Amit egy algebrai tört értékének nevezünk. Videólecke „Algebrai törtek

Ez a lecke az algebrai tört fogalmával foglalkozik. Az emberek a legegyszerűbb élethelyzetekben találkoznak a törtekkel: amikor egy tárgyat több részre kell osztani, például egy tortát tíz emberre kell felvágni. Nyilván mindenki kap egy darabot a tortából. Ebben az esetben a numerikus tört fogalmával állunk szemben, de lehetséges olyan helyzet, amikor egy objektumot ismeretlen számú részre osztunk, például x-szel. Ebben az esetben felmerül a törtkifejezés fogalma. Már a 7. osztályban megismerkedtél az egész kifejezésekkel (nem tartalmazzák a változós kifejezésekre bontást) és azok tulajdonságait. Ezután megvizsgáljuk a racionális tört fogalmát, valamint a változók elfogadható értékeit.

Tantárgy:Algebrai törtek. Aritmetikai műveletek algebrai törtekkel

Lecke:Alapfogalmak

1. Az algebrai törtek definíciója és példái

A racionális kifejezések fel vannak osztva egész és tört kifejezések.

Meghatározás. Racionális tört az alak törtkifejezése, ahol polinomok vannak. - számláló nevező.

Példák racionális kifejezések:- tört kifejezések; - egész kifejezések. Az első kifejezésben például a számláló , a nevező pedig .

Jelentése algebrai tört mint bárki algebrai kifejezés, a benne szereplő változók számértékétől függ. Különösen az első példában a tört értéke a és a változók értékétől függ, a második példában pedig csak a változó értékétől.

2. Egy algebrai tört értékének kiszámítása és két alapvető törtfeladat

Nézzük az első tipikus feladatot: az érték kiszámítását racionális tört a benne szereplő változók különböző értékeire.

Példa 1. Számítsa ki az a) , b) , c) tört értékét

Megoldás. Helyettesítsük be a változók értékeit a jelzett törtbe: a) , b) , c) - nem létezik (mivel nem lehet nullával osztani).

Válasz: 3; 1; nem létezik.

Amint látja, két tipikus probléma merül fel bármely tört esetén: 1) a tört kiszámítása, 2) a keresés érvényes és érvénytelen értékek betűváltozók.

Meghatározás. Érvényes változóértékek- azon változók értékei, amelyeknél a kifejezésnek értelme van. A változók összes lehetséges értékének halmazát hívják ODZ vagy tartomány.

3. Változók elfogadható (ADV) és nem elfogadható értékei törtekben egy változóval

A literális változók értéke érvénytelen lehet, ha ezeknél az értékeknél a tört nevezője nulla. Minden más esetben a változók értékei érvényesek, mivel a tört kiszámítható.

2. példa Határozza meg, hogy a változó mely értékeinél nincs értelme a törtnek.

Megoldás. Ahhoz, hogy ez a kifejezés értelmet nyerjen, szükséges és elegendő, hogy a tört nevezője ne legyen egyenlő nullával. Így a változónak csak azok az értékei lesznek érvénytelenek, amelyeknél a nevező egyenlő nullával. A tört nevezője , így megoldjuk a lineáris egyenletet:

Ezért a változó értékét figyelembe véve a törtnek nincs jelentése.

A példa megoldásából következik a változók érvénytelen értékeinek megtalálásának szabálya - a tört nevezője nulla, és a megfelelő egyenlet gyökerei találhatók.

Nézzünk több hasonló példát.

3. példa Határozza meg, hogy a változó mely értékeinél nincs értelme a törtnek.

Megoldás. .

Válasz. .

4. példa Határozza meg, hogy a változó mely értékeinél nincs értelme a törtnek.

Megoldás..

Ennek a problémának más megfogalmazásai is vannak - találja meg tartomány vagy elfogadható kifejezési értékek tartománya (APV). Ez azt jelenti, hogy meg kell találni az összes érvényes változóértéket. Példánkban ezek mind értékek, kivéve . Célszerű a definíciós tartományt számtengelyen ábrázolni.

Ehhez kivágunk egy pontot az ábrán látható módon:

És így, tört definíciós tartomány a 3 kivételével minden szám lesz.

Válasz..

5. példa Határozza meg, hogy a változó mely értékeinél nincs értelme a törtnek.

Megoldás..

A kapott megoldást ábrázoljuk a numerikus tengelyen:

Válasz..

4. A változók elfogadható (AP) és nem elfogadható értékeinek területének grafikus ábrázolása törtekben

6. példa Határozza meg, hogy a változók mely értékeinél nincs értelme a törtnek.

Megoldás.. Megkaptuk két változó egyenlőségét, számpéldákat adunk: vagy, stb.

Ábrázoljuk ezt a megoldást egy grafikonon a derékszögű koordinátarendszerben:

Rizs. 3. Függvénygrafikon.

A grafikonon található pontok koordinátái nem tartoznak bele az elfogadható törtértékek tartományába.

Válasz. .

5. "Nullával osztás" eset

A tárgyalt példákban olyan helyzettel találkoztunk, amikor nullával való osztás történt. Most nézzük meg azt az esetet, amikor a típusfelosztással érdekesebb helyzet adódik.

7. példa Határozza meg, hogy a változók mely értékeinél nincs értelme a törtnek.

Megoldás..

Kiderült, hogy a törtnek nincs értelme a -nál. De lehet vitatkozni amellett, hogy ez nem így van, mert: .

Úgy tűnhet, hogy ha a végső kifejezés egyenlő a 8-cal, akkor az eredeti kifejezés is kiszámítható, és ezért van értelme a -nál. Ha azonban behelyettesítjük az eredeti kifejezésbe, akkor azt kapjuk – nincs értelme.

Válasz..

A példa részletesebb megértéséhez oldjuk meg a következő problémát: milyen értékeknél egyenlő a jelzett tört nullával?

(egy tört nulla, ha a számlálója nulla) . De az eredeti egyenletet törttel kell megoldani, és ennek nincs értelme, mivel a változó ezen értékénél a nevező nulla. Ez azt jelenti, hogy ennek az egyenletnek csak egy gyöke van.

6. Szabály az ODZ megtalálására

Így pontos szabályt tudunk megfogalmazni egy tört megengedett értéktartományának megtalálására: megtalálni ODZtörtek szükséges és elegendő a nevezőt nullával egyenlővé tenni, és megkeresni a kapott egyenlet gyökereit.

Két fő feladatot vettünk figyelembe: tört értékének kiszámítása a változók megadott értékeire és egy tört elfogadható értéktartományának megtalálása.

Nézzünk meg néhány további problémát, amelyek a törtekkel való munka során felmerülhetnek.

7. Különféle feladatok és következtetések

8. példa Bizonyítsuk be, hogy a változó bármely értékére a tört.

Bizonyíték. A számláló egy pozitív szám. . Ennek eredményeként a számláló és a nevező is pozitív számok, ezért a tört pozitív szám.

Igazolt.

9. példa Ismeretes, hogy , keresse meg .

Megoldás. Osszuk el a tört tagot taggal. Jogunk van az értékkel csökkenteni, figyelembe véve, hogy ez egy adott törtnél érvénytelen változó érték.

Válasz..

Ebben a leckében a törtekkel kapcsolatos alapfogalmakkal foglalkoztunk. A következő leckében megnézzük tört fő tulajdonsága.

Bibliográfia

1. Bashmakov M.I. Algebra 8. osztály. - M.: Oktatás, 2004.

2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. és társai, Algebra 8. - 5. kiadás. - M.: Oktatás, 2010.

3. Nikolsky S. M., Potapov M. A., Reshetnikov N. N., Shevkin A. V. Algebra 8. osztály. Tankönyv általános oktatási intézmények számára. - M.: Oktatás, 2006.

1. Pedagógiai ötletek fesztiválja.

2. Old school.

3. lib2.podelise internetes portál. ru.

Házi feladat

1. No. 4, 7, 9, 12, 13, 14. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. et al. Algebra 8. - 5. kiadás. - M.: Oktatás, 2010.

2. Írjon fel egy racionális törtet, amelynek definíciós tartománya: a) a halmaz, b) a halmaz, c) a teljes számegyenes.

3. Bizonyítsuk be, hogy a változó összes lehetséges értékénél a tört értéke nem negatív.

4. Keresse meg a kifejezés tartományát. Utasítások: vegyünk külön két esetet: amikor az alsó tört nevezője nulla, és amikor az eredeti tört nevezője nulla.

A 42. §-ban azt mondták, hogy ha a polinomok felosztása nem hajtható végre teljesen, akkor a hányadost törtkifejezés formájában írjuk fel, amelyben az osztó a számláló, az osztó pedig a nevező.

Példák törtkifejezésekre:

A törtkifejezés számlálója és nevezője maguk is lehetnek törtkifejezések, például:

A tört algebrai kifejezések közül leggyakrabban azokkal kell foglalkozni, amelyekben a számláló és a nevező polinomok (különösen a monomok). Minden ilyen kifejezést algebrai törtnek nevezünk.

Meghatározás. Algebrai törtnek nevezzük azt az algebrai kifejezést, amely olyan tört, amelynek a számlálója és a nevezője polinom.

Az aritmetikához hasonlóan az algebrai tört számlálóját és nevezőjét a tört tagjának nevezzük.

A jövőben az algebrai törtekkel végzett műveletek tanulmányozása után bármilyen törtkifejezést képesek leszünk azonos transzformációk segítségével algebrai törtté alakítani.

Példák algebrai törtekre:

Vegye figyelembe, hogy a teljes kifejezés, azaz egy polinom felírható törtként is, ehhez elegendő ezt a kifejezést a számlálóba, a nevezőbe pedig 1-et írni. Például:

2. Elfogadható betűértékek.

A csak a számlálóban szereplő betűk bármilyen értéket felvehetnek (kivéve, ha a probléma feltétele további korlátozásokat vezet be).

A nevezőben szereplő betűk esetében csak azok az értékek érvényesek, amelyek nem változtatják a nevezőt nullává. Ezért a következőkben mindig feltételezzük, hogy egy algebrai tört nevezője nem egyenlő nullával.

Amikor egy diák belép a középiskolába, a matematika két tantárgyra oszlik: algebra és geometria. Egyre több a koncepció, egyre nehezebbek a feladatok. Vannak, akik nehezen értik a törteket. Lemaradt az első leckéről ebben a témában, és íme. törtek? Egy kérdés, amely egész iskolai életemben gyötörni fog.

Az algebrai tört fogalma

Kezdjük egy meghatározással. Alatt algebrai tört A P/Q kifejezésekre utal, ahol P a számláló, Q pedig a nevező. Betűbevitel alatt szám, numerikus kifejezés vagy numerikus-alfabetikus kifejezés rejthető el.

Mielőtt azon töprengene, hogyan lehet megoldani az algebrai törteket, először meg kell értenie, hogy egy ilyen kifejezés az egész része.

Általános szabály, hogy egy egész szám 1. A nevezőben lévő szám azt mutatja, hogy az egység hány részre van felosztva. A számlálóra azért van szükség, hogy megtudjuk, hány elemet vettünk fel. A törtsáv az osztásjelnek felel meg. Lehetőség van törtkifejezés felírására „osztás” matematikai műveletként. Ebben az esetben a számláló az osztalék, a nevező az osztó.

Közönséges törtek alapszabálya

Amikor a tanulók ezt a témát tanulják az iskolában, példákat kapnak a megerősítésre. Ahhoz, hogy helyesen oldja meg őket, és különféle kiutakat találjon a bonyolult helyzetekből, alkalmaznia kell a törtek alapvető tulajdonságát.

Ez így megy: Ha a számlálót és a nevezőt is megszorozza ugyanazzal a számmal vagy kifejezéssel (a nullától eltérő), a közönséges tört értéke nem változik. Ennek a szabálynak egy speciális esete, ha egy kifejezés mindkét oldalát osztja ugyanazzal a számmal vagy polinommal. Az ilyen transzformációkat azonos egyenlőségeknek nevezzük.

Az alábbiakban megvizsgáljuk, hogyan lehet megoldani az algebrai törtek összeadását és kivonását, a törtek szorzását, osztását és csökkentését.

Matematikai műveletek törtekkel

Nézzük meg a megoldást, az algebrai tört fő tulajdonságát, és hogyan alkalmazzuk a gyakorlatban. Ha két törtet kell szorozni, összeadni, osztani vagy ki kell vonni, mindig be kell tartani a szabályokat.

Így az összeadás és kivonás műveletéhez további tényezőt kell találni, hogy a kifejezéseket közös nevezőre hozzuk. Ha a törteket kezdetben ugyanazokkal a Q kifejezésekkel adjuk meg, akkor ezt a bekezdést ki kell hagyni. Ha megtalálta a közös nevezőt, hogyan oldja meg az algebrai törteket? Össze kell adni vagy ki kell vonni a számlálókat. De! Emlékeztetni kell arra, hogy ha a tört előtt van egy „-” jel, akkor a számlálóban minden jel megfordul. Néha nem szabad semmilyen helyettesítést vagy matematikai műveletet végrehajtani. Elég a tört előtti jelet megváltoztatni.

A fogalmat gyakran használják redukáló frakciók. Ez a következőket jelenti: ha a számlálót és a nevezőt az egyiktől eltérő kifejezéssel osztjuk el (mindkét részre azonos), akkor új tört keletkezik. Az osztó és az osztó kisebb, mint korábban, de a törtek alapszabálya miatt megegyezik az eredeti példával.

Ennek a műveletnek az a célja, hogy egy új irreducibilis kifejezést kapjunk. Ezt a problémát úgy oldhatja meg, hogy a számlálót és a nevezőt a legnagyobb közös tényezővel csökkenti. A műveleti algoritmus két pontból áll:

1. Gcd keresése a tört mindkét oldalára.
2. A számlálót és a nevezőt elosztjuk a talált kifejezéssel, és az előzővel megegyező irreducibilis törtet kapunk.

Az alábbiakban egy táblázat található, amely a képleteket mutatja. A kényelem kedvéért kinyomtathatja, és magával viheti egy notebookban. Ahhoz azonban, hogy a jövőben egy teszt vagy vizsga megoldásakor ne legyen nehézség az algebrai törtek megoldásának kérdésében, ezeket a képleteket fejből kell megtanulni.

Számos példa megoldással

Elméleti szempontból megvizsgáljuk az algebrai törtek megoldásának kérdését. A cikkben szereplő példák segítenek az anyag jobb megértésében.

1. Alakítsa át a törteket, és hozza őket közös nevezőre.

2. Alakítsa át a törteket és hozza őket közös nevezőre.

Az elméleti rész áttanulmányozása és a gyakorlati rész átgondolása után több kérdés nem merülhet fel.

Ez a lecke az algebrai tört fogalmával foglalkozik. Az emberek a legegyszerűbb élethelyzetekben találkoznak a törtekkel: amikor egy tárgyat több részre kell osztani, például egy tortát tíz emberre kell felvágni. Nyilván mindenki kap egy darabot a tortából. Ebben az esetben a numerikus tört fogalmával állunk szemben, de lehetséges olyan helyzet, amikor egy objektumot ismeretlen számú részre osztunk, például x-szel. Ebben az esetben felmerül a törtkifejezés fogalma. Már a 7. osztályban megismerkedtél az egész kifejezésekkel (nem tartalmazzák a változós kifejezésekre bontást) és azok tulajdonságait. Ezután megvizsgáljuk a racionális tört fogalmát, valamint a változók elfogadható értékeit.

A racionális kifejezések fel vannak osztva egész és tört kifejezések.

Meghatározás.Racionális tört az alak törtkifejezése, ahol polinomok vannak. - számláló nevező.

Példákracionális kifejezések:- tört kifejezések; - egész kifejezések. Az első kifejezésben például a számláló , a nevező pedig .

Jelentése algebrai tört mint bárki algebrai kifejezés, a benne szereplő változók számértékétől függ. Különösen az első példában a tört értéke a és a változók értékétől függ, a második példában pedig csak a változó értékétől.

Nézzük az első tipikus feladatot: az érték kiszámítását racionális tört a benne szereplő változók különböző értékeire.

1. példa Számítsa ki az a) , b) , c) tört értékét

Megoldás. Helyettesítsük be a változók értékeit a jelzett törtbe: a) , b) , c) - nem létezik (mivel nem lehet nullával osztani).

Válasz: a) 3; b) 1; c) nem létezik.

Amint látja, két tipikus probléma merül fel bármely tört esetén: 1) a tört kiszámítása, 2) a keresés érvényes és érvénytelen értékek betűváltozók.

Meghatározás.Érvényes változóértékek- azon változók értékei, amelyeknél a kifejezésnek értelme van. A változók összes lehetséges értékének halmazát hívják ODZ vagy tartomány.

A literális változók értéke érvénytelen lehet, ha ezeknél az értékeknél a tört nevezője nulla. Minden más esetben a változók értékei érvényesek, mivel a tört kiszámítható.

2. példa

Megoldás. Ahhoz, hogy ez a kifejezés értelmet nyerjen, szükséges és elegendő, hogy a tört nevezője ne legyen egyenlő nullával. Így a változónak csak azok az értékei lesznek érvénytelenek, amelyeknél a nevező egyenlő nullával. A tört nevezője , így megoldjuk a lineáris egyenletet:

Ezért a változó értékét figyelembe véve a törtnek nincs jelentése.

Válasz: -5.

A példa megoldásából következik a változók érvénytelen értékeinek megtalálásának szabálya - a tört nevezője nulla, és a megfelelő egyenlet gyökerei találhatók.

Nézzünk több hasonló példát.

3. példaÁllapítsa meg, hogy a változó mely értékeinél nincs értelme a törtnek .

Megoldás..

Válasz..

4. példaÁllapítsa meg, hogy a változó mely értékeinél nincs értelme a törtnek.

Megoldás..

Ennek a problémának más megfogalmazásai is vannak - találja meg tartomány vagy elfogadható kifejezési értékek tartománya (APV). Ez azt jelenti, hogy meg kell találni az összes érvényes változóértéket. Példánkban ezek mind értékek, kivéve . Célszerű a definíciós tartományt számtengelyen ábrázolni.

Ehhez kivágunk egy pontot az ábrán látható módon:

Rizs. 1

És így, tört definíciós tartomány a 3 kivételével minden szám lesz.

Válasz..

5. példa.Állapítsa meg, hogy a változó mely értékeinél nincs értelme a törtnek.

Megoldás..

A kapott megoldást ábrázoljuk a numerikus tengelyen:

Rizs. 2

Válasz..

6. példa.

Megoldás.. Megkaptuk két változó egyenlőségét, számszerű példákat adunk: vagy stb.

Ábrázoljuk ezt a megoldást egy grafikonon a derékszögű koordinátarendszerben:

Rizs. 3. Egy függvény grafikonja

A grafikonon található pontok koordinátái nem tartoznak bele az elfogadható törtértékek tartományába.

Válasz..

A tárgyalt példákban olyan helyzettel találkoztunk, amikor nullával való osztás történt. Most nézzük meg azt az esetet, amikor a típusfelosztással érdekesebb helyzet adódik.

7. példa.Állapítsa meg, hogy a változók mely értékeinél nincs értelme a törtnek.

Megoldás..

Kiderült, hogy a törtnek nincs értelme a -nál. De lehet vitatkozni amellett, hogy ez nem így van, mert: .

Úgy tűnhet, hogy ha a végső kifejezés egyenlő a 8-cal, akkor az eredeti kifejezés is kiszámítható, és ezért van értelme a -nál. Ha azonban behelyettesítjük az eredeti kifejezésbe, akkor azt kapjuk – nincs értelme.

Válasz..

A példa részletesebb megértéséhez oldjuk meg a következő problémát: milyen értékeknél egyenlő a jelzett tört nullával?

1. § Az algebrai tört fogalma

Egy algebrai tört a kifejezés

ahol P és Q polinomok; P az algebrai tört számlálója, Q az algebrai tört nevezője.

Példák az algebrai törtekre:

Bármely polinom egy algebrai tört speciális esete, mert bármely polinom felírható

Például:

Egy algebrai tört értéke a változók értékétől függ.

Például számítsuk ki a tört értékét

1)

2)

Az első esetben a következőket kapjuk:

Vegye figyelembe, hogy ez a tört csökkenthető:

Így az algebrai tört értékének kiszámítása leegyszerűsödik. Használjuk ki ezt.

A második esetben a következőket kapjuk:

Mint látható, a változók értékének változásával az algebrai tört értéke megváltozott.

§ 2 Egy algebrai tört változóinak megengedett értékei

Tekintsük az algebrai törtet

Az x = -1 érték érvénytelen ehhez a törthez, mert a tört nevezője ennél az x értéknél nullává válik. A változó ezen értékével az algebrai törtnek nincs jelentése.

Így egy algebrai tört változóinak megengedett értékei a változók azon értékei, amelyeknél a tört nevezője nem tűnik el.

Oldjunk meg néhány példát.

A változó mely értékeinél nincs értelme az algebrai törtnek:

A változók érvénytelen értékeinek megtalálásához a tört nevezőjét nullára állítjuk, és megtaláljuk a megfelelő egyenlet gyökereit.

A változó mely értékeinél egyenlő az algebrai tört nullával:

Egy tört egyenlő nullával, ha a számláló nulla. Tegyük egyenlővé a törtünk számlálóját nullával, és keressük meg a kapott egyenlet gyökereit:

Így x = 0 és x = 3 esetén ennek az algebrai törtnek nincs értelme, ami azt jelenti, hogy a változó ezen értékeit ki kell zárnunk a válaszból.

Tehát ebben a leckében megtanulta az algebrai tört alapfogalmait: a tört számlálóját és nevezőjét, valamint az algebrai tört változóinak elfogadható értékeit.

A felhasznált irodalom listája:

1. Mordkovich A.G. "Algebra" 8. osztály. 2 órakor 1. rész Tankönyv oktatási intézményeknek / A.G. Mordkovich. – 9. kiadás, átdolgozva. – M.: Mnemosyne, 2007. – 215 p.: ill.
2. Mordkovich A.G. "Algebra" 8. osztály. 2 óránál 2. rész Problémakönyv oktatási intézményeknek / A.G. Mordkovich, T.N. Mishustina, E.E. Tulchinskaya. – 8. kiad., – M.: Mnemosyne, 2006 – 239 p.
3. Algebra. 8. osztály. Tesztek L.A. oktatási intézményeinek diákjai számára. Alexandrov, szerk. A.G. Mordkovich 2. kiadás, törölve. - M.: Mnemosyne 2009. - 40 p.
4. Algebra. 8. osztály. Önálló munka oktatási intézmények diákjai számára: A.G. tankönyvéhez. Mordkovich, L.A. Alexandrov, szerk. A.G. Mordkovich. 9. kiadás, törölve. - M.: Mnemosyne 2013. - 112 p.