a vektorok ortogonalitása (merőlegessége) bebizonyosodik.

Maga oldja meg a problémát, majd nézze meg a megoldást

6. példa Tekintve a vektorok hosszát és, és a vektorok közötti szöget π / 4. Határozza meg, milyen értéken μ vektorok és kölcsönösen merőlegesek.

Önellenőrzéshez használhatja online számológép A vektorok pont szorzata és a közöttük lévő szög koszinusa .

A vektorok ponttermékének és az n dimenziós vektorok szorzatának mátrix ábrázolása

Néha az érthetőség kedvéért előnyös, ha két vektort reprezentálunk mátrix formájában. Ezután az első vektort sormátrixként ábrázoljuk, a másodikat pedig oszlopmátrixként:

Ekkor a vektorok skaláris szorzata lesz ezen mátrixok szorzata :

Az eredmény megegyezik azzal, amelyet a már figyelembe vett módszerrel kaptunk. Egyetlen számot kapunk, és a sormátrix szorzata az oszlopmátrix által szintén egyetlen szám.

Kényelmes az absztrakt n-dimenziós vektorok szorzatát ábrázolni mátrix formában. Tehát két négydimenziós vektor szorzata egy négy elemből álló sormátrix és egy szintén négy elemű oszlopmátrix szorzata lesz, két ötdimenziós vektor szorzata egy öt elemű és egy szintén öt elemű oszlopmátrix szorzata lesz, és így tovább.

7. példa Keresse meg a vektorpárok ponttermékeit

,

mátrixábrázolás segítségével.

Döntés. Az első vektorpár. Az első vektort sormátrixként, a másodikat pedig oszlopmátrixként ábrázoljuk. Ezen vektorok skaláris szorzatát az oszlopmátrix sormátrixának szorzataként találjuk meg:

Hasonlóképpen képviseljük a második párost és megtaláljuk:

Amint láthatja, az eredmények megegyeznek a 2. példában szereplő azonos párok eredményeivel.

Szög két vektor között

A két vektor közötti szög koszinuszának képletének levezetése nagyon szép és rövid.

A vektorok pontszorzatának kifejezése

(1)

koordináta formában először megtaláljuk az egységvektorok skaláris szorzatát. A vektor pontértéke önmagában definíció szerint:

A fenti képletben leírtak jelentése: a vektor pontszorzata önmagában megegyezik a hosszának négyzetével... A nulla koszinusz egyenlő eggyel, tehát mindegyik pálya négyzete egyenlő lesz eggyel:

Mivel a vektorok

páronként merőlegesek, akkor az egységvektorok páronkénti szorzata nulla lesz:

Most végezzük el a vektorpolinomok szorzását:

Az egyenlőség jobb oldalán helyettesítjük az egységvektorok megfelelő skaláris szorzatainak értékeit:

Megkapjuk a képletet a két vektor közötti szög koszinuszára:

8. példaHárom pontot adott A(1;1;1), B(2;2;1), C(2;1;2).

Keresse meg a sarkot.

Döntés. Keresse meg a vektorok koordinátáit:

,

.

A szög koszinuszának képletével megkapjuk:

Következésképpen:.

Önellenőrzéshez használhatja online számológép A vektorok pont szorzata és a közöttük lévő szög koszinusa .

9. példaKét vektor van megadva

Keresse meg a közöttük lévő összeget, különbséget, hosszúságot, pont szorzatot és szöget.

2. Különbség

Előadás: Vektor koordináták; a vektorok pont szorzata; vektorok közötti szög

Vektor koordináták

Tehát, mint korábban említettük, a vektorok egy irányított szegmensek, amelyeknek megvan a maga kezdete és vége. Ha az elejét és a végét néhány pont képviseli, akkor saját koordinátáik vannak egy síkon vagy a térben.

Ha minden pontnak megvan a saját koordinátája, akkor megkaphatjuk az egész vektor koordinátáit.

Tegyük fel, hogy van olyan vektorunk, amelynek a vektor elején és végén a következő jelölések és koordináták vannak: A (A x; Ay) és B (B x; By)

A vektor koordinátáinak megszerzéséhez le kell vonni a kezdet megfelelő koordinátáit a vektor végének koordinátáiból:

A vektor képletének meghatározásához a térben használja a következő képletet:

A vektorok pont szorzata

A ponttermék meghatározásának két módja van:

• Geometriai módon. Elmondása szerint a pont szorzat megegyezik e modulok értékeinek szorzatával a közöttük lévő szög koszinuszával.

• Algebrai jelentés. Az algebra szempontjából két vektor dot szorzata egy bizonyos mennyiség, amelyet a megfelelő vektorok szorzatának eredményeként kapunk.

Ha a vektorok térben vannak megadva, akkor hasonló képletet kell használni:

Tulajdonságok:

• Ha két egyforma vektort skalárisan szorzol, akkor a pont szorzatuk nem lesz negatív:

• Ha két azonos vektor skaláris szorzata kiderült, hogy egyenlő nullával, akkor ezeket a vektorokat nullának tekintjük:

• Ha egy vektort megszorzunk önmagával, akkor a skaláris szorzat megegyezik modulusának négyzetével:

• A skaláris szorzat kommunikatív tulajdonsággal rendelkezik, vagyis a skaláris szorzat nem változik a vektorok permutációjától:

• A nem nulla vektorok skaláris szorzata csak akkor lehet nulla, ha a vektorok egymásra merőlegesek:

• A vektorok skaláris szorzatára az elmozdulási törvény érvényes abban az esetben, ha az egyik vektorot megszorozzuk egy számmal:

• A dot termékkel a szorzás disztribúciós tulajdonságát is használhatja:

A vektorok közötti szög

A vektor és a dot szorzat megkönnyíti a vektorok közötti szög kiszámítását. Adjunk két $ \\ overline (a) $ és $ \\ overline (b) $ vektorot, amelyek orientált szöge $ \\ varphi $. Számítsa ki a $ x \u003d (\\ overline (a), \\ overline (b)) $ és $ y \u003d [\\ overline (a), \\ overline (b)] $ értékeket. Ezután $ x \u003d r \\ cos \\ varphi $, $ y \u003d r \\ sin \\ varphi $, ahol $ r \u003d | \\ overline (a) | \\ cdot | \\ overline (b) | $, és $ \\ varphi $ szükséges szög, vagyis a $ (x, y) $ pont poláris szöge egyenlő $ \\ varphi $ -val, ezért a $ \\ varphi $ atan2 (y, x) néven található.

A háromszög területe

Mivel a kereszt szorzat két vektorhossz szorzatát tartalmazza a közöttük lévő szög koszinuszával, a kereszt szorzat felhasználható az ABC háromszög területének kiszámítására:

$ S_ (ABC) \u003d \\ frac (1) (2) | [\\ overline (AB), \\ overline (AC)] | $.

Egy egyeneshez tartozó pont

Adjunk meg egy pontot $ P $ és egy egyenes vonalat AB AB $ (két pontból adva: $ A $ és $ B $). Ellenőrizni kell, hogy a pont a $ AB $ egyeneshez tartozik-e.

Egy pont akkor tartozik az $ AB $ egyeneshez, ha csak az $ AP $ és az $ AB $ vektorok kollineárisak, vagyis ha $ [\\ overline (AP), \\ overline (AB)] \u003d 0 $.

Pont egy sugárhoz tartozik

Adjon egy pontot P $ $ és egy $ AB $ sugarat (két pont adja meg - a $ A $ sugár eredete és a $ B $ sugár pontja). Ellenőrizni kell, hogy a pont az $ AB $ sugárhoz tartozik-e.

Annak a feltételnek, hogy a $ P $ pont az $ AB $ vonalhoz tartozik, hozzá kell adni egy további feltételt - az $ AP $ és az $ AB $ vektorok egyirányúak, vagyis kollineárisak, skaláris szorzatuk pedig nem negatív, vagyis $ (\\ overline (AB), \\ overline (AP )) \\ ge 0 $.

Egy pont egy vonalszakaszhoz tartozik

Adjon meg egy pontot P P $ és egy szegmenst $ AB $. Ellenőrizni kell, hogy a pont az $ AB $ szakaszhoz tartozik-e.

Ebben az esetben a pontnak az $ AB $ sugárnak és a $ BA $ sugárzásnak is kell lennie, ezért a következő feltételeket kell ellenőrizni:

$ [\\ overline (AP), \\ overline (AB)] \u003d 0 $,

$ (\\ overline (AB), \\ overline (AP)) \\ ge 0 $,

$ (\\ overline (BA), \\ overline (BP)) \\ ge 0 $.

Távolság ponttól vonalig

Adjunk meg egy pontot $ P $ és egy egyenes vonalat AB AB $ (két pontból adva: $ A $ és $ B $). Meg kell találni a távolságot az $ AB $ egyenes vonalától.

Vegyünk egy ABP háromszöget. Egyrészt a területe $ S_ (ABP) \u003d \\ frac (1) (2) | [\\ overline (AB), \\ overline (AP)] | $.

Másrészt a területe $ S_ (ABP) \u003d \\ frac (1) (2) h | AB | $, ahol $ h $ a $ P $ ponttól elejtett magasság, vagyis a $ P $ és a $ távolság AB $. Honnan $ h \u003d | [\\ overline (AB), \\ overline (AP)] | / | AB | $.

Pont a sugár távolsága

Adjon egy pontot P $ $ és egy $ AB $ sugarat (két pont adja meg - a $ A $ sugár eredete és a $ B $ sugár pontja). Meg kell találni a távolságot a ponttól a sugárig, vagyis a legrövidebb szakasz hosszát a $ P $ ponttól a sugár bármely pontjáig.

Ez a távolság megegyezik vagy az $ AP $ hosszúsággal, vagy pedig a $ P $ pont és az $ AB $ egyenes távolságával. Az esetek közül melyik történik, a nyaláb és a pont relatív helyzete alapján könnyen meghatározható. Ha a PAB szög éles, vagyis $ (\\ overline (AB), \\ overline (AP))\u003e 0 $, akkor a válasz a $ P $ pont és az $ AB $ egyenes vonal közötti távolság lesz, különben a válasz az $ AB $ szakasz hossza lesz.

Távolság ponttól vonalig

Adjon meg egy pontot P P $ és egy szegmenst $ AB $. Meg kell találni a távolságot a $ P $ és az $ AB $ szegmens között.

Ha a merőleges alapja $ P $ -ról a $ AB $ vonalra esett, akkor az $ AB $ szakaszra esik, amelyet a feltételek igazolhatnak

$ (\\ overline (AP), \\ overline (AB)) \\ ge 0 $,

$ (\\ overline (BP), \\ overline (BA)) \\ ge 0 $,

akkor a válasz a $ P $ pont és a $ AB $ egyenes távolsága. Ellenkező esetben a távolság $ \\ min (AP, BP) $ lesz.