Ebben a cikkben két vektor kereszttermékének koncepcióján fogunk foglalkozni. Megadjuk a szükséges definíciókat, felírunk egy képletet egy vektortermék koordinátáinak megkeresésére, felsoroljuk és megalapozzuk annak tulajdonságait. Ezt követően kitérünk két vektor vektortermékének geometriai jelentésére, és megvizsgáljuk a megoldásokat különféle tipikus példákra.

Oldal navigáció.

A vektortermék meghatározása.

Mielőtt meghatároznánk egy vektor szorzatot, derítsük ki a rendezett vektor hármas irányát a háromdimenziós térben.

Tegye félre a vektorokat egy pontból. A vektor irányától függően a hármas lehet jobb vagy bal. Nézzük meg a vektor végéből, hogyan történik a vektortól a legrövidebb forgás. Ha a legrövidebb forgás az óramutató járásával ellentétes irányban történik, akkor a vektorok hármasát hívjuk meg jobb, másképp - bal.

Most két nem kollináris vektort veszünk és. Tegyük félre a vektorokat és az A ponttól. Szerkesszünk valamilyen vektort, amely merőleges mind a, mind a és-re. Nyilvánvaló, hogy egy vektor felépítésekor két dolgot tehetünk, akár egy irányt, akár ellenkezőleg megadva (lásd az ábrát).

A vektor irányától függően a vektorok rendezett hármasa lehet jobb vagy bal.

Tehát közel állunk a vektortermék definíciójához. Két vektorra adjuk meg, amelyeket háromdimenziós tér téglalap alakú koordinátarendszerében adunk meg.

Meghatározás.

Két vektor vektor szorzata és a háromdimenziós tér téglalap alakú koordinátarendszerében megadva olyan vektornak nevezzük, hogy

A vektorok vektor szorzata, és ezt jelöljük.

Vektor termékkoordináták.

Most adjuk meg egy vektortermék második definícióját, amely lehetővé teszi, hogy megtalálja koordinátáit az adott vektorok és koordinátái alapján.

Meghatározás.

Háromdimenziós tér téglalap alakú koordinátarendszerében két vektor keresztterméke és egy vektor, ahol koordinátavektorok vannak.

Ez a meghatározás megadja a keresztterméket koordináta formában.

Kényelmes a vektorterméket a harmadik rendű négyzetmátrix determinánsának formájában ábrázolni, amelynek első sora az egységvektor, a második sor a vektor koordinátáit, a harmadik pedig a vektor koordinátáit tartalmazza egy adott téglalap alakú koordinátarendszerben:

Ha ezt a meghatározót kibővítjük az első sor elemeivel, akkor egyenlőséget kapunk a vektor szorzatának koordinátákban történő meghatározásából (ha szükséges, lásd a cikket):

Meg kell jegyezni, hogy a kereszttermék koordináta formája teljes mértékben összhangban van a cikk első bekezdésében megadott definícióval. Ezenkívül a kereszttermék e két meghatározása egyenértékű. Ennek a ténynek a bizonyítását a cikk végén található könyvben láthatja.

Vektor termék tulajdonságai.

Mivel a koordinátákban szereplő kereszttermék mátrix determináns formájában is ábrázolható, az alábbiak könnyen igazolhatók a vektor termék tulajdonságai:

Példaként bizonyítsuk be egy vektortermék anti-kommutativitási tulajdonságát.

Definíció szerint és ... Tudjuk, hogy a mátrix determinánsának értéke megfordul, ha két sort cserélünk, ezért , amely bizonyítja a vektortermék antikomutativitásának tulajdonságát.

Vektor termék - példák és megoldások.

Alapvetően háromféle feladat létezik.

Az első típusú problémáknál megadjuk két vektor hosszát és a közöttük lévő szöget, és meg kell találni a vektor szorzatának hosszát. Ebben az esetben a képletet alkalmazzuk .

Példa.

Keresse meg a vektorok szorzatának hosszát, és ha ismert .

Döntés.

A definícióból tudjuk, hogy a vektorok vektor szorzatának hossza megegyezik a vektorok hosszának és a közöttük lévő szög szinuszának szorzatával, ezért .

Válasz:

.

A második típusú problémák összefüggenek a vektorok koordinátáival, ezekben keresztterméket, hosszát vagy valami mást keresnek az adott vektorok koordinátáin keresztül és .

Sokféle lehetőség lehetséges. Például nem a vektorok koordinátái adhatók meg, hanem azok kitágulása a forma koordinátavektoraiban és, vagy vektorok, és megadhatók kezdő és végpontjuk koordinátáival.

Nézzük meg a tipikus példákat.

Példa.

Két vektor téglalap alakú koordináta-rendszerben van megadva ... Keresse meg a keresztterméküket.

Döntés.

A második meghatározás szerint két vektor koordinátájú kereszttermékét a következőképpen írják:

Ugyanarra az eredményre jutnánk, ha a keresztterméket a meghatározón keresztül írnánk

Válasz:

.

Példa.

Keresse meg a vektorok vektor szorzatának hosszát, és hol vannak egy téglalap alakú derékszögű koordinátarendszer egységvektorai!

Döntés.

Először megkeressük a vektor szorzatának koordinátáit adott téglalap alakú koordináta-rendszerben.

Mivel a vektorok és vannak koordinátáik, és ennek megfelelően (ha szükséges, lásd egy vektor cikk koordinátáit egy téglalap alakú koordináta-rendszerben), akkor a kereszttermék második definíciója alapján

Vagyis a kereszttermék rendelkezik egy koordinátarendszerrel.

Megtaláljuk a vektor szorzatának hosszát, mint a koordinátáinak négyzeteinek összegét képező négyzetgyökét (ezt a képletet egy vektor hosszúságára a vektor hosszának megkeresésére vonatkozó részben kaptuk):

Válasz:

.

Példa.

Három pont koordinátáit téglalap alakú derékszögű koordinátarendszerben adják meg. Találjon meg néhány vektor merőleges és egyidejűleg.

Döntés.

Vektorok és koordinátáik vannak, illetve rendre (lásd a cikket egy vektor koordinátáinak megkereséséről a pontok koordinátáin keresztül). Ha megtaláljuk a vektorok kereszttermékét, és definíció szerint ez mind k-re, mind k-re merőleges vektor, vagyis a problémánk megoldása. Keressük meg

Válasz:

- az egyik merőleges vektor.

A harmadik típusú problémáknál tesztelik a vektorok vektortermékének tulajdonságait. A tulajdonságok alkalmazása után a megfelelő képletek kerülnek alkalmazásra.

Példa.

A vektorok merőlegesek és hosszuk 3, illetve 4. Keresse meg a kereszttermék hosszát .

Döntés.

Egy vektortermék disztributivitásának tulajdonságával írhatunk

A kombinációs tulajdonság miatt a számítási együtthatókat kivesszük a vektortermékek előjelén kívül az utolsó kifejezésben:

A vektortermékek és egyenlőek nulla, mivel és , azután.

Mivel a kereszttermék antikommutatív, akkor.

Tehát a kereszttermék tulajdonságait felhasználva elértük az egyenlőséget .

Feltétel szerint a vektorok és merőlegesek, vagyis a közöttük lévő szög egyenlő. Vagyis minden adat megvan a szükséges hosszúság megtalálásához

Válasz:

.

A vektor szorzatának geometriai jelentése.

Definíció szerint a vektorok vektor szorzatának hossza ... És egy középiskolai geometria tanfolyamon tudjuk, hogy egy háromszög területe a háromszög két oldalának hosszának a szorzata a közöttük lévő szög szinuszának szorzata. Következésképpen a vektor szorzat hossza megegyezik a vektorokkal és oldalakkal ellátott háromszög területének kétszeresével, ha azokat egy ponttól félretesszük. Más szavakkal, a vektorok szorzatának hossza, és megegyezik az oldalakkal egy paralelogramma területével, és a közöttük lévő szög egyenlő. Ez egy vektortermék geometriai jelentése.

Mielőtt megadnánk egy vektortermék fogalmát, térjünk rá az a →, b →, c → vektorok rendezett háromszorosának háromdimenziós térben történő orientációjának kérdésére.

Tegyük félre az a →, b →, c → vektorokat egy pontból. Az a →, b →, c → hármas iránya lehet jobb vagy bal, attól függően, hogy maga a c vektor milyen irányú. Abból az irányból, amelyben a legrövidebb forgás történik az a → b vektoroktól a c → vektor végétől, meghatározzuk az a →, b →, c → hármas alakját.

Ha a legrövidebb forgás az óramutató járásával ellentétes irányban történik, akkor az a →, b →, c → vektorok hármasát hívjuk meg jobbha az óramutató járásával megegyező irányba - bal.

Ezután vegyen két nem kollináris vektort a → és b →. Halasszuk el az A B → \u003d a → és A C → \u003d b → vektorokat az A ponttól. Felépítünk egy A D → \u003d c → vektort, amely egyidejűleg merőleges mind A B →, mind A C → -ra. Így amikor maga a vektor A D → \u003d c → felépül, két dolgot tehetünk, akár egy irányt, akár ellenkezőleg adva meg (lásd az ábrát).

Az a →, b →, c → vektorok rendezett hármasa lehet, mint megtudtuk, a vektor irányától függően jobbra vagy balra.

A fentiekből bevezethetjük a kereszttermék definícióját. Ez a meghatározás két vektorra vonatkozik, amelyeket egy háromdimenziós tér téglalap alakú koordinátarendszerében határozunk meg.

1. meghatározás

Két a → és b → vektor vektor szorzata olyan vektort fogunk hívni, amelyet a háromdimenziós tér téglalap alakú koordinátarendszerében adunk meg, így:

• ha az a → és b → vektor kollináris, akkor nulla lesz;
• merőleges lesz az a → és a b → vektorra egyaránt, azaz ∠ a → c → \u003d ∠ b → c → \u003d π 2;
• hosszát a következő képlet határozza meg: c → \u003d a → b → sin ∠ a →, b →;
• az a →, b →, c → vektorok hármasa ugyanolyan tájolású, mint az adott koordináta-rendszer.

Az a → és b → vektorok vektor szorzatának a következő jelölése van: a → × b →.

Vektor termékkoordináták

Mivel bármelyik vektornak vannak bizonyos koordinátái a koordinátarendszerben, megadhatja a kereszttermék második definícióját, amely lehetővé teszi, hogy megtalálja annak koordinátáit a vektorok megadott koordinátái alapján.

2. definíció

Háromdimenziós tér téglalap alakú koordinátarendszerében két vektor vektorterméke a → \u003d (a x; a y; a z) és b → \u003d (b x; b y; b z) c vektornak nevezzük → \u003d a → × b → \u003d (ay bz - az by) i → + (az bx - ax bz) j → + (ax by - ay bx) k →, ahol i →, j →, k → koordinátavektorok.

A vektor szorzat képviselhető a harmadik rendű négyzetmátrix determinánsaként, ahol az első sor az i →, j →, k → egységvektorok vektorai, a második sor az a → vektor koordinátáit tartalmazza, a harmadik pedig a b → vektor koordinátáit tartalmazza egy adott téglalap alakú koordinátarendszerben, ez a mátrix meghatározója így néz ki: c → \u003d a → × b → \u003d i → j → k → axayazbxbybz

Ezt a meghatározót kibővítve az első sor elemeire, megkapjuk az egyenlőséget: c → \u003d a → × b → \u003d i → j → k → axayazbxbybz \u003d ayazbybz i → - axazbxbz j → + axaybxby k → \u003d \u003d a → × b → \u003d (ay bz - az by) i → + (az bx - ax bz) j → + (ax by - ay bx) k →

Vektor termék tulajdonságai

Ismert, hogy a koordinátákban kapott vektor szorzat a c → \u003d a → × b → \u003d i → j → k → a x a y a z b x b y b z mátrix determinánsaként jelenik meg, majd a mátrix determinánsának tulajdonságai a következő vektor termék tulajdonságai:

1. antikommutativitás a → × b → \u003d - b → × a →;
2. disztribúció a (1) → + a (2) → × b \u003d a (1) → × b → + a (2) → × b → vagy a → × b (1) → + b (2) → \u003d a → × b (1) → + a → × b (2) →;
3. asszociativitás λ a → × b → \u003d λ a → × b → vagy a → × (λ b →) \u003d λ a → × b →, ahol λ tetszőleges valós szám.

Ezeket a tulajdonságokat könnyű bizonyítani.

Például bebizonyíthatjuk egy vektortermék antikomutativitásának tulajdonságát.

Az antikommutativitás igazolása

Definíció szerint a → × b → \u003d i → j → k → a x a y a z b x b y b z és b → × a → \u003d i → j → k → b x b y b z a x a y a z. Ha pedig a mátrix két sorát átrendezzük, akkor a mátrix determinánsának az ellenkezőjére kell változnia, ezért a → × b → \u003d i → j → k → axayazbxbybz \u003d - i → j → k → bxbybzaxayaz \u003d - b → × a →, amely és bizonyítja a vektortermék antikomutativitását.

Vektor termék - példák és megoldások

A legtöbb esetben háromféle feladat létezik.

Az első típusú problémáknál általában megadják két vektor hosszát és a közöttük lévő szöget, de meg kell találnia a kereszttermék hosszát. Ebben az esetben használja a következő képletet c → \u003d a → b → sin ∠ a →, b →.

1. példa

Keresse meg az a → és b → vektorok vektor szorzatának hosszát, ha ismeri a → \u003d 3, b → \u003d 5, ∠ a →, b → \u003d π 4.

Döntés

Az a → és b → vektorok vektor szorzatának hosszának meghatározásával megoldjuk ezt a problémát: a → × b → \u003d a → b → sin ∠ a →, b → \u003d 3 5 sin π 4 \u003d 15 2 2.

Válasz: 15 2 2 .

A második típusú problémák kapcsolatban állnak a vektorok koordinátáival, bennük a kereszt szorzat, annak hossza stb. az adott vektorok ismert koordinátáin keresztül keresnek a → \u003d (a x; a y; a z) és b → \u003d (b x; b y; b z) .

Az ilyen típusú feladatokhoz sokféle feladatot megoldhat. Például nem az a → és b → vektor koordinátáit lehet megadni, hanem azok kiterjesztését a b → \u003d b x i → + b y j → + b z k → és c → \u003d a → × b → \u003d (ay bz - az by) i → + (az bx - ax bz) j → + (ax by - ay bx) k →, vagy az a → és b → vektorok megadhatók kezdő és végpontjuk koordinátáival.

Tekintsük a következő példákat.

2. példa

Két a → \u003d (2; 1; - 3), b → \u003d (0; - 1; 1) vektor téglalap alakú koordinátarendszerben van megadva. Keresse meg a keresztterméküket.

Döntés

A második definíció szerint két vektor vektor szorzatát találjuk meg adott koordinátákban: a → × b → \u003d (ay bz - az by) i → + (az bx - ax bz) j → + (ax by - ay Bx) k → \u003d \u003d (1 1 - (- 3) (- 1)) i → + ((- 3) 0 - 2 1) j → + (2 (- 1) - 1 0) k → \u003d \u003d - 2 i → - 2 j → - 2 k →.

Ha a keresztterméket a mátrix determinánsán keresztül írjuk, akkor ennek a példának a megoldása így néz ki: a → × b → \u003d i → j → k → axayazbxbybz \u003d i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 \u003d - 2 i → - 2 j → - 2 k →.

Válasz: a → × b → \u003d - 2 i → - 2 j → - 2 k →.

3. példa

Keresse meg az i → - j → és i → + j → + k → vektorok vektor szorzatának hosszát, ahol i →, j →, k → egy téglalap alakú derékszögű koordinátarendszer egységvektorai.

Döntés

Először megtaláljuk az adott i → - j → × i → + j → + k → vektor szorzat koordinátáit az adott téglalap alakú koordinátarendszerben.

Ismeretes, hogy az i → - j → és az i → + j → + k → vektoroknak koordinátái vannak (1; - 1; 0) és (1; 1; 1). Keressük meg a vektor szorzatának hosszát a mátrix determinánsának felhasználásával, majd megkapjuk i → - j → × i → + j → + k → \u003d i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 \u003d - i → - j → + 2 k → ...

Ezért az i → - j → × i → + j → + k → vektor szorzatnak vannak koordinátái (- 1; - 1; 2) az adott koordináta-rendszerben.

A vektor szorzatának hosszát a következő képlettel találjuk meg (lásd a vektor hosszának megtalálásával foglalkozó részt): i → - j → × i → + j → + k → \u003d - 1 2 + - 1 2 + 2 2 \u003d 6.

Válasz: i → - j → × i → + j → + k → \u003d 6. ...

4. példa

Téglalap alakú derékszögű koordinátarendszerben megadják három A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2) pont koordinátáit. Keressen egyszerre az A B → és A C → merőleges vektorokat.

Döntés

Az A B → és A C → vektoroknak a következő koordinátái vannak (- 1; 2; 2), illetve (0; 4; 1). Miután megtalálta az A B → és az A C → vektorok vektor szorzatát, nyilvánvaló, hogy definíció szerint merőleges vektor mind az A B →, mind az A C → vektorra, vagyis megoldást jelent problémánkra. Keressük meg A B → × A C → \u003d i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 \u003d - 6 i → + j → - 4 k →.

Válasz: - 6 i → + j → - 4 k →. - az egyik merőleges vektor.

A harmadik típusú problémák a vektorok vektor szorzatának tulajdonságainak felhasználására összpontosulnak. Melyik alkalmazása után megoldást kapunk az adott problémára.

5. példa

Az a → és b → vektorok merőlegesek, hosszuk 3, illetve 4. Keresse meg a 3 a → - b → × a → - 2 b → \u003d 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → \u003d \u003d 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →.

Döntés

Egy vektortermék eloszlási tulajdonságával 3 a → - b → × a → - 2 b → \u003d 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → \u003d \u003d 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

Az asszociativitás tulajdonságával a numerikus együtthatókat a vektor szorzatán kívülre mozgatjuk az utolsó kifejezésben: 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → \u003d \u003d 3 a → × a → + 3 (- 2) a → × b → + (- 1) b → × a → + (- 1) (- 2) b → × b → \u003d \u003d 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

Az a → × a → és b → × b → vektor szorzatok 0, mert a → × a → \u003d a → a → sin 0 \u003d 0 és b → × b → \u003d b → b → sin 0 \u003d 0, akkor 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b → \u003d - 6 a → × b → - b → × a →. ...

Mivel a vektor szorzata antikommutatív, ebből következik, hogy - 6 a → × b → - b → × a → \u003d - 6 a → × b → - (- 1) a → × b → \u003d - 5 a → × b →. ...

A vektor szorzatának tulajdonságait felhasználva megkapjuk a 3 a → - b → × a → - 2 b → \u003d \u003d - 5 a → × b → egyenlőséget.

Feltételezés szerint az a → és a b → vektor merőleges, vagyis a közöttük lévő szög π 2. Most már csak a megtalált értékeket kell helyettesíteni a megfelelő képletekkel: 3 a → - b → × a → - 2 b → \u003d - 5 a → × b → \u003d \u003d 5 a → × b → \u003d 5 a → b → · sin (a →, b →) \u003d 5 · 3 · 4 · sin π 2 \u003d 60.

Válasz: 3 a → - b → × a → - 2 b → \u003d 60.

A vektorok vektor szorzatának hossza rendezéssel egyenlő a → × b → \u003d a → b → sin ∠ a →, b →. Mivel már ismert (az iskolai tanfolyamból), hogy egy háromszög területe a két oldal hosszának szorzata, szorozva az ezen oldalak közötti szög szinuszával. Következésképpen a vektor szorzatának hossza megegyezik a paralelogramma területével - egy megduplázott háromszög, nevezetesen az oldalak szorzata az a → és b → vektorok formájában, amelyeket egy pontból elhalasztunk, a köztük lévő szög szinuszával sin a →, b →.

Ez a vektor szorzatának geometriai jelentése.

A vektortermék fizikai jelentése

A mechanikában a fizika egyik ága a vektor szorzatnak köszönhetően meghatározhatja az erő pillanatát a tér egy pontjához viszonyítva.

3. definíció

A B pontra alkalmazott F → erő pillanatával az A ponthoz képest a következő A B → × F → vektor szorzatot értjük.

Ha hibát észlel a szövegben, válassza ki azt, és nyomja meg a Ctrl + Enter billentyűt

Ebben a leckében még két vektor műveletet vizsgálunk meg: vektorok terméke és a vektorok vegyes terméke (azonnal linkeld, kinek kell pontosan)... Nem baj, néha előfordul, hogy a teljes boldogság érdekében a vektorok dot szorzata, egyre több kell. Ilyen a vektor-függőség. Lehet, hogy az a benyomásom támad, hogy az analitikai geometria dzsungelébe kerülünk. Ez nem igaz. A felsőbb matematika ezen szakaszában általában nincs elég tűzifa, csakhogy Buratino számára elég. Valójában az anyag nagyon gyakori és egyszerű - alig bonyolultabb, mint ugyanaz skaláris szorzat, még kevesebb lesz a tipikus feladat. Az elemző geometriában a legfontosabb, amint sokan meg lesznek győződve róla, vagy már meggyőződtek róla, hogy NEM HIBÁZNAK A SZÁMÍTÁSBAN. Ismételje meg varázslatként, és boldog leszel \u003d)

Ha a vektorok valahol messze szikráznak, mint a láthatáron lévő villámok, nem számít, kezdje a leckével Vektorok a bábukhoza vektorok alapismereteinek visszaszerzéséhez vagy visszaszerzéséhez. A felkészültebb olvasók szelektíven ismerkedhetnek meg az információkkal, igyekeztem összegyűjteni a legteljesebb példagyűjteményt, amely gyakran megtalálható a gyakorlati munkákban

Hogyan kérhetek azonnal? Amikor kicsi voltam, tudtam, hogyan kell zsonglőrködni két vagy akár három labdával. Ügyesen kiderült. Most már egyáltalán nem kell zsonglőrködnie, mivel megfontoljuk csak térbeli vektorok, és a két koordinátájú síkvektorok kimaradnak. Miért? Így születtek ezek a cselekvések - a vektorok és a vektorok vegyes termékei meghatározódnak és háromdimenziós térben működnek. Ez már könnyebb!

Ez a művelet a ponttermékhez hasonlóan magában foglalja két vektor... Legyenek ezek elmaradhatatlan betűk.

Maga az akció jelölve a következő módon:. Vannak más lehetőségek is, de én a vektorok szorzatát szoktam így jelölni szögletes zárójelben, kereszttel.

És azonnal kérdés: ha be a vektorok dot szorzata két vektor érintett, és itt is két vektor szorozódik mi a különbség? A nyilvánvaló különbség elsősorban az EREDMÉNYBEN van:

A vektorok pontszorzatának eredménye NUMBER:

A vektorok vektor szorzata VECTOR-ot eredményez:, vagyis megsokszorozzuk a vektorokat, és ismét kapunk egy vektort. Bezárt klub. Tulajdonképpen innen ered a művelet neve. A különböző oktatási szakirodalomban a megnevezések is változhatnak, én a betűt fogom használni.

Kereszttermék meghatározása

Először lesz egy meghatározás képpel, majd megjegyzések.

Meghatározás: Vektortermék szerint nem kollináris vektorok, ebben a sorrendben, VECTOR néven hossz amely számszerűen megegyezik a paralelogramma területévelezekre a vektorokra épül; vektor a vektorokkal merőleges , és úgy irányul, hogy az alap helyes irányultságú legyen:

Csontonként elemezzük a definíciót, sok érdekes dolog van!

Tehát a következő lényeges pontokat lehet kiemelni:

1) Az eredeti vektorok, definíció szerint piros nyilakkal jelölve nem kollináris... A kollináris vektorok esetét kissé később érdemes megvizsgálni.

2) Vektorokat veszünk szigorúan meghatározott sorrendben: – "A" szorozva "bh", és nem "bh" az "a" -ra. A vektor szorzásának eredménye a VEKTOR, amelyet kék színnel jelölnek. Ha a vektorokat fordított sorrendben szorozzuk meg, akkor egy hosszú és egyenlő irányú (bíbor színű) vektort kapunk. Vagyis az egyenlőség igaz .

3) Most ismerkedjünk meg a vektor szorzatának geometriai jelentésével. Ez egy nagyon fontos pont! A kék vektor (és ezért a bíborvörös) HOSSZA numerikusan megegyezik a vektorokra épített paralelogramma TERÜLETÉVEL. Az ábrán ez a paralelogramma fekete színnel van árnyékolva.

jegyzet : a rajz sematikus, és természetesen a kereszt szorzat névleges hossza nem egyenlő a paralelogramma területével.

Felidézzük az egyik geometriai képletet: a paralelogramma területe megegyezik a szomszédos oldalak szorzatával a közöttük lévő szög szinuszával... Ezért a fentiek alapján érvényes a vektortermék HOSSZÚ számításának képlete:

Hangsúlyozom, hogy a képletben a vektor HOSSZÁJÁRÓL beszélünk, és nem magáról a vektorról. Mi a gyakorlati szempont? A jelentése az, hogy az analitikai geometria problémáiban a paralelogramma területe gyakran megtalálható egy vektortermék fogalmán keresztül:

Vegyük elő a második fontos képletet. A paralelogramma átlója (piros pontozott vonal) két egyenlő háromszögre osztja. Ezért a vektorokra épített háromszög területe (vörös árnyékolás) a következő képlettel határozható meg:

4) Ugyanilyen fontos tény, hogy a vektor ortogonális a vektorokkal, vagyis ... Természetesen az ellentétesen irányított vektor (bíborvörös nyíl) szintén merőleges az eredeti vektorokkal.

5) A vektor úgy van irányítva, hogy alapján Megvan jobb irányultság. A leckében kb új alapra való áttérés Megfelelően részletesen beszéltem sík orientáció, és most kitaláljuk, mi a tér orientációja. Megmagyarázom az ujjaidon jobb kéz... Lelki kombináció mutatóujj vektorral és középső ujj vektorral. Gyűrűsujj és pinky nyomja a tenyérhez. Ennek eredményeként hüvelykujj - a kereszttermék fel fog nézni. Ez a jobbra orientált alap (az ábrán ez). Most cserélje ki a vektorokat ( mutató- és középső ujjak) néhány helyen ennek eredményeként a hüvelykujj kibontakozik, és a kereszttermék már lefelé néz. Ez is egy jobb orientált alap. Talán van egy kérdése: mi alapja van a bal orientációnak? "Hozzárendelés" ugyanazokhoz az ujjakhoz bal kéz vektorokat, és kapjuk meg a tér bal alapját és bal irányát (ebben az esetben a hüvelykujj az alsó vektor irányába helyezkedik el)... Átvitt értelemben ezek az alapok különböző irányokban "csavarják" vagy orientálják a teret. És ezt a fogalmat nem szabad valami távoli vagy elvont dolognak tekinteni - így például a tér tájolását megváltoztatja a legáltalánosabb tükör, és ha „kihúzza a visszaverődött tárgyat a nézőüvegből”, akkor általában nem lesz lehetséges az „eredetivel” kombinálni. Egyébként hozz három ujjat a tükörhöz, és elemezd a reflexiót ;-)

... milyen jó, hogy most tudsz róla jobbra és balra orientált alapokat, mert egyes oktatók állításai a tájékozódás változásáról szörnyűek \u003d)

A kollináris vektorok keresztterméke

A definíciót részletesen elemezték, továbbra is meg kell találni, mi történik, ha a vektorok kollineárisak. Ha a vektorok kollineárisak, akkor egy egyenesen helyezkedhetnek el, és a paralelogrammunk is egy egyenesre "hajtogat". Ilyenek területe, ahogy a matematikusok mondják, elfajzott a paralelogramma nulla. Ugyanez következik a képletből - a nulla vagy 180 fok szinusz egyenlő nulla, ami azt jelenti, hogy a terület nulla

Így, ha, akkor és ... Megjegyezzük, hogy maga a kereszt szorzat megegyezik a nulla vektorral, de a gyakorlatban ezt gyakran elhanyagolják és azt írják, hogy nulla is.

Különleges eset a vektor önmagában vektorterméke:

A kereszttermék segítségével ellenőrizheti a háromdimenziós vektorok kollinearitását, és elemezzük többek között ezt a problémát is.

Gyakorlati példák megoldásához szükség lehet trigonometrikus táblázathogy megtalálja belőle a szinuszértékeket.

Indítsunk tüzet:

1. példa

a) Keresse meg a vektorok vektor szorzatának hosszát, ha

b) Keresse meg a vektorokra épített paralelogramma területét, ha

Döntés: Nem, ez nem elírás, szándékosan a záradékokban szereplő kezdeti adatokat tettem ugyanazokká. Mert a megoldások kialakítása más lesz!

a) Feltétel szerint meg kell találni hossz vektor (vektortermék). A megfelelő képlet szerint:

Válasz:

Mivel a kérdés a hosszúságra vonatkozott, a válaszban a dimenziót - egységeket jelezzük.

b) Feltétel szerint meg kell találni terület vektorokra épített paralelogramma. A paralelogramma területe numerikusan megegyezik a vektor szorzatának hosszával:

Válasz:

Felhívjuk figyelmét, hogy a vektortermékre adott válasz egyáltalán nem jöhet szóba, tőlünk kérdezték ábra területe, illetve a méret négyzetegység.

Mindig megnézzük, hogy MIT kell megkeresni a feltétel alapján, és ennek alapján megfogalmazzuk egyértelmű válasz. Lehet, hogy literálizmusnak tűnik, de a tanárok között van elég literál, és a jó eséllyel rendelkező feladat visszatér a felülvizsgálatra. Bár ez nem különösebben szigorú nyaggatás - ha a válasz helytelen, akkor úgy tűnik, hogy az illető nem érti az egyszerű dolgokat és / vagy nem érti a feladat lényegét. Ezt a pillanatot mindig kordában kell tartani, megoldva a felső matematika és más tantárgyak problémáit.

Hová tűnt a nagy "en" betű? Elvileg hozzá lehetett volna adni a megoldáshoz, de a felvétel lerövidítése érdekében nem tettem. Remélem, hogy mindenki megérti ezt, és ugyanannak a megjelölése.

Népszerű példa a "csináld magad" megoldásra:

2. példa

Keresse meg a vektorokra épített háromszög területét, ha

A háromszög területének keresztterméken keresztüli megtalálásának képletét a definícióhoz fűzött megjegyzések adják meg. Megoldás és válasz a lecke végén.

A gyakorlatban a feladat valóban nagyon gyakori, a háromszögek általában kínozhatnak.

További szükséges problémák megoldásához:

Vektor termék tulajdonságai

A kereszttermék néhány tulajdonságát már megvizsgáltuk, azonban felveszem őket ebbe a listába.

Tetszőleges vektorok és tetszőleges szám esetén a következő tulajdonságok érvényesek:

1) Más információforrásokban ezt a tételt általában nem emelik ki a tulajdonságokban, de gyakorlati szempontból nagyon fontos. Tehát legyen.

2) - az ingatlant fentebb is tárgyaltuk, néha hívják antikommutativitás... Más szavakkal, a vektorok sorrendje számít.

3) - kombináció vagy asszociációs egy vektortermék törvényei. Az állandókat zökkenőmentesen eltávolítják a vektorterméken kívül. Valóban, mit csináljanak ott?

4) - elosztás vagy elosztó egy vektortermék törvényei. A zárójelek bővítésével sincsenek gondok.

Bemutatásként vegyünk egy rövid példát:

3. példa

Keresse meg, ha

Döntés: Feltétel szerint ismét meg kell találni a kereszttermék hosszát. Írjuk meg az indexképünket:

(1) Az asszociatív törvények szerint az állandókat elmozdítjuk a vektor szorzatból.

(2) Az állandót kimozdítjuk a modulból, míg a modul "megeszi" a mínuszjelet. A hossz nem lehet negatív.

(3) A következők egyértelműek.

Válasz:

Ideje fát tűzni:

4. példa

Számítsa ki a vektorokra épített háromszög területét, ha

Döntés: A háromszög területét a képlet határozza meg ... A fogás az, hogy a "tse" és a "de" vektorok maguk is vektorok összegeként vannak ábrázolva. Az algoritmus itt szabványos, és némileg emlékeztet a lecke 3. és 4. példájára A vektorok pont szorzata... Az egyértelműség kedvéért osszuk fel a megoldást három szakaszra:

1) Az első lépésben kifejezzük a vektorterméket a vektortermékkel, valójában fejezzük ki a vektort a vektor szempontjából... A hosszakról még egy szót sem!

(1) Helyettesítse a vektor kifejezéseket.

(2) Az eloszlási törvények felhasználásával kibővítjük a zárójeleket a polinomok szorzásának szabálya szerint.

(3) Asszociatív törvények segítségével az összes állandót elmozdítjuk a vektor szorzaton kívülre. Kis tapasztalattal a 2. és a 3. művelet egyszerre hajtható végre.

(4) Az első és az utolsó tag egyenlő nulla (nulla vektor) egy kellemes tulajdonság miatt. A második kifejezésben a vektortermék anti-kommutativitási tulajdonságát használjuk:

(5) Hasonló kifejezéseket mutatunk be.

Ennek eredményeként a vektort a vektorban fejeztük ki, amit el kellett érni:

2) A második lépésben megtaláljuk a szükséges vektortermék hosszát. Ez a művelet hasonlít a 3. példához:

3) Keresse meg a szükséges háromszög területét:

A 2-3 döntést egy sorban lehetne befejezni.

Válasz:

A vizsgált probléma meglehetősen gyakori a tesztdokumentumokban, itt egy példa a független megoldásra:

5. példa

Keresse meg, ha

Rövid megoldás és válasz a bemutató végén. Lássuk, milyen óvatos voltál az előző példák tanulmányozásakor ;-)

Vektorok vektor szorzataiban

ortonormális alapon adva, képlettel kifejezve:

A képlet nagyon egyszerű: a determináns felső sorába írjuk a koordinátavektort, a második és a harmadik vonalba „tesszük” a vektorok koordinátáit, és tesszük szigorú sorrendben - először a "ve" vektor koordinátái, majd a "double-ve" vektor koordinátái. Ha a vektorokat más sorrendben kell megszorozni, akkor a vonalakat fel kell cserélni:

10. példa

Ellenőrizze, hogy a következő űrvektorok kollinárisak-e:
és)
b)

Döntés: Az ellenőrzés a lecke egyik állításán alapszik: ha a vektorok kollineárisak, akkor kereszttermékük egyenlő nulla (nulla vektor): .

a) Keresse meg a keresztterméket:

Tehát a vektorok nem egyenesek.

b) Keresse meg a keresztterméket:

Válasz: a) nem kollineáris, b)

Talán itt van az összes alapvető információ a vektorok vektortermékéről.

Ez a szakasz nem lesz túl nagy, mivel nem sok olyan feladat van, ahol a vektorok vegyes szorzatát használják. Valójában minden a definíción, a geometriai jelentésen és néhány működő képleten nyugszik.

A vektorok vegyes szorzata három vektor szorzata:

Tehát beálltak egy kis vonattal és várnak, alig várják, hogy rájöjjenek.

Először ismét a meghatározás és a kép:

Meghatározás: Vegyes munka nem koplanáris vektorok, ebben a sorrendbennak, nek hívják párhuzamos oldalú hangerő, az adott vektorokra épülve, „+” jellel ellátva, ha az alap megfelelő, és „-” előjellel, ha az alap megmaradt.

Teljesítsük a rajzot. A számunkra láthatatlan vonalakat szaggatott vonallal rajzoljuk meg:

Merüljön el a definícióban:

2) Vektorokat veszünk bizonyos sorrendben, vagyis a termékben lévő vektorok permutációja, mint azt sejteni lehet, nem múlik el következmények nélkül.

3) Mielőtt hozzászólnék a geometriai jelentéshez, meg kell jegyeznem egy nyilvánvaló tényt: a vektorok vegyes szorzata SZÁM:. Az oktatási szakirodalomban a tervezés némileg eltérhet, én egy vegyes alkotást és a számítások eredményét "pe" betűvel szoktam jelölni.

Definíció szerint vegyes termék egy párhuzamos cső térfogata, vektorokra épül (az ábrát piros vektorokkal és fekete vonalakkal rajzoljuk). Vagyis a szám megegyezik ennek a párhuzamosnak a térfogatával.

jegyzet : a rajz sematikus.

4) Ne izzadjunk újra az alap és a tér orientációjának koncepciójával. Az utolsó rész jelentése az, hogy mínuszjel adható a kötethez. Egyszerű szavakkal, a vegyes munka negatív lehet :.

A vektorokra épített párhuzamos oldalú térfogat kiszámításának képlete közvetlenül a definícióból következik.

7.1. Kereszttermék meghatározása

Három nem koplanáris a, b és c vektor a megadott sorrendben alkot jobb oldali tripletet, ha a harmadik c vektor végétől az első a vektortól a második b vektorig terjedő legrövidebb forgás az óramutató járásával ellentétes irányban, a bal pedig, ha az óramutató járásával megegyező irányban látható (lásd. . tizenhat).

Az a vektor vektorterméke egy b vektor által egy c vektor, amely:

1. Merőleges az a és b vektorokra, vagyis c ^ a és c ^ b;

2. Hossza numerikusan megegyezik az a és a vektorokra épített paralelogramma területévelbmint az oldalain (lásd a 17. ábrát), azaz.

3. Az a, b és c vektorok alkotják a jobb oldali triplettet.

A keresztterméket a x b vagy [a, b] jelöléssel látjuk el. A vektortermék meghatározása közvetlenül magában foglalja a következő kapcsolatokat az i vektorok között, j és k(lásd a 18. ábrát):

i x j \u003d k, j x k \u003d i, k x i \u003d j.
Bizonyítsuk be például ezti хj \u003d k.

1) k ^ i, k ^ j;

2) | k | \u003d 1, de | i x j| \u003d | i | | J | sin (90 °) \u003d 1;

3) az i, j és a vektorok k képezzen egy jobb oldali tripletet (lásd 16. ábra).

7.2. Vektor termék tulajdonságai

1. A tényezők átrendeződésével a vektor szorzata előjelet vált; a хb \u003d (b хa) (lásd 19. ábra).

Az a хb és b ha vektorok kollineárisak, ugyanazokkal a modulusokkal rendelkeznek (a paralelogramma területe változatlan marad), de ellentétes irányú (ellentétes irányú hármasok a, b, a хb és a, b, b x a). Vagyis a xb = -(b xa).

2. A vektor szorzata rendelkezik a skaláris tényezővel való kombinációs tulajdonsággal, vagyis l (a хb) \u003d (l а) х b \u003d а х (l b).

Legyen l\u003e 0. Az l (a xb) vektor merőleges az a és b vektorokra. Vektor ( la) x bmerőleges az a és a vektorokra is b(a, lés ugyanabban a síkban fekszenek). Ezért a vektorok l(a xb) és ( la) x bkollináris. Nyilvánvaló, hogy irányuk egybeesik. Azonos hosszúságúak:

ezért l(a хb) \u003d la xb. Hasonlóan bebizonyosodott l<0.

3. Két nem nulla vektor a és bkollináris akkor és csak akkor, ha kereszttermékük megegyezik a nulla vektorral, azaz a || b<=>a xb \u003d 0.

Különösen i * i \u003d j * j \u003d k * k \u003d 0.

4. A vektortermék eloszlási tulajdonsággal rendelkezik:

(a + b) xc \u003d a xc + b xc.

Bizonyítás nélkül elfogadjuk.

7.3. Keresztérték kifejezés a koordinátákban

Az i vektorok kereszttermék táblázatát fogjuk használni, jés k:

ha az első vektortól a másodikig terjedő legrövidebb út iránya egybeesik a nyíl irányával, akkor a szorzat megegyezik a harmadik vektorral, ha nem, akkor a harmadik vektort mínuszjel veszi fel.

Legyen két a \u003d a x i + a y vektor j + a z kés b \u003d b x én + b y j + b z k ... Keresse meg ezen vektorok kereszttermékét, megszorozva őket polinomként (a kereszttermék tulajdonságainak megfelelően):

Az így kapott képlet még rövidebb módon írható:

mivel az egyenlőség jobb oldala (7.1) megfelel az első sor elemeit tekintve a harmadrendű determináns bővülésének: Az egyenlőség (7.2) könnyen megjegyezhető.

7.4. A vektormunka egyes alkalmazásai

Collinear vektorok megállapítása

A paralelogramma és a háromszög területének megkeresése

A vektorok vektor szorzatának meghatározása szerint ésés b | a xb | \u003d | a | * | b | sin g, vagyis S pár \u003d \u003d a x b |. Ezért D S \u003d 1/2 | a x b |.

Az erő pillanatának meghatározása egy ponthoz viszonyítva

Alkalmazzunk erőt az A pontban F \u003d ABhadd menjen RÓL RŐL- a tér valamilyen pontja (lásd 20. ábra).

A fizikából ismert, hogy erő pillanat F ponthoz viszonyítva RÓL RŐL vektort nevezzük M,amely átmegy a lényegen RÓL RŐLés:

1) merőleges a pontokon áthaladó síkra O, A, B;

2) numerikusan megegyezik a vállonkénti erő szorzatával

3) az OA és az A B vektorokkal alkot egy jobb oldali tripletet.

Ezért M \u003d OA x F.

A lineáris forgási sebesség megtalálása

Sebesség vszögsebességgel forgó merev test M pontja wegy rögzített tengely körül az Euler képlet határozza meg, ahol v \u003d w хr, ahol r \u003d ОМ, ahol О a tengely valamilyen rögzített pontja (lásd 21. ábra).

HÁROM VEKTOR VEGYES TERMÉKE ÉS TULAJDONSÁGAI

Vegyes munka három vektort egyenlőnek nevezünk. Jelölve ... Itt az első két vektort szorozzuk vektorral, majd a kapott vektort skalárisan megszorozzuk a harmadik vektorral. Nyilvánvaló, hogy egy ilyen termék egy bizonyos szám.

Vegye figyelembe a kevert termék tulajdonságait.

1. Geometriai jelentés vegyes munka. 3 vektor vegyes szorzata, egy előjelig, megegyezik az ezekre a vektorokra épített párhuzamos cső térfogatával, mint az éleken, azaz ...

   Így és .

   

   Bizonyíték... Tegyünk félre a közös eredetű vektorokat, és építsünk rájuk párhuzamosat. Ezt jelöljük és megjegyezzük. A ponttermék meghatározása szerint

   Ha ezt feltételezzük és ezzel jelöljük h a párhuzamos cső magasságát találjuk.

   Így a

   Ha, akkor és. Következésképpen:.

   Mindkét esetet ötvözve, ill.

   Különösen e tulajdonság bizonyításából következik, hogy ha a vektorok hármasának igaza van, akkor ez egy vegyes termék, és ha megmaradt, akkor.

2. Bármely vektor esetében az egyenlőség

   Ennek a tulajdonságnak az igazolása az 1. tulajdonságból következik. Valóban könnyű megmutatni, hogy és. Sőt, a "+" és a "-" jeleket egyszerre vesszük, mert a vektorok közötti szögek és és élesek vagy tompák.

3. Bármely két tényező permutációja után a vegyes termék előjelet vált.

   Valóban, ha vegyes munkát vesszük figyelembe, akkor például, ill

4. Vegyes termék akkor és csak akkor, ha az egyik tényező nulla, vagy a vektorok koplanárisak.

   Bizonyíték.

   Így 3 vektor koplanaritásának szükséges és elégséges feltétele a vegyes termék nullával való egyenlősége. Ezenkívül ez azt jelenti, hogy három vektor képez alapot a térben, ha.

   Ha a vektorokat koordináta formában adjuk meg, akkor kimutatható, hogy vegyes termékeiket a következő képlettel találjuk meg:

   .

   Tehát a vegyes termék megegyezik a harmadik rend determinánsával, amelyben az első vonal az első vektor koordinátáit, a második vonal a második vektor koordinátáit, a harmadik vonal pedig a harmadik vektort tartalmazza.

   Példák.

ELEMZŐ GEOMETRIA A TÉRBEN

Az egyenlet F (x, y, z) \u003d 0 meghatározza a térben Oxyz valamilyen felület, azaz azoknak a pontoknak a helye, amelyek koordinátái x, y, z teljesítse ezt az egyenletet. Ezt az egyenletet a felület egyenletének nevezzük, és x, y, z - aktuális koordináták.

Azonban gyakran a felületet nem egyenlet adja, hanem a tér olyan pontjainak halmaza, amelyek rendelkeznek ezzel vagy azzal a tulajdonsággal. Ebben az esetben meg kell találni a felület egyenletét geometriai tulajdonságai alapján.

REPÜLŐGÉP.

NORMÁL SÍKVEKTOR.

A megadott ponton áthaladó repülőgép egyenlete

Tekintsünk egy tetszőleges σ síkot a térben. Helyzetét egy erre a síkra merőleges vektor és valamilyen rögzített pont megadásával határozzuk meg M 0(x 0, y 0, z 0) a síkban fekszik σ.

Az σ síkra merőleges vektort nevezzük normál ennek a síknak a vektora. Legyen a vektor koordinátája.

Vezetjük le az ezen a ponton áthaladó σ sík egyenletét M 0 és amelynek normál vektora van. Ehhez vegyen egy tetszőleges pontot a σ síkon M (x, y, z) és tekintsünk egy vektort.

Bármely pontra MÎ σ vektor, ezért skaláris szorzatuk nulla. Ez az egyenlőség az a feltétel, hogy a lényeg MÎ σ. Ez a sík minden pontjára érvényes, és a pont megsértésekor sérül M a σ síkon kívül lesz.

Ha a pont sugárvektorával jelöljük M, A pont sugárvektora M 0, akkor az egyenlet formába írható

Ezt az egyenletet nevezzük vektor a sík egyenlete. Írjuk le koordináta formában. Azóta

Tehát megkaptuk az ezen a ponton áthaladó sík egyenletét. Így a sík egyenletének megalkotásához ismernie kell a normál vektor koordinátáit és a síkon fekvő valamely pont koordinátáit.

Vegye figyelembe, hogy a sík egyenlete az 1. fok egyenlete az aktuális koordinátákhoz képest x, y és z.

Példák.

A SÍK ÁLTALÁNOS EGYENLETÉSE

Megmutatható, hogy az első fok bármelyik egyenlete a derékszögű koordinátákhoz viszonyítva x, y, z valamilyen sík egyenlete. Ez az egyenlet a következőképpen íródott:

Ax + By + Cz + D=0

és felhívta általános egyenlet sík és a koordináták A, B, C itt vannak a sík normálvektorának koordinátái.

Tekintsük az általános egyenlet egyes eseteit. Tudjuk meg, hogy a sík hogyan helyezkedik el a koordinátarendszerhez képest, ha az egyenlet egy vagy több együtthatója eltűnik.

A a sík által a tengelyen elvágott vonal hossza Ökör... Hasonlóképpen ezt is meg lehet mutatni b és c - a kérdéses sík által a tengelyeken levágott szakaszok hossza Oy és Oz.

Könnyű a síkegyenletet vonalvezetésekben használni síkok felépítéséhez.