Мы постоянно видим, что перпендикуляры к одной и той же плоскости параллельны. Например, вертикальные отрезки параллельны между собой. Эти отрезки могут представляться параллельно стоящими столбами или мачтами, стволами стройных сосен в корабельном лесу, колоннами зданий музея (рис. 84) или вертикальными опорами моста и т. д.
Рис. 84
Эта изящная геометрия выражается в теореме, которую мы сейчас докажем.
8.1 Параллельность прямых, перпендикулярных одной плоскости
Доказательство. Пусть две прямые а и b перпендикулярны плоскости а и пересекают её соответственно в точках А и В (рис. 85). Проведём через прямую а и точку В плоскость р и покажем, что прямая b также лежит в плоскости β.
Рис. 85
В плоскости а возьмём отрезок MN, перпендикулярный отрезку АВ и имеющий точку А своей серединой. Так как AM = AN и АВ ⊥ MN, то ВМ = BN.
Возьмём на прямой b любую точку С ≠ В и проведём отрезки СA, CM, CN. Поскольку b ⊥ a, то треугольники СВМ и CBN прямоугольные. Они равны, так как имеют общий катет СВ и равные катеты ВМ и BN. Поэтому CM = CN, т. е. треугольник CMN равнобедренный. Его медиана СА является также его высотой, т. е. СA ⊥ MN.
Итак, три прямые, проходящие через точку А, - АС, АВ и а - перпендикулярны прямой MN. По теореме о плоскости перпендикуляров (п. 7.2) они лежат в одной плоскости - плоскости β, которая проходит через прямые АВ и а.
Поскольку прямая АС лежит в плоскости β, то точка С ∈ β. Значит, прямая b лежит в плоскости β (как и прямая а). Но в плоскости β прямые а и b перпендикулярны одной и той же прямой АВ (так как a ⊥ α, то b ⊥ α и прямая АВ лежит в α). Поэтому b||а.
Доказанная теорема является признаком параллельности прямых в пространстве.
8.2 Параллель к перпендикуляру
В этом пункте мы докажем теорему, обратную теореме о параллельности перпендикуляров.
Доказательство. Пусть две прямые а и b параллельны и а перпендикулярна плоскости а (рис. 86). Прямая b пересекает плоскость α в некоторой точке В (по лемме пункта 3.3). Имеются две возможности:
- b ⊥ α;
- b не перпендикулярна α.
Рис. 86
Предположим, что выполняется вторая. Тогда проведём через точку В прямую с ⊥ α (задача п. 7.3). По теореме о параллельности перпендикуляров с||α. Получилось, что через точку В проходят две прямые, параллельные прямой а, что невозможно.
Итак, b ⊥ α.
Теорема о параллели к перпендикуляру является ещё одним признаком перпендикулярности прямой и плоскости.
Вопросы для самоконтроля
- Какие признаки параллельности прямых вы узнали?
- Какие признаки перпендикулярности прямой и плоскости вам известны теперь?
На этом уроке мы рассмотрим перпендикулярность прямых в пространстве, перпендикулярность прямой и плоскости и параллельные прямые, которые перпендикулярны к плоскости.
Вначале дадим определение двух перпендикулярных прямых в пространстве и их обозначение. Рассмотрим и докажем лемму о параллельных прямых, перпендикулярных третьей прямой. Далее дадим определение прямой, перпендикулярной к плоскости, и рассмотрим свойство такой прямой, при этом вспомнив взаимное расположение прямой и плоскости. Далее докажем прямую и обратную теорему о двух параллельных прямых, перпендикулярных к плоскости.
В конце урока решим две задачи на перпендикулярность прямых в параллелепипеде и тетраэдре.
Тема: Перпендикулярность прямой и плоскости
Урок: Перпендикулярные прямые в пространстве. Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости
На этом уроке мы рассмотрим перпендикулярность прямых в пространстве, перпендикулярность прямой и плоскости и параллельные прямые, которые перпендикулярны к плоскости .
Определение . Две прямые называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.
Обозначение . .
Рассмотрим прямые а и b . Прямые могут пересекаться, скрещиваться, быть параллельными. Для того, чтобы построить угол между ними нужно выбрать точку и через нее провест а, и прямую , параллельную прямойb . Прямые и пересекаются. Угол между ними и есть угол между прямыми а и b. Если угол равен 90°, то прямые а и b перпендикулярны.
Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.
Доказательство :
Пусть даны две параллельные прямые а и b, и прямая с ,причем . Нужно доказать, что .
Возьмем произвольную точку М . Через точку М проведем прямую , параллельную прямой а и прямую , параллельную прямой c (рис. 2). Тогда угол АМС равен 90°.
Прямая b параллельна прямой а по условию, прямая параллельна прямой а по построению. Значит, прямые и b параллельны.
Имеем, прямые и b параллельны, прямые с и параллельны по построению. Значит, угол между прямыми b и с - это угол между прямыми и, то есть угол АМС , равный 90°. Значит, прямые b и с перпендикулярны, что и требовалось доказать.
Определение . Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.
Обозначение. .
1. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е издание, исправленное и дополненное - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил.
Задания 5, 6, 7 стр. 54
2. Дайте определение перпендикулярности прямых в пространстве.
3. Равные стороны АВ и CD четырехугольника ABCD перпендикулярны некоторой плоскости. Определите вид четырехугольника.
4. Сторона треугольника перпендикулярна некоторой прямой а. Докажите, что одна из средних линий треугольника перпендикулярна прямой а .
На этом уроке мы повторим теорию и докажем теорему-признак перпендикулярности прямой и плоскости.
В начале урока вспомним определение прямой, перпендикулярной к плоскости. Далее рассмотрим и докажем теорему-признак перпендикулярности прямой и плоскости. Для доказательства этой теоремы вспомним свойство серединного перпендикуляра.
Далее решим несколько задач на перпендикулярность прямой и плоскости.
Тема: Перпендикулярность прямой и плоскости
Урок: Признак перпендикулярности прямой и плоскости
На этом уроке мы повторим теорию и докажем теорему-признак перпендикулярности прямой и плоскости .
Определение . Прямая а называется перпендикулярной к плоскости α, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.
Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.
Доказательство .
Пусть нам дана плоскость α. В этой плоскости лежат две пересекающиеся прямые p и q . Прямая а перпендикулярна прямой p и прямой q . Нам нужно доказать, что прямая а перпендикулярна плоскости α, то есть, что прямая а перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости α.
Напоминание .
Для доказательства нам нужно вспомнить свойства серединного перпендикуляра к отрезку. Серединный перпендикуляр р к отрезку АВ - это геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка. То есть, если точка С лежит на серединном перпендикуляре р, то АС = ВС .
Пусть точка О - точка пересечения прямой а и плоскости α (рис. 2). Без ограничения общность, будем считать, что прямые p и q пересекаются в точке О . Нам нужно доказать перпендикулярность прямой а к произвольной прямой m из плоскости α.
Проведем через точку О
прямую l
, параллельно прямой m.
На прямой а
отложим отрезки ОА
и ОВ
, причем ОА
= ОВ
, то есть точка О
- середина отрезка АВ
. Проведем прямую PL
, .
Прямая р
перпендикулярна прямой а
(из условия), (по построению). Значит, р
АВ
. Точка Р
лежит на прямой р
. Значит, РА = РВ
.
Прямая q
перпендикулярна прямой а
(из условия), (по построению). Значит, q
- серединный перпендикуляр к отрезку АВ
. Точка Q
лежит на прямой q
. Значит, QА =
QВ
.
Треугольники АР Q и ВР Q равны по трем сторонам (РА = РВ , QА = QВ, Р Q - общая сторона). Значит, углы АР Q и ВР Q равны.
Треугольники А PL и BPL равны по углу и двум прилежащим сторонам (∠АР L = ∠ВР L, РА = РВ , PL - общая сторона). Из равенства треугольников получаем, что AL = BL .
Рассмотрим треугольник ABL. Он равнобедренный, так как AL = BL. В равнобедренном треугольнике медиана LО является и высотой, то есть прямая LО перпендикулярна АВ .
Мы получили, что прямая а перпендикулярна прямой l, а значит, и прямой m, что и требовалось доказать.
Точки А, М, О лежат на прямой, перпендикулярной к плоскости α, а точки О, В, С и D лежат в плоскости α (рис. 3). Какие из следующих углов являются прямыми: ?
Решение
Рассмотрим угол . Прямая АО перпендикулярна плоскости α, а значит, прямая АО перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости α, в том числе прямой ВО . Значит, .
Рассмотрим угол . Прямая АО перпендикулярна прямой ОС , значит, .
Рассмотрим угол . Прямая АО перпендикулярна прямой О D , значит, . Рассмотрим треугольник DAO . В треугольнике может быть только один прямой угол. Значит, угол DAM - не является прямым.
Рассмотрим угол . Прямая АО перпендикулярна прямой О D , значит, .
Рассмотрим угол . Это угол в прямоугольном треугольнике BMO , он не может быть прямым, так как угол МОВ - прямой.
Ответ
: .
В треугольнике АВС дано: , АС = 6 см, ВС = 8 см, СМ - медиана (рис. 4). Через вершину С проведена прямая СК , перпендикулярная к плоскости треугольника АВС , причем СК = 12 см. Найдите КМ .
Решение :
Найдем длину АВ по теореме Пифагора: (см).
По свойству прямоугольного треугольника середина гипотенузы М
равноудалена от вершин треугольника. То есть СМ = АМ = ВМ
, (см).
Рассмотрим треугольник КСМ . Прямая КС перпендикулярна плоскости АВС , а значит, КС перпендикулярна СМ . Значит, треугольник КСМ - прямоугольный. Найдем гипотенузу КМ из теоремы Пифагора: (см).
1. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е издание, исправленное и дополненное - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил.
Задания 1, 2, 5, 6 стр. 57
2. Дайте определение перпендикулярности прямой и плоскости.
3. Укажите в кубе пару - ребро и грань, которые являются перпендикулярными.
4. Точка К лежит вне плоскости равнобедренного треугольника АВС и равноудалена от точек В и С . М - середина основания ВС . Докажите, что прямая ВС перпендикулярна плоскости АКМ .
Видеоурок 2:
Теорема о трех перпендикулярах. Теория
Видеоурок 3:
Теорема о трех перпендикулярах. Задача
Лекция: Перпендикулярность прямой и плоскости, признаки и свойства; перпендикуляр и наклонная; теорема о трёх перпендикулярах
Перпендикулярность прямой и плоскостиДавайте вспомним, что такое вообще перпендикулярность прямых. Перпендикулярны те прямые, которые пересекаются под углом, равным 90 градусов. При этом угол между ними может быть, как в случае пересечения в некоторой точке, так и в случае скрещивания. Если некоторые прямые скрещиваются под прямым углом, то их тоже можно назвать перпендикулярными прямыми в том случае, если благодаря параллельному переносу прямая переносится в точку на второй прямой.
![](https://i0.wp.com/cknow.ru/uploads/posts/2017-07/1500217140_snimok.jpg)
Определение: Если же прямая перпендикулярная любой прямой, которая принадлежит плоскости, то её можно считать перпендикулярной к этой плоскости.
Признак: Если на некоторой плоскости имеются две перпендикулярные прямые и некоторая третья прямая перпендикулярна каждой из них, то эта третья прямая перпендикулярна плоскости.
![](https://i1.wp.com/cknow.ru/uploads/posts/2017-07/1500217226_snimok.jpg)
Свойства:
- Если некоторые прямые перпендикулярны одной плоскости, то они взаимно параллельны друг другу.
![](https://i1.wp.com/cknow.ru/uploads/posts/2017-07/1500217217_snimok.jpg)
- Если имеются две параллельных плоскости, а так же некоторая прямая, которая перпендикулярна одной из плоскостей, то она перпендикулярна и второй.
- Так же можно и высказать обратное утверждение: если некоторая прямая перпендикулярна двум различным плоскостям, то такие плоскости обязательно параллельны.
![](https://i0.wp.com/cknow.ru/uploads/posts/2017-07/1500217271_snimok.jpg)
Наклонная
Если некоторая прямая соединяет произвольную точку, которая не лежит на плоскости с любой точкой плоскости, то такая прямая будет называется наклонной .
Обратите внимание, наклонная она только в том случае, если угол между ней и плоскостью не 90 градусов.
![](https://i2.wp.com/cknow.ru/uploads/posts/2017-07/1500217314_snimok.jpg)
На рисунке АВ – это наклонная к плоскости α. При этом точка В называется основанием наклонной.
Если же провести отрезок из точки А к плоскости, который будет составлять угол 90 градусов с плоскостью, то этот отрезок будет называться перпендикуляром. Перпендикуляром еще называют наименьшее расстояние до плоскости.
![](https://i1.wp.com/cknow.ru/uploads/posts/2017-07/1500217337_snimok.jpg)
АС – перпендикуляр, проведенный из точки А к плоскости α. При этом точка С называется основанием перпендикуляра.
Если же на данном чертеже провести отрезок, который будет соединять основание перпендикуляра (С) с основанием наклонной (В), то полученный отрезок будет называться проекцией .
![](https://i1.wp.com/cknow.ru/uploads/posts/2017-07/1500217400_snimok.jpg)
В результате несложных построений мы получили прямоугольный треугольник. В данном треугольнике угол АВС называется углом между наклонной и проекцией.
Теорема о трёх перпендикулярах
ГЕОМЕТРИЯ
Планы-конспекты уроков для 10 классов
Тема. Свойства прямой и плоскости, перпендикулярных между собой
Цель урока: формирование знаний учащихся о свойства перпендикулярных прямых и плоскостей.
Оборудование: стереометрический набор, схема «Свойства прямо и плоскости, перпендикулярных между собой» (с. 116).
Ход урока
И. Проверка домашнего задания
1. Коллективное обсуждение решения задачи № 10.
2. Математический диктант.
Дано изображение куба: вариант 1 - рис. 151, вариант 2 - рис. 152.
Пользуясь изображением, запишите:
1) плоскость, которая проходит через точку М прямой AM и перпендикулярна к ней; (2 балла)
2) прямую, которая перпендикулярна к плоскости АВС и проходит через точку D; (2 балла)
3) прямую, которая перпендикулярна к плоскости АВС и проходит через точку N; (2 балла)
4) плоскость, которая перпендикулярна к прямой BD; (2 балла)
5) прямые, перпендикулярные к плоскости АМС; (2 балла)
6) плоскости, которые перпендикулярны к прямой DC. (2 балла)
Вариант 1. 1) (MNK); 2) KD; 3) BN; 4) (АСМ); 5) BD и KN; 6) (ADK) и (BCL).
Вариант 2. 1) (MNK); 2) DL; 3) CN; 4) (АСМ); 5) BD i KL; 6) (BCN) и (ADM).
II. Восприятие и осознание нового материала
Свойства прямой и плоскости, перпендикулярных между собой
Теорема 1.
Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и ко второй.
Доведение
Пусть а1 || а2 и a1α. Докажем, что αа2 (рис. 153). Точки А1 и А2 - точки пересечения а1 и а2 с плоскостью α.
В плоскости α через точку А2 проведем произвольную прямую х2, а через точку А1 - прямую х1 такое, что х1 || х2. Поскольку a1 || a2, x1 || x2 и а1х1, то по теореме 3.1 а2х2. Поскольку х2 выбрана произвольно в плоскости α, то а2α.
Теорема 2.
Если две прямые перпендикулярны к одной и той же плоскости, то данные прямые параллельны.
Доведение
Пусть aα, b α . Докажем, что а || b (рис. 154). Предположим, что аb . Тогда через точку С прямой b проведем b 1 , параллельную а. А посколькуα , то и b1α по доказанной теореме, а по условию bα . Если точки А и В - точки пересечения прямых b 1 и b с плоскостью α , то из предположения следует, что в треугольнике A = В = 90°, что не может быть. Следовательно, а || b.
Решение задач
1. Определите вид четырехугольника AA 1B 1B если:
а) АА1α ; АА1 || ВВ1; Аα , Вα ; AA 1 ≠ ВВ1 (рис. 155);
б) АА1α ; ВВ1α ; α , Вα (рис. 156);
в) α ; α ; АА1α ; ВВ1α ; АА1 = ВВ1 (рис. 156).
2. Задача № 12 из учебника (с. 35).
3. Задача № 13 из учебника (с. 35).
4. Задача № 16 из учебника (с. 35).
Теорема 3.
Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных плоскостей, то она перпендикулярна и ко второй.
Доведение
Пусть α || β , аα . Докажем, что α β . (рис. 157). Пусть точки А и В - точки пересечения прямой а с плоскостями α и β . В плоскости β проведем через точку В произвольную прямую b . Через прямую b и точку А проведем плоскость γ , которая пересекает α по прямой с, причем с || b . А посколькуα , то ас (по определению прямой, перпендикулярной к плоскости). Так ас, b || с и а, b , с лежат в γ , то аb . Учитывая, что b - произвольная прямая плоскости β , имеем аβ .
Теорема 4.
Если две плоскости, перпендикулярные к одной и той же прямой, то они параллельны.
Доведение
Пусть α а β а, докажем, что α || β (рис. 158). Пусть точки А и В - точки пересечения прямой а с плоскостями α и β . Предположим, что α β . Возьмем точку С на прямой пересечения плоскостей α и β . Са, ибо в противном случае через точку С проходили бы две различные плоскости α и β , перпендикулярные к прямой а, что невозможно. Проведем плоскость γ через точку С и прямую а, эта плоскость пересекает α и β по прямым АС и ВС соответственно. А посколькуα , то аАС, аналогично аВС. Следовательно, в плоскости α через точку С проходят две различные прямые АС и ВС, перпендикулярные к прямой а, что невозможно. Следовательно, α || β .
Решение задач
1. Пусть ABCD - прямоугольник, BSАВ, AMАВ (рис. 159). Как расположены плоскости AMD и BSC?
2. В1β ; АА1α , АА1β ; B В1 || АА1; АА1 = 12 cm, A1B = 13 см (рис. 160). Найти АВ.