Векторуудын цэгэн бүтээгдэхүүн

Бид векторуудтай үргэлжлүүлэн харьцдаг. Эхний хичээл дээр Даммитай холбоотой векторууд векторын үзэл баримтлал, вектортой хийх үйлдэл, векторын координат, вектортой хамгийн энгийн даалгавруудыг судлав. Хэрэв та энэ хуудсанд анх удаа хайлтын системээс орж ирсэн бол дээр дурьдсан танилцуулга нийтлэлийг уншихыг зөвлөж байна, яагаад гэвэл материалыг эзэмшихийн тулд та миний ашиглаж буй нэр томъёо, тэмдэглэгээг дагаж мөрдөх, векторын талаар анхан шатны мэдлэгтэй байх, анхан шатны бодлогыг шийдвэрлэх чадвартай байх хэрэгтэй. Энэ хичээл бол сэдвийн логик үргэлжлэл бөгөөд үүнд би векторуудын цэгийн бүтээгдэхүүнийг ашигладаг ердийн даалгавруудыг нарийвчлан шинжлэх болно. Энэ бол МАШ ЧУХАЛ үйл ажиллагаа юм... Жишээнүүдийг алгасахгүй байхыг хичээгээрэй, тэдэнд ашигтай урамшуулал дагалддаг - дадлага нь таны судалсан материалыг нэгтгэж, аналитик геометрийн нийтлэг асуудлуудыг шийдвэрлэхэд "гараа авахад" тусална.

Вектор нэмэх, векторыг тоогоор үржүүлэх .... Математикчид өөр зүйл бодож олоогүй гэж бодох нь гэнэн хэрэг болно. Өмнө нь авч үзсэн үйлдлүүдээс гадна векторуудтай бусад хэд хэдэн үйлдлүүд байдаг: векторуудын цэгийн бүтээгдэхүүн, векторын векторын үржвэр болон векторын холимог бүтээгдэхүүн... Векторуудын скаляр бүтээгдэхүүн нь сургууль дээр бидэнд танил болсон бөгөөд бусад хоёр бүтээгдэхүүн нь уламжлал ёсоор дээд математикийн дамжаанд багтдаг. Сэдвүүд нь энгийн, олон асуудлыг шийдвэрлэх алгоритм нь стенил, ойлгомжтой байдаг. Цорын ганц зүйл. Мэдээлэл маш их байгаа тул бүгдийг нэг удаа эзэмшиж, шийдвэрлэхийг хичээх нь зохисгүй юм. Энэ нь ялангуяа цайны аяганд хамаатай юм, итгээрэй, зохиогч нь математикаас Чикатило шиг санагдахыг огт хүсдэггүй. Мэдээжийн хэрэг, бас математикаас биш \u003d) Илүү их бэлтгэгдсэн оюутнууд материалыг сонгон ашиглаж болох бөгөөд нэг талаараа алга болсон мэдлэгийг "олж авах" боломжтой, учир нь би та хор хөнөөлгүй Count Dracula болно \u003d)

Эцэст нь хаалга онгойлгож, хоёр вектор хоорондоо уулзахад юу болохыг урам зоригтойгоор харцгаая ....

Векторуудын цэгийн бүтээгдэхүүнийг тодорхойлох.
Цэгэн бүтээгдэхүүний шинж чанар. Ердийн даалгаварууд

Цэг бүтээгдэхүүний тухай ойлголт

Нэгдүгээрт векторуудын хоорондох өнцөг... Бүх хүмүүс векторуудын хоорондох өнцөг юу болохыг зөн совин байдлаар ойлгодог гэж бодож байна, гэхдээ арай илүү нарийвчлалтай байх хэрэгтэй. Тэгээс бусад үнэгүй векторуудыг авч үзье. Хэрэв та эдгээр векторуудыг дур мэдэн цэгээс хойшлуулбал олон хүний \u200b\u200bоюун санаанд нь хэдийнэ төсөөлсөн зураг гарах болно.

Энд би нөхцөл байдлыг зөвхөн ойлголцлын түвшинд тоймлон харуулсан гэдгээ хүлээн зөвшөөрч байна. Хэрэв танд векторуудын хоорондох өнцгийн нарийн тодорхойлолт хэрэгтэй бол сурах бичигт хандана уу, гэхдээ практик асуудлуудын хувьд бидэнд зарчмын хувьд хэрэггүй. Түүнчлэн ЭНД БА ДЭЛХИЙД би практик вчний ач холбогдол багатай тул тэг векторыг зарим газарт үл тоомсорлох болно. Би дараахь мэдэгдлүүдийн заримыг онолын хувьд бүрэн гүйцэд биш гэж намайг зэмлэх боломжтой сайтын дэвшилтэт зочинд зориулж тусгайлан захиалга хийсэн.

0-ээс 180 градусын утгыг (0-ээс радиан хүртэл) багтааж болно. Шинжилгээний хувьд энэ баримтыг давхар тэгш бус байдлаар бичсэн болно: эсвэл (радианаар).

Уран зохиолын хувьд өнцгийн дүрсийг үл тоомсорлож, энгийн байдлаар бичдэг.

Тодорхойлолт: Хоёр векторын скаляр үржвэр нь эдгээр векторуудын уртыг тэдгээрийн хоорондох өнцгийн косинусаар үржүүлсэнтэй тэнцүү ДУГААР болно.

Энэ бол аль хэдийн нэлээд хатуу тодорхойлолт юм.

Бид зайлшгүй шаардлагатай мэдээлэлд анхаарлаа төвлөрүүлдэг.

Зориулалт: цэгийн бүтээгдэхүүнийг эсвэл энгийнээр тэмдэглэнэ.

Үйл ажиллагааны үр дүн нь ДУГААР юм: Векторыг вектороор үржүүлж, тоо гаргана. Үнэхээр, хэрэв векторуудын урт нь тоо бол өнцгийн косинус нь тоо юм бол тэдгээрийн үржвэр болно бас тоо байх болно.

Зөвхөн дулаарлын хэдэн жишээ:

Жишээ 1

Шийдвэр: Бид томъёог ашигладаг ... Энэ тохиолдолд:

Хариулт:

Косинусын утгыг олж болно тригонометрийн хүснэгт... Би үүнийг хэвлэхийг зөвлөж байна - цамхагийн бараг бүх хэсэгт шаардагдах бөгөөд олон удаа шаардагдах болно.

Цэвэр математикийн үүднээс авч үзвэл цэгийн бүтээгдэхүүн нь хэмжээсгүй, өөрөөр хэлбэл үр дүн нь энэ тохиолдолд зүгээр л тоо байх болно. Физикийн асуудлын үүднээс цэгийн бүтээгдэхүүн нь үргэлж тодорхой физик утгатай байдаг, өөрөөр хэлбэл үр дүн гарсны дараа нэг эсвэл өөр физик нэгжийг зааж өгөх ёстой. Хүчний ажлыг тооцоолох жишиг жишээг дурын сурах бичгээс олж болно (томъёо нь яг цэгэн бүтээгдэхүүн юм). Хүчний ажлыг Жоулд хэмждэг тул хариултыг нь тодорхой бичсэн байх болно, жишээлбэл ,.

Жишээ 2

Хэрэв хайвал , векторуудын хоорондох өнцөг нь.

Энэ бол бие даасан шийдлийн жишээ юм. Хариулт нь сургалтын төгсгөлд байна.

Вектор ба цэгийн бүтээгдэхүүний утга хоорондын өнцөг

Жишээ 1-д цэгэн бүтээгдэхүүн эерэг, жишээ 2-т сөрөг гарсан байна. Цэгтэй бүтээгдэхүүний тэмдэг нь юунаас хамаардаг болохыг олж мэдье. Бид томъёогоо харна уу: ... Тэгээс бусад векторуудын урт үргэлж эерэг байдаг: тэмдэг нь зөвхөн косинусын утгаас хамаарна.

Тэмдэглэл: Доорх мэдээллийг илүү сайн ойлгохын тулд гарын авлагаас косинусын графикийг судлах нь дээр Функцийн график ба шинж чанарууд... Косинус сегмент дээр хэрхэн ажилладагийг үзээрэй.

Өмнө дурьдсанчлан векторуудын хоорондох өнцөг дотор өөр өөр байж болно , дараахь тохиолдлууд боломжтой:

1) Хэрэв өнцөг векторуудын хооронд цочмог: (0-ээс 90 градус хүртэл), дараа нь болон цэг бүтээгдэхүүн эерэг байх болно хамтран найруулсан, дараа нь тэдгээрийн хоорондох өнцөг нь тэг гэж тооцогдох бөгөөд цэгийн бүтээгдэхүүн нь эерэг байх болно. Оноос хойш томъёог хялбаршуулсан болно:.

2) Хэрэв өнцөг векторуудын хооронд тэнэг: (90-ээс 180 градус хүртэл), дараа нь , мөн адил, цэг бүтээгдэхүүн сөрөг байна:. Онцгой тохиолдол: хэрэв векторууд эсрэг чиглэл, дараа нь тэдгээрийн хоорондох өнцгийг харгалзан үзнэ байрлуулсан: (180 градус). Цэгийн бүтээгдэхүүн нь мөн сөрөг байдаг

Эсрэг мэдэгдэл нь бас үнэн юм:

1) Хэрэв, эдгээр векторуудын хоорондох өнцөг хурц байна. Эсвэл векторууд нь кодчилол юм.

2) Хэрэв, тэгвэл өгөгдсөн векторуудын хоорондох өнцөг нь мохоо байна. Эсвэл векторууд эсрэг байна.

Гэхдээ гурав дахь тохиолдол нь онцгой анхаарал татаж байна.

3) Хэрэв өнцөг векторуудын хооронд чигээрээ: (90 градус), дараа нь цэгийн бүтээгдэхүүн тэг байна:. Үүний эсрэг нь бас үнэн: хэрэв, тэгвэл. Энэхүү мэдэгдлийг дараах байдлаар авсаархан томъёолсон болно. Хоёр векторын скаляр үржвэр нь тэг, хэрэв эдгээр векторууд нь тэгш өнцөгт байвал л тэг болно... Математикийн богино тэмдэглэгээ:

! Тэмдэглэл : давтах математикийн логикийн үндэс: хоёр талт логик үр дагаврын дүрсийг ихэвчлэн "дараа нь, дараа нь", "хэрэв тэгвэл" гэж уншдаг. Таны харж байгаагаар сумуудыг хоёр чиглэлд чиглүүлдэг - "үүнээс үүнийг дагаж, харин эсрэгээр нь - үүнээс гарах зүйлийг". Дашрамд хэлэхэд, нэг талын дагалдах дүрсээс юугаараа ялгаатай вэ? Дүрс нэхэгдэж байна зөвхөн тэр"энэ нь үүнээс улбаатай" гэсэн бөгөөд энэ нь эсрэгээрээ байгаа нь баримт биш юм. Жишээлбэл: гэхдээ бүх амьтад пантер биш тул энэ тохиолдолд дүрсийг ашиглах боломжгүй болно. Үүний зэрэгцээ дүрсний оронд чадах нэг талын дүрс ашиглах. Жишээлбэл, асуудлыг шийдэж, бид векторууд нь тэгш өнцөгт гэж дүгнэсэн болно. - ийм оруулга нь зөв, бүр илүү тохиромжтой байх болно .

Гурав дахь тохиолдол нь практик ач холбогдолтой юм.векторууд нь тэгш өнцөгт эсвэл үгүй \u200b\u200bэсэхийг шалгах боломжийг олгодог. Бид энэ асуудлыг хичээлийн хоёрдугаар хэсэгт шийдвэрлэх болно.

Цэгэн бүтээгдэхүүний шинж чанар

Хоёр векторын нөхцөл байдалд эргэн орцгооё хамтран найруулсан... Энэ тохиолдолд тэдгээрийн хоорондох өнцөг нь тэг ,, цэгийн бүтээгдэхүүний томъёо дараахь хэлбэрийг авна.

Хэрэв векторыг өөрөө үржүүлбэл юу болох вэ? Вектор нь өөрөө өөртөө чиглэсэн байдаг нь тодорхой тул бид дээрх хялбаршуулсан томъёог ашиглана уу.

Дугаарыг дуудав скаляр квадрат вектор, гэж тэмдэглэв.

Энэ замаар, векторын скаляр квадрат нь тухайн векторын уртын квадраттай тэнцүү байна:

Энэ тэгш байдлаас та векторын уртыг тооцоолох томъёог авч болно.

Энэ нь ойлгомжгүй мэт боловч хичээлийн даалгавар нь бүх зүйлийг байранд нь оруулах болно. Асуудлыг шийдэхийн тулд бидэнд бас хэрэгтэй цэгийн бүтээгдэхүүний шинж чанар.

Дурын векторууд болон дурын тооны хувьд дараах шинж чанарууд хүчинтэй байна:

1) - нүүлгэн шилжүүлэх эсвэл коммутатив скаляр бүтээгдэхүүний тухай хууль.

2) - түгээх эсвэл түгээх скаляр бүтээгдэхүүний тухай хууль. Зүгээр л та хаалтыг өргөтгөх боломжтой.

3) - хослол эсвэл ассоциатив скаляр бүтээгдэхүүний тухай хууль. Тогтмолыг цэгийн бүтээгдэхүүнээс гаргаж авах боломжтой.

Ихэнх тохиолдолд бүх төрлийн шинж чанаруудыг (үүнийг бас нотлох шаардлагатай!) Оюутнууд шаардлагагүй хог хаягдал гэж үздэг бөгөөд үүнийг цээжилж, шалгалтын дараа шууд мартах хэрэгтэй. Бүтээгдэхүүн нь хүчин зүйлсийн орлуулалтаас өөрчлөгдөхгүй гэдгийг эхний ангиас эхлэн хүн бүр мэддэг байх нь чухал юм. Өндөр математикт ийм арга барилаар модыг хагалах нь амархан гэдгийг би танд анхааруулж байна. Жишээлбэл, нүүлгэн шилжүүлэх үл хөдлөх хөрөнгө хүчин төгөлдөр бус байна алгебрийн матрицууд... Энэ нь бас буруу юм векторын векторын үржвэр... Тиймээс, ядаж юу хийж болох, юу нь болохгүй байгааг ойлгохын тулд дээд математикийн явцад тулгарсан аливаа шинж чанарыг нарийвчлан судлах нь дээр.

Жишээ 3

.

Шийдвэр:Эхлээд вектортой холбоотой нөхцөл байдлыг тодруулцгаая. Энэ юу вэ? Векторуудын нийлбэр ба үүнийг зөв тодорхойлсон вектор юм. Векторуудтай үйлдлүүдийн геометрийн тайлбарыг өгүүллээс олж болно Даммитай холбоотой векторууд... Вектортой ижил яншуй бол векторуудын нийлбэр юм.

Тиймээс нөхцлийн дагуу цэгийн бүтээгдэхүүнийг олох шаардлагатай байна. Онолын хувьд та ажлын томъёог хэрэглэх хэрэгтэй , гэхдээ бэрхшээл нь векторуудын урт ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийг бид мэдэхгүй байна. Гэхдээ нөхцөл нь векторуудын хувьд ижил төстэй параметрүүдийг өгдөг тул бид өөр замаар явах болно:

(1) Векторын илэрхийлэлийг орлуулах.

(2) Бид олон гишүүнтийг үржүүлэх дүрмийн дагуу хаалтыг өргөжүүлж, хэлний бүдүүлэг мушгиа өгүүллээс олж болно Нийлмэл тоо эсвэл Бутархай рациональ функцийг нэгтгэх... Би өөрийгөө давтахгүй \u003d) Дашрамд хэлэхэд, цэгэн бүтээгдэхүүний тархалтын шинж чанар нь хаалтыг өргөжүүлэх боломжийг бидэнд олгодог. Бидэнд эрх бий.

(3) Эхний ба сүүлчийн нөхцөлд бид векторуудын скаляр квадратуудыг нягт нямбай бичнэ. ... Хоёрдахь улиралд бид скаляр бүтээгдэхүүний нэвтрүүлэх чадварыг ашигладаг.

(4) Бид ижил төстэй нэр томъёог өгдөг.

(5) Эхний улиралд бид саяхан дурдсан скаляр квадрат томъёог ашигладаг. Сүүлийн улиралд тус тус ижил зүйл ажиллана:. Бид хоёр дахь нэр томъёог стандарт томъёоны дагуу өргөжүүлдэг .

(6) Бид эдгээр нөхцлийг орлуулдаг , эцсийн тооцоог болгоомжтой хийх хэрэгтэй.

Хариулт:

Цэгэн бүтээгдэхүүний сөрөг утга нь векторуудын хоорондох өнцөг бүдүүн болохыг илэрхийлнэ.

Даалгавар нь ердийн зүйл бөгөөд бие даасан шийдлийн жишээг энд оруулав.

Жишээ 4

Векторуудын скаляр үржвэрийг ол .

Одоо өөр нэг нийтлэг ажил бол зөвхөн векторын уртын шинэ томъёоны хувьд юм. Энд байгаа тэмдэглэгээ бага зэрэг давхцах тул тодорхой болгохын тулд би үүнийг өөр үсгээр дахин бичих болно.

Жишээ 5

Хэрэв векторын уртыг ол .

Шийдвэр дараах байдалтай байна:

(1) Векторын илэрхийлэлийг нийлүүлэх.

(2) Бид уртын томъёог ашигладаг:, харин бүх илэрхийлэл нь "ve" векторын үүрэг гүйцэтгэдэг.

(3) Бид сургуулийн томъёог нийлбэрийн квадратад ашигладаг. Энд хэрхэн сониуч ажилладгийг анзаараарай: - үнэн хэрэгтээ энэ бол зөрүүний квадрат бөгөөд үнэндээ тийм байна. Сонирхож буй хүмүүс векторуудыг газруудад өөрчилж болно: - нөхцлүүдийг өөрчлөн тохируулах хүртэл адилхан болсон.

(4) Үлдсэн хэсэг нь өмнөх хоёр асуудлын аль хэдийн танил болсон.

Хариулт:

Бид уртын талаар ярьж байгаа тул хэмжээсийг "нэгж" гэж зааж өгөхөө бүү мартаарай.

Жишээ 6

Хэрэв векторын уртыг ол .

Энэ бол бие даасан шийдлийн жишээ юм. Бүрэн шийдэл, сургалтын төгсгөлд хариулах.

Бид цэгэн бүтээгдэхүүнээс хэрэгцээтэй зүйлийг шахсаар байна. Манай томъёог дахин авч үзье ... Пропорциональ дүрмийн дагуу векторуудын уртыг зүүн тал дахь хуваарьт шилжүүлье.

Мөн бид хэсгүүдийг солих болно:

Энэ томъёоны утга нь юу вэ? Хэрэв та хоёр векторын урт ба тэдгээрийн үржвэрийг мэддэг бол эдгээр векторуудын хоорондох өнцгийн косинусыг тооцоолж, улмаар өнцгийг өөрөө тооцоолж болно.

Цэгэн бүтээгдэхүүн нь тоо мөн үү? Дугаар Векторуудын урт нь тоо юу? Тоо. Тиймээс бутархай хэсэг нь бас тодорхой тоо юм. Хэрэв өнцгийн косинусыг мэддэг бол: , дараа нь урвуу функцийг ашиглан өнцгийг өөрөө олоход хялбар байдаг. .

Жишээ 7

Хэрэв энэ нь мэдэгдэж байгаа бол векторуудын хоорондох өнцгийг ол.

Шийдвэр: Бид дараахь томъёог ашигладаг.

Тооцооллын сүүлчийн шатанд техникийг ашигласан болно. Иррационал бус байдлыг арилгахын тулд тоон болон хуваагчийг үржүүллээ.

Хэрэв тийм бол , дараа нь:

Урвуу тригонометрийн функцын утгыг дараах байдлаар олж болно тригонометрийн хүснэгт... Хэдийгээр энэ нь ховор тохиолддог. Аналитик геометрийн асуудлуудад зарим нэг болхи баавгай ихэвчлэн гарч ирдэг бөгөөд өнцгийн утгыг ойролцоогоор тооцоолуур ашиглан олох хэрэгтэй. Үнэндээ бид ийм зургийг нэг бус удаа үзэх болно.

Хариулт:

Дахин хэлэхэд радиан ба градусыг хэмжихээ бүү мартаарай. Би хувьдаа "бүх асуултуудыг тодруулах "ын тулд би үүнийг хоёуланг нь хоёуланг нь хоёуланг нь хоёуланг нь хоёуланг нь хоёуланг нь хоёуланг нь хоёуланг нь хоёуланг нь хоёуланг нь хоёуланг нь зааж өгөхийг хүсч байна (мэдээжийн нөхцлөөр хариултыг зөвхөн радиан эсвэл зөвхөн градусаар өгөх шаардлагатай бол).

Одоо та илүү хэцүү ажлыг бие даан даван туулах чадвартай болно:

Жишээ 7 *

Векторуудын урт ба тэдгээрийн хоорондох өнцөг өгөгдсөн болно. Векторуудын хоорондох өнцгийг ол.

Даалгавар нь олон үе шаттай байх нь тийм ч хэцүү биш юм.
Шийдлийн алгоритмд дүн шинжилгээ хийцгээе.

1) Нөхцөлийн дагуу векторуудын хоорондох өнцгийг олох шаардлагатай тул томъёог ашиглах хэрэгтэй .

2) Цэгэн бүтээгдэхүүнийг ол (жишээ 3, 4-ийг үзнэ үү).

3) Векторын урт ба векторын уртыг олоорой (5, 6-р жишээг үзнэ үү).

4) Шийдлийн төгсгөл нь жишээ No7-тэй давхцаж байна - бид тоог мэдэж байгаа бөгөөд энэ нь өөрөө өнцгийг олоход хялбар гэсэн үг юм.

Сургалтын төгсгөлд товч шийдэл ба хариулт.

Хичээлийн хоёр дахь хэсэг нь ижил цэгэн бүтээгдэхүүн дээр төвлөрдөг. Координат. Энэ нь эхний хэсгээс ч хялбар байх болно.

Векторын цэгтэй бүтээгдэхүүн,
координатаар orthonormal үндэслэлээр өгдөг

Хариулт:

Координатуудтай харьцах нь илүү тааламжтай гэдгийг хэлэх шаардлагагүй юм.

Жишээ 14

Хэрэв байгаа бол векторуудын цэгийн үржвэрийг ол

Энэ бол өөрөө хийх шийдлийн жишээ юм. Энд та үйл ажиллагааны ассоциатив байдлыг ашиглаж болно, өөрөөр хэлбэл тоолохгүй, гэхдээ даруй гурвалжинг скаляр бүтээгдэхүүний гадна талд шилжүүлж, хамгийн сүүлд үржүүлнэ. Хичээлийн төгсгөлд шийдэл ба хариулт.

Догол мөрний төгсгөлд векторын уртыг тооцоолох өдөөн хатгасан жишээ байна.

Жишээ 15

Векторуудын уртыг ол , хэрэв

Шийдвэр:дахиад өмнөх хэсгийн арга замыг санал болгож байна, гэхдээ өөр арга байна:

Векторыг олох:

Хөнгөн томъёоны дагуу түүний урт :

Цэгэн бүтээгдэхүүн нь энд эргэлзээтэй байна!

Ажил эрхэлдэггүй тул векторын уртыг тооцоолохдоо:
Зогс. Векторын уртын илэрхий шинж чанарыг ашиглаж яагаад болохгүй гэж? Векторын урт юу вэ? Энэ вектор нь вектороос 5 дахин урт юм. Чиглэл нь эсрэг чиглэлтэй, гэхдээ хамаагүй, яагаад гэвэл яриа урт удаан үргэлжилдэг. Мэдээжийн хэрэг векторын урт нь үржвэртэй тэнцүү байна модуль векторын уртад ногдох тоо:
- модулийн тэмдэг нь тооноос хасах боломжтой тоог "иддэг".

Энэ замаар:

Хариулт:

Координатаар өгсөн векторуудын хоорондох өнцгийн косинусын томъёо

Одоо векторуудын хоорондох өнцгийн косинусын томъёог векторуудын координатаар илэрхийлэх бүрэн мэдээлэлтэй байна.

Онгоцны векторуудын хоорондох өнцгийн косинус мөн хэвийн бус үндэслэлээр өгсөн, томъёогоор илэрхийлсэн:
.

Сансрын векторуудын хоорондох өнцгийн косинус orthonormal үндэслэлээр өгсөн, томъёогоор илэрхийлсэн:

Жишээ 16

Гурвалжны гурван оройг өгсөн болно. Ол (оройн өнцөг).

Шийдвэр:Нөхцөлийн дагуу зураг зурах шаардлагагүй, гэхдээ:

Шаардлагатай өнцгийг ногоон нумаар тэмдэглэв. Сургуулийн өнцгийг нэн даруй санаарай: - онцгой анхаарал хандуулах дундаж үсэг - энэ бол бидэнд хэрэгтэй булангийн орой юм. Товчлолын хувьд үүнийг энгийнээр бичиж болно.

Зураг дээрээс харахад гурвалжингийн өнцөг нь векторуудын хоорондох өнцөгтэй давхцаж байгаа бөгөөд өөрөөр хэлбэл: .

Сэтгэцийн хувьд хийсэн шинжилгээг хэрхэн яаж хийхийг сурах нь зүйтэй.

Векторуудыг олох:

Цэгийн бүтээгдэхүүнийг тооцоолъё.

Векторуудын урт:

Өнцгийн косинус:

Энэ бол миний цайны саванд хийх даалгаврын дараалал юм. Илүү боловсронгуй уншигчид тооцооллыг "нэг мөрөнд" бичиж болно:

"Муу" косинусын үнэ цэнийн жишээ энд байна. Үүссэн утга нь эцсийнх биш тул хуваарьт утгагүй байдлаас ангижрах нь утгагүй юм.

Буланг өөрөө хайж олох:

Хэрэв та зургийг харвал үр дүн нь нэлээд үнэмшилтэй юм. Шалгахын тулд өнцгийг хэмжигчээр хэмжиж болно. Хяналтын тагийг гэмтээхгүй байх \u003d)

Хариулт:

Хариуд нь үүнийг мартаж болохгүй гурвалжны өнцгийн талаар асуув (ба векторуудын хоорондох өнцгийн талаар биш), яг хариултыг зааж өгөхийг бүү мартаарай: ба өнцгийн ойролцоо утга: тооцоолууртай хамт олдсон.

Энэ процесст дуртай хүмүүс өнцгийг тооцоолж, каноник тэгш байдал үнэн эсэхийг шалгаж болно

Жишээ 17

Гурвалжин нь түүний оройн координатаар орон зайд тодорхойлогдоно. Хажуугийн хоорондох өнцгийг ол

Энэ бол өөрөө хийх шийдлийн жишээ юм. Бүрэн шийдэл, сургалтын төгсгөлд хариулах

Төгсгөлийн богино хэсгийг скаляр бүтээгдэхүүнийг "хольж" хольсон төсөөлөлд зориулах болно.

Вектор-вектор проекц. Координатын тэнхлэгт векторын проекц.
Векторын косинусын чиглэл

Векторуудыг авч үзье.

Векторыг вектор дээр проекцлож үзье, ингэснээр векторын эхлэл ба төгсгөлөөс хасна перпендикуляр вектор тутамд (ногоон тасархай шугамууд). Гэрлийн туяа вектортой перпендикуляр унаж байна гэж төсөөлөөд үз дээ. Дараа нь сегмент (улаан шугам) нь векторын "сүүдэр" болно. Энэ тохиолдолд векторыг вектор руу төсөөлөх нь сегментийн LENGTH болно. Энэ бол ТӨСӨЛ бол тоо юм.

Энэ ДУГААР-ыг дараах байдлаар тэмдэглэнэ: "том вектор" гэдэг нь векторыг хэлнэ Аль нь төсөл, "жижиг дэд индекс вектор" нь векторыг илэрхийлнэ АСААЛТТАЙ төлөвлөж байгаа.

Бичлэг өөрөө ингэж уншдаг: "a" векторын "bh" вектор дээрх проекц "".

Хэрэв "bs" вектор "хэт богино" байвал юу болох вэ? Бид "байх" векторыг агуулсан шулуун шугамыг зурна. "A" векторыг аль хэдийн төлөвлөх болно "bs" векторын чиглэлд, зүгээр л - "байх" векторыг агуулсан шулуун шугам дээр. Гучин хаант улсад "а" векторыг хойшлуулбал мөн адил тохиолдох болно - "bh" векторыг агуулсан шулуун шугам дээр үүнийг хялбархан төсөөлөх болно.

Хэрэв өнцөг векторуудын хооронд цочмог (зураг дээрх шиг), дараа нь

Хэрэв векторууд ортогональ, дараа нь (проекц нь хэмжээсийг тэг гэж тооцсон цэг юм).

Хэрэв өнцөг векторуудын хооронд тэнэг(зураг дээр векторын сумыг оюун санааны хувьд дахин байрлуулна уу), дараа нь (ижил урттай, гэхдээ хасах тэмдгээр авсан).

Эдгээр векторуудыг нэг цэгээс хойшлуулъя.

Мэдээжийн хэрэг, вектор хөдлөхөд түүний төсөөлөл өөрчлөгдөхгүй

Тодорхойлолт 1

Векторуудын скаляр үржвэр нь эдгээр векторуудын dyn ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн косинусын үржвэртэй тэнцүү тоо юм.

A → ба b → векторуудын үржвэрийн тэмдэглэгээ нь a →, b → хэлбэртэй байна. Томъёо руу хөрвүүлье:

a →, b → \u003d a → b → cos a →, b → ^. a → ба b → векторуудын уртыг, a →, b → ^ өгөгдсөн векторуудын хоорондох өнцгийг заана. Хэрэв дор хаяж нэг вектор нь тэг, өөрөөр хэлбэл 0 гэсэн утгатай бол үр дүн нь тэг, a →, b → \u003d 0 болно

Векторыг үржүүлснээр бид түүний уртын квадратыг авна.

a →, b → \u003d a → b → cos a →, a → ^ \u003d a → 2 cos 0 \u003d a → 2

Тодорхойлолт 2

Векторыг дангаар нь скалаар үржүүлэхийг скаляр квадрат гэж нэрлэдэг.

Томъёогоор тооцоолов.

a →, b → \u003d a → b → cos a →, b → ^.

A →, b → \u003d a → b → cos a →, b → ^ \u003d a → npa → b → \u003d b → npb → a → гэсэн тэмдэглэгээ нь npb → a → нь a → on-ийн тоон проекц болохыг харуулж байна. b →, npa → a → нь тус тус b → a → хүртэлх проекц юм.

Бүтээгдэхүүний тодорхойлолтыг хоёр вектороор томъёолъё.

A → by b → гэсэн хоёр векторын скаляр үржвэрийг a → векторын уртын үржвэрийг b → проекцоор a → чиглэлд эсвэл b → уртын үржвэрийг a → тус тус проекцоор нэрлэнэ.

Координат дахь цэгийн бүтээгдэхүүн

Цэгийн бүтээгдэхүүнийг тухайн хавтгай эсвэл огторгуй дахь векторуудын координатаар тооцож болно.

Гурван хэмжээст орон зай дахь хавтгай дээрх хоёр векторын скаляр үржвэрийг өгөгдсөн a → ба b → векторуудын координатын нийлбэр гэж нэрлэдэг.

Декарт систем дэх өгөгдсөн a → \u003d (a x, a y), b → \u003d (b x, b y) векторуудын скаляр үржвэрийг тооцоолохдоо дараахь зүйлийг ашиглана уу.

a →, b → \u003d a x b x + a y b y,

гурван хэмжээст орон зайд дараахь илэрхийлэл хамаарна.

a →, b → \u003d a x b x + a y b y + a z b z.

Үнэндээ энэ бол цэгэн бүтээгдэхүүний гурав дахь тодорхойлолт юм.

Үүнийг нотолж үзье.

Баталгаа 1

Баталгаажуулахын тулд a → \u003d (ax, ay), b → \u003d (bx, by) векторуудад a →, b → \u003d a → b → cos a →, b → ^ \u003d ax bx + ay by -ийг ашиглана уу. Декартын систем.

Векторуудыг хойшлуулах хэрэгтэй

O A → \u003d a → \u003d a x, a y ба O B → \u003d b → \u003d b x, b y.

Дараа нь A B → векторын урт нь A B → \u003d O B → - O A → \u003d b → - a → \u003d (b x - a x, b y - a y) -тэй тэнцүү байна.

O A B гурвалжинг авч үзье.

A B 2 \u003d O A 2 + O B 2 - 2 O A O B cos (∠ A O B) нь косинусын теорем дээр үндэслэн үнэн болно.

Нөхцлөөр харахад O A \u003d a →, O B \u003d b →, A B \u003d b → - a →, ∠ A O B \u003d a →, b → ^ тул векторуудын хоорондох өнцгийг олох томъёог өөрөөр бичсэн болно.

b → - a → 2 \u003d a → 2 + b → 2 - 2 a → b → cos (a →, b → ^).

Дараа нь эхний тодорхойлолтоос харахад b → - a → 2 \u003d a → 2 + b → 2 - 2 (a →, b →), эндээс (a →, b →) \u003d 1 2 (a → 2 + b) → 2 - b → - a → 2).

Векторуудын уртыг тооцоолох томъёог хэрэглэснээр бид дараахь зүйлийг авна.
a →, b → \u003d 1 2 ((a 2 x + ay 2) 2 + (b 2 x + by 2) 2 - ((bx - ax) 2 + (by - ay) 2) 2) \u003d \u003d 1 2 (a 2 x + a 2 y + b 2 x + b 2 y - (bx - ax) 2 - (by - ay) 2) \u003d \u003d ax bx + ay by

Тэгш байдлыг нотолж үзье.

(a →, b →) \u003d a → b → cos (a →, b → ^) \u003d \u003d a x b x + a y b y + a z b z

- гурван хэмжээст орон зайн векторуудын хувьд тус тус.

Координаттай векторуудын скаляр үржвэрт векторын скаляр квадрат нь түүний орон зайн ба хавтгай дээрх координатын квадратын нийлбэртэй тэнцүү байна гэжээ. a → \u003d (a x, a y, a z), b → \u003d (b x, b y, b z) ба (a →, a →) \u003d a x 2 + a y 2.

Цэгэн бүтээгдэхүүн ба түүний шинж чанарууд

→, b → ба c → -т хамаарах цэгийн бүтээгдэхүүний шинж чанарууд байдаг:

1. коммутатив байдал (a →, b →) \u003d (b →, a →);
2. тархалт (a → + b →, c →) \u003d (a →, c →) + (b →, c →), (a → + b →, c →) \u003d (a →, b →) + (a → , в →);
3. хослолын шинж чанар (λ a →, b →) \u003d λ (a →, b →), (a →, λ b →) \u003d λ (a →, b →), λ нь дурын тоо;
4. скаляр квадрат нь үргэлж тэгээс их байдаг (a →, a →) ≥ 0, энд (a →, a →) \u003d 0 бол a → тэг байх тохиолдолд.

Жишээ 1

Хавтгай дээрх цэгийн бүтээгдэхүүний тодорхойлолт, бодит тоонуудыг нэмэх, үржүүлэх шинж чанаруудаас шалтгаалан шинж чанарууд нь тодорхой болно.

Коммутатив шинж чанарыг батал (a →, b →) \u003d (b →, a →). Тодорхойлолтоос харахад (a →, b →) \u003d a y b y + a y b y ба (b →, a →) \u003d b x a x + b y a y байна.

Коммутатив шинж чанараар a x b x \u003d b x a x ба a y b y \u003d b y a y-ийн тэгшитгэлүүд үнэн тул x x x + a y b y \u003d b x a x + b y a y болно.

Эндээс (a →, b →) \u003d (b →, a →) гарах болно. Q.E.D.

Тархац нь дурын тоонд хүчинтэй.

(a (1) → + a (2) → + .. + a (n) →, b →) \u003d (a (1) →, b →) + (a (2) →, b →) +. ... ... + (a (n) →, b →)

ба (a →, b (1) → + b (2) → + .. + b (n) →) \u003d (a →, b (1) →) + (a →, b (2) →) + ... ... ... + (a →, b → (n)),

тиймээс бидэнд байна

(a (1) → + a (2) → + .. + a (n) →, b (1) → + b (2) → + ... + b (m) →) \u003d (a ( 1) →, b (1) →) + (a (1) →, b (2) →) +. ... ... + (a (1) →, b (m) →) + + (a (2) →, b (1) →) + (a (2) →, b (2) →) +. ... ... + (a (2) →, b (m) →) +. ... ... + + (a (n) →, b (1) →) + (a (n) →, b (2) →) +. ... ... + (a (n) →, b (m) →)

Жишээ, шийдэл бүхий цэгэн бүтээгдэхүүн

Ийм төлөвлөгөөний аливаа асуудлыг цэгийн бүтээгдэхүүнтэй холбоотой шинж чанар, томъёог ашиглан шийдвэрлэнэ.

1. (a →, b →) \u003d a → b → cos (a →, b → ^);
2. (a →, b →) \u003d a → n p a → b → \u003d b → n p b → a →;
3. (a →, b →) \u003d a x b x + a y b y эсвэл (a →, b →) \u003d a x b x + a y b y + a z b z;
4. (a →, a →) \u003d a → 2.

Зарим шийдлийн жишээг авч үзье.

Жишээ 2

A → -ийн урт нь 3, b →-ийн урт нь 7. Хэрэв өнцөг нь 60 градус байвал цэгийн үржвэрийг олоорой.

Шийдвэр

Нөхцөлөөр бид бүх өгөгдөлтэй тул томъёогоор тооцоолно уу.

(a →, b →) \u003d a → b → cos (a →, b → ^) \u003d 3 7 cos 60 ° \u003d 3 7 1 2 \u003d 21 2

Хариулт: (a →, b →) \u003d 21 2.

Жишээ 3

Өгөгдсөн векторууд a → \u003d (1, - 1, 2 - 3), b → \u003d (0, 2, 2 + 3). Цэгтэй бүтээгдэхүүн гэж юу вэ?

Шийдвэр

Энэ жишээнд координатаар тооцоолох томъёог авч үзье.Учир нь тэдгээрийг асуудлын тайлбарт заасан болно.

(a →, b →) \u003d ax bx + ay by + az bz \u003d \u003d 1 0 + (- 1) 2 + (2 + 3) (2 + 3) \u003d \u003d 0 - 2 + ( 2 - 9) \u003d - 9

Хариулт: (a →, b →) \u003d - 9

Жишээ 4

A B → ба A C → цэгийн бүтээгдэхүүнийг ол. Координатын хавтгайд A (1, - 3), B (5, 4), C (1, 1) цэгүүдийг өгсөн болно.

Шийдвэр

Эхлэхийн тулд векторуудын координатыг тооцоолно.Учир нь цэгүүдийн координатыг дараах нөхцлөөр өгдөг.

A B → \u003d (5 - 1, 4 - (- 3)) \u003d (4, 7) A C → \u003d (1 - 1, 1 - (- 3)) \u003d (0, 4)

Координатыг ашиглан томъёонд оруулан дараахь зүйлийг авна.

(A B →, A C →) \u003d 4 0 + 7 4 \u003d 0 + 28 \u003d 28.

Хариулт: (A B →, A C →) \u003d 28.

Жишээ 5

A → \u003d 7 m → + 3 n → ба b → \u003d 5 m → + 8 n → векторуудыг өгөөд тэдгээрийн үржвэрийг олоорой. m → нь 3, n → нь 2 нэгжтэй тэнцүү бөгөөд тэдгээр нь перпендикуляр юм.

Шийдвэр

(a →, b →) \u003d (7 m → + 3 n →, 5 m → + 8 n →). Түгээх өмчийг ашигласнаар бид дараахь зүйлийг авна.

(7 m → + 3 n →, 5 m → + 8 n →) \u003d \u003d (7 m →, 5 m →) + (7 m →, 8 n →) + (3) n →, 5 m →) + (3 n →, 8 n →)

Бид бүтээгдэхүүний тэмдгийн коэффициентийг гаргаж аваад дараахь зүйлийг авна.

(7 m →, 5 m →) + (7 m →, 8 n →) + (3 n →, 5 m →) + (3 n →, 8 n →) \u003d \u003d 7 5 (m →, m →) + 7 8 (m →, n →) + 3 5 (n →, m →) + 3 8 (n →, n →) \u003d \u003d 35 (m →, m →) + 56 (m →, n →) + 15 (n →, m →) + 24 (n →, n →)

Коммутатив шинж чанараар бид дараахь зүйлийг хувиргадаг.

35 (m →, m →) + 56 (m →, n →) + 15 (n →, m →) + 24 (n →, n →) \u003d 35 (m →, m →) + 56 (m →, n →) + 15 (m →, n →) + 24 (n →, n →) \u003d 35 (m →, m →) + 71 (m →, n →) ) + 24 (n →, n →)

Үүний үр дүнд бид дараахь зүйлийг олж авна.

(a →, b →) \u003d 35 (m →, m →) + 71 (m →, n →) + 24 (n →, n →).

Одоо нөхцөлөөр тодорхойлсон өнцгөөр цэгийн бүтээгдэхүүний томъёог хэрэглэе.

(a →, b →) \u003d 35 (m →, m →) + 71 (m →, n →) + 24 (n →, n →) \u003d \u003d 35 m → 2 + 71 m → n → cos (m →, n → ^) + 24 n → 2 \u003d \u003d 35 3 2 + 71 3 2 cos π 2 + 24 2 2 \u003d 411.

Хариулт: (a →, b →) \u003d 411

Хэрэв тоон проекц байгаа бол.

Жишээ 6

A → ба b → цэгийн бүтээгдэхүүнийг ол. A → вектор нь a → \u003d (9, 3, - 3) координаттай, проекц b → координаттай (- 3, - 1, 1) байна.

Шийдвэр

Таамаглалаар a → ба проекц b → векторууд эсрэг чиглэлтэй байна, учир нь a → \u003d - 1 3 · n p a → b → →, тиймээс b → проекц нь n p a → b → → урттай тохирч байгаа бөгөөд "-" тэмдгийн хамт:

n p a → b → → \u003d - n p a → b → → \u003d - (- 3) 2 + (- 1) 2 + 1 2 \u003d - 11,

Томъёонд орлуулснаар бид дараахь илэрхийлэлийг олж авна.

(a →, b →) \u003d a → n p a → b → → \u003d 9 2 + 3 2 + (- 3) 2 (- 11) \u003d - 33.

Хариулт: (a →, b →) \u003d - 33.

Векторын урт эсвэл тоон проекцийг олох шаардлагатай цэгүүдтэй холбоотой асуудлууд.

Жишээ 7

A → \u003d (1, 0, λ + 1) ба b → \u003d (λ, 1, λ) өгөгдсөн скаляр бүтээгдэхүүний хувьд λ ямар утгыг авах ёстой вэ?

Шийдвэр

Томъёоноос харахад координатын үржвэрүүдийн нийлбэрийг олох шаардлагатай байна.

(a →, b →) \u003d 1 λ + 0 1 + (λ + 1) λ \u003d λ 2 + 2 λ.

Бид (a →, b →) \u003d - 1 байгаа тул.

Λ олохын тулд бид тэгшитгэлийг тооцоолно.

λ 2 + 2 λ \u003d - 1, эндээс λ \u003d - 1 байна.

Хариулт: λ \u003d - 1.

Цэгэн бүтээгдэхүүний биет утга

Механик нь цэгэн бүтээгдэхүүний хэрэглээг авч үздэг.

А хүчийг тогтмол F → хүчдэлээр М цэгээс N руу шилжүүлсэн үед F → ба M N → векторуудын уртын үржвэрийг тэдгээрийн хоорондох өнцгийн косинусаар олох боломжтой бөгөөд энэ нь ажил нь хүч ба шилжилтийн векторуудын үржвэртэй тэнцүү байна гэсэн үг юм.

A \u003d (F →, M N →).

Жишээ 8

5 тоннтой тэнцэх хүчний нөлөөн дор материалын цэгийн хөдөлгөөнийг тэнхлэгтэй харьцуулж 45 градусын өнцгөөр чиглүүлдэг. Олох.

Шийдвэр

Ажил нь хүчний вектор ба нүүлгэн шилжүүлэлтийн бүтээгдэхүүн тул F → \u003d 5, S → \u003d 3, (F →, S → ^) \u003d 45 ° нөхцөлд үндэслэн бид A \u003d (F →, S →) \u003d F гэсэн утгатай болно. → S → cos (F →, S → ^) \u003d 5 3 cos (45 °) \u003d 15 2 2.

Хариулт: A \u003d 15 2 2.

Жишээ 9

F → \u003d (3, 1, 2) хүчээр M (2, - 1, - 3) -ээс N (5, 3 λ - 2, 4) руу шилжсэн материаллаг цэг нь 13 J.-тэй тэнцүү ажил гүйцэтгэв Хөдөлгөөний уртыг тооцоол.

Шийдвэр

M N → векторын өгөгдсөн координатын хувьд бид M N → \u003d (5 - 2, 3 λ - 2 - (- 1), 4 - (- 3)) \u003d (3, 3 λ - 1, 7) байна.

F → \u003d (3, 1, 2) ба MN → \u003d (3, 3 λ - 1, 7) векторуудтай ажиллах ажлыг олох томъёогоор бид A \u003d (F ⇒, MN →) \u003d 3 3 + 1 (3 λ) авна. - 1) + 2 7 \u003d 22 + 3.

Таамаглалаар A \u003d 13 J гэж өгөгдсөн бөгөөд энэ нь 22 + 3 λ \u003d 13 гэсэн үг юм. Эндээс λ \u003d - 3, тиймээс M N → \u003d (3, 3 λ - 1, 7) \u003d (3, - 10, 7) болно.

M N → нүүлгэн шилжүүлэлтийн уртыг олохын тулд томъёог хэрэглэж, утгыг орлуулна уу.

M N → \u003d 3 2 + (- 10) 2 + 7 2 \u003d 158.

Хариулт: 158.

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг сонгоод Ctrl + Enter дарна уу

Бие даасан шийдлийн даалгаварууд байх бөгөөд үүнд хариултыг нь үзэх боломжтой.

Хэрэв асуудалд векторуудын урт ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийг хоёуланг нь "мөнгөн тавган дээр" толилуулсан бол асуудлын нөхцөл ба түүний шийдэл дараах байдалтай байна:

Жишээ 1.Векторууд өгдөг. Векторуудын урт ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийг дараахь утгаар илэрхийлбэл цэгийн үржвэрийг олоорой.

Өөр нэг тодорхойлолт нь хүчин төгөлдөр бөгөөд энэ нь Тодорхойлолт 1-тэй бүрэн тэнцүү юм.

Тодорхойлолт 2... Векторуудын скаляр үржвэр нь эдгээр векторуудын эхнийхээр тодорхойлогдсон нөгөө векторыг тэнхлэгт проекцлох замаар эдгээр векторуудын аль нэгнийх нь уртын үржвэртэй тэнцүү тоо (скаляр) юм. Тодорхойлолт 2-ын дагуу томъёо:

Дараагийн чухал онолын дараа бид энэ томъёог ашиглан асуудлыг шийдвэрлэх болно.

Координатын хувьд векторуудын цэгийн үржвэрийг тодорхойлох

Хэрэв векторуудыг координатаар нь үржүүлж өгвөл ижил тоог авах боломжтой.

Тодорхойлолт 3. Векторуудын цэгийн үржвэр нь тэдгээрийн координатын хос үржвэрийн нийлбэртэй тэнцүү тоо юм.

Гадаргуу дээр

Хэрэв хавтгай дээрх хоёр векторыг тэдгээрийн хоёр нь тодорхойлсон бол декарт тэгш өнцөгт координат

дараа нь эдгээр векторуудын скаляр үржвэр нь тэдгээрийн координатын хос үржвэрийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

.

Жишээ 2.Векторын параллель тэнхлэг дээр векторын проекцийн тоон утгыг ол.

Шийдвэр. Бид векторуудын цэгийн үржвэрийг тэдгээрийн координатын хос үржвэрийг нэмснээр олно.

Одоо бид үүссэн скаляр бүтээгдэхүүнийг векторын урт ба вектортой параллель тэнхлэг дээрх векторын проекцийг (томъёоны дагуу) үржвэртэй тэнцэх хэрэгтэй.

Бид векторын уртыг түүний координатын квадратуудын нийлбэрийн квадрат язгуур гэж олдог.

.

Бид тэгшитгэл гаргаж, үүнийг шийднэ.

Хариулт Хүссэн тоон утга нь хасах 8 байна.

Сансарт

Хэрэв хоёр вектор ба орон зайг тэдгээрийн гурван тэгш өнцөгт координатаар тодорхойлсон бол

,

дараа нь эдгээр векторуудын скаляр үржвэр нь тэдгээрийн координатын хосолсон үржвэрүүдийн нийлбэртэй тэнцүү байна, зөвхөн гурван координат байна.

.

Харгалзан үзсэн аргаар цэгийн бүтээгдэхүүнийг олох асуудал нь цэгийн бүтээгдэхүүний шинж чанарыг задлан шинжилсний дараа юм. Учир нь даалгаварт үржүүлсэн векторууд ямар өнцөг үүсгэхийг тодорхойлох шаардлагатай болно.

Векторуудын цэгийн бүтээгдэхүүний шинж чанар

Алгебрийн шинж чанарууд

1. (нүүлгэн шилжүүлэх эд хөрөнгө: үржүүлж буй векторуудын байршлын өөрчлөлтөөс тэдгээрийн цэгийн бүтээгдэхүүний хэмжээ өөрчлөгдөхгүй).

2. (тооны хүчин зүйлийн хувьд хосолсон шинж чанар: векторын цэгийн үржвэрийг зарим хүчин зүйлээр үржүүлж, өөр вектор нь эдгээр векторуудын цэгийн үржвэрийг ижил хүчин зүйлээр үржүүлсэнтэй тэнцүү байна.

3. (векторуудын нийлбэрийн хувьд тархалтын шинж чанар: хоёр векторын нийлбэрийн гуравдахь векторын цэгийн үржвэр нь эхний векторын гуравдахь векторын, хоёр дахь векторын гуравдахь векторын цэгийн үржвэртэй тэнцүү байна.

4. (векторын квадрат квадрат нь тэгээс их байна), хэрэв тэгээс бусад вектор, хэрэв тэг вектор бол.

Геометрийн шинж чанар

Судалж буй үйл ажиллагааны тодорхойлолтод бид хоёр векторын хоорондох өнцгийн тухай ойлголтыг аль хэдийн хөндсөн болно. Энэ үзэл баримтлалыг тодруулах цаг болжээ.

Дээрх зураг дээр хоёр вектор харагдаж байна, тэдгээрийг нийтлэг гарал үүсэлд авчирсан. Анхаарах зүйл бол эдгээр векторуудын хооронд хоёр өнцөг байна - φ 1 болон φ 2 ... Эдгээр өнцгүүдийн аль нь векторуудын цэгийн бүтээгдэхүүний тодорхойлолт, шинж чанаруудад гарч ирдэг вэ? Харгалзан үзсэн өнцгүүдийн нийлбэр нь 2 байна π Тиймээс эдгээр өнцгийн косинусууд тэнцүү байна. Цэгэн бүтээгдэхүүний тодорхойлолтод зөвхөн өнцгийн косинус орно, харин түүний илэрхийллийн утга биш юм. Гэхдээ үл хөдлөх хөрөнгийн хувьд зөвхөн нэг буланг авч үздэг. Энэ бол давж гарахгүй хоёр өнцгийн нэг юм π , өөрөөр хэлбэл 180 градус. Зураг дээр энэ өнцгийг дараах байдлаар тодорхойлсон болно φ 1 .

1. Хоёр векторыг нэрлэдэг ортогональ болон эдгээр векторуудын хоорондох өнцөг нь шулуун шугам юм (90 градус эсвэл π / 2) хэрэв эдгээр векторуудын цэгийн үржвэр нь тэг байна :

.

Векторын алгебр дахь тэгш өнцөгт байдал нь хоёр векторын перпендикуляр байдал юм.

2. Тэгээс бусад хоёр вектор бүрдүүлдэг хурц өнцөг (0-ээс 90 градус хүртэл, эсвэл ижил - бага π цэг бүтээгдэхүүн эерэг байна .

3. Хоёр тэгийн вектор бүрдүүлдэг мохоо өнцөг (90-ээс 180 градус хүртэл, эсвэл ижил хэмжээтэй - илүү π / 2) хэрэв тэд л байвал цэг бүтээгдэхүүн сөрөг байна .

Жишээ 3. Векторыг координатаар өгсөн болно.

.

Бүх өгөгдсөн векторуудын цэгийн үржвэрийг тооцоол. Эдгээр хос векторууд ямар өнцөг (хурц, шулуун, мохоо) үүсгэдэг вэ?

Шийдвэр. Бид харгалзах координатын бүтээгдэхүүнийг нэмж тооцоолох болно.

Сөрөг тоог хүлээн авсан тул векторууд нь мохоо өнцөг үүсгэдэг.

Бид эерэг тоог авсан тул векторууд нь хурц өнцөг үүсгэдэг.

Бид тэгийг авсан тул векторууд нь тэгш өнцөг үүсгэдэг.

Бид эерэг тоог авсан тул векторууд нь хурц өнцөг үүсгэдэг.

.

Бид эерэг тоог авсан тул векторууд нь хурц өнцөг үүсгэдэг.

Өөрийгөө шалгахын тулд та ашиглаж болно онлайн тооцоологч Цэгүүдийн үржвэр ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн косинус .

Жишээ 4. Хоёр векторын урт ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийг өгөв.

.

Тухайн векторууд нь ямар утгатай, тэгш өнцөгт (перпендикуляр) болохыг тодорхойл.

Шийдвэр. Бид олон гишүүнтийг үржүүлэх дүрмийн дагуу векторуудыг үржүүлдэг.

Одоо нэр томъёо бүрийг тооцоолж үзье.

.

Тэгшитгэл зохиож (бүтээгдэхүүний тэгшитгэлийг тэг болгох), ижил төстэй нөхцлүүдийг өгөөд тэгшитгэлийг шийдье.

Хариулт: бид үнэ цэнийг нь авсан λ \u003d 1.8, векторууд нь тэгш өнцөгт байна.

Жишээ 5.Вектор гэдгийг нотол вектор руу ортогональ (перпендикуляр)

Шийдвэр. Тэгш өнцөгт байдлыг шалгахын тулд бид векторуудыг олон гишүүнт байдлаар үржүүлж, бодлогын тайлбарт өгөгдсөн илэрхийллийг орлуулна.

.

Үүнийг хийхийн тулд та эхний олон гишүүнт гишүүнчлэл (гишүүнчлэл) -ийг хоёр дахь гишүүн тус бүрээр үржүүлж, үржүүлсэн бүтээгдэхүүнийг нэмэх хэрэгтэй.

.

Үүний үр дүнд бутархай хэсгийг зардлаар бууруулдаг. Үр дүн нь дараах байдалтай байна.

Дүгнэлт: үржүүлгийн үр дүнд бид тэг болсон тул векторуудын тэгш өнцөгт байдал (перпендикуляр байдал) батлагдсан болно.

Асуудлыг өөрөө шийдээд дараа нь шийдлийг нь үзээрэй

Жишээ 6. Векторуудын урт ба ба эдгээр векторуудын хоорондох өнцөг нь өгөгдсөн болно π / 4. Ямар утгатай болохыг тодорхойл μ векторууд ба харилцан перпендикуляр байна.

Өөрийгөө шалгахын тулд та ашиглаж болно онлайн тооцоологч Цэгүүдийн үржвэр ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн косинус .

Векторуудын цэгийн үржвэр ба n хэмжээст векторуудын үржвэрийн матрицын дүрслэл

Заримдаа матриц хэлбэрээр үржүүлж буй хоёр векторыг илэрхийлэх нь тодорхой байх нь давуу талтай байдаг. Дараа нь эхний векторыг мөрийн матриц хэлбэрээр, хоёр дахь нь баганын матриц хэлбэрээр илэрхийлэгдэнэ.

Дараа нь векторуудын скаляр үржвэр болно эдгээр матрицын бүтээгдэхүүн :

Үр дүн нь бидний өмнө нь авч үзсэн аргаар олж авсантай ижил байна. Нэг дан тоог олж авах ба баганын матрицын мөрийн матрицын үржвэр нь бас нэг дан тоо болно.

Матриц хэлбэрээр хийсвэр n хэмжээст векторуудын бүтээгдэхүүнийг илэрхийлэх нь тохиромжтой байдаг. Тэгэхээр хоёр дөрвөн хэмжээст векторын үржвэр нь дөрвөн элементтэй баганын матрицын үржвэр, мөн дөрвөн элементтэй багана матрицын, хоёр таван хэмжээст векторын үржвэр нь таван элемент бүхий баганын матрицын ба таван элементийн баганын матрицын үржвэр байх болно.

Жишээ 7. Хос векторуудын цэгэн бүтээгдэхүүнийг олох

,

матрицын дүрслэлийг ашиглах.

Шийдвэр. Эхний хос векторууд. Бид эхний векторыг мөрийн матриц хэлбэрээр, хоёр дахь нь баганын матриц хэлбэрээр төлөөлдөг. Эдгээр векторуудын скаляр үржвэрийг баганын матрицаар мөрийн матрицын үржвэр болгон олдог.

Үүнтэй адил бид хоёрдахь хосыг төлөөлж дараахь зүйлийг олно.

Таны харж байгаагаар үр дүн нь 2-р жишээнээс ижил хосуудын үр дүнтэй ижил байна.

Хоёр векторын хоорондох өнцөг

Хоёр векторын хоорондох өнцгийн косинусын томъёог гаргаж авах нь маш үзэсгэлэнтэй бөгөөд богино юм.

Векторуудын цэгийн үржвэрийг илэрхийлэх

(1)

координатын хэлбэрээр эхлээд нэгж векторуудын скаляр үржвэрийг олно. Векторын цэгийн үржвэрийг дараах байдлаар тодорхойлно:

Дээрх томъёонд бичсэн зүйл нь: векторын цэгийн үржвэр нь түүний уртын квадраттай тэнцүү байна... Тэгийн косинус нь нэгтэй тэнцүү тул орт бүрийн квадрат нь нэгтэй тэнцүү байна.

Векторуудаас хойш

перпендикуляр хосоороо хуваагдвал нэгж векторуудын хос үржвэрүүд тэгтэй тэнцүү байна.

Одоо векторын олон гишүүнтийг үржүүлье.

Тэгш байдлын баруун талд нэгж векторуудын харгалзах скаляр бүтээгдэхүүний утгыг орлуулна.

Бид хоёр векторын хоорондох өнцгийн косинусын томъёог авна.

Жишээ 8.Гурван оноо өгсөн А(1;1;1), Б(2;2;1), C(2;1;2).

Буланг олох.

Шийдвэр. Векторуудын координатыг олох:

,

.

Өнцгийн косинусын томъёогоор бид дараахь зүйлийг авна.

Улмаар,.

Өөрийгөө шалгахын тулд та ашиглаж болно онлайн тооцоологч Цэгүүдийн үржвэр ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн косинус .

Жишээ 9.Хоёр вектор өгөгдсөн

Тэдгээрийн нийлбэр, зөрүү, урт, цэгийн үржвэр ба өнцгийг ол.

2. Ялгаа

Лекц: Векторын координат; векторуудын цэгийн бүтээгдэхүүн; векторуудын хоорондох өнцөг

Векторын координат

Өмнө дурьдсанчлан векторууд нь чиглэлийн сегмент бөгөөд өөрийн эхлэл, төгсгөлтэй байдаг. Хэрэв эхлэл ба төгсгөлийг зарим цэгээр дүрсэлсэн бол хавтгай эсвэл орон зайд өөрсдийн координаттай болно.

Хэрэв цэг тус бүр өөрийн координаттай бол бид бүхэл векторын координатыг авч болно.

Бидэнд векторын эхлэл ба төгсгөл дараахь тэмдэглэгээ ба координаттай зарим вектор байна гэж бодъё: A (A x; Ay) ба B (B x; By)

Энэ векторын координатыг авахын тулд векторын төгсгөлийн координатаас эхлэлийн харгалзах координатыг хасах хэрэгтэй.

Сансарт байгаа векторын координатыг тодорхойлохын тулд дараахь томъёог ашиглана уу.

Векторуудын цэгэн бүтээгдэхүүн

Цэгтэй бүтээгдэхүүнийг тодорхойлох хоёр арга байдаг:

• Геометрийн арга. Түүний үзэж байгаагаар цэгийн бүтээгдэхүүн нь эдгээр модулиудын утгын үржвэр хоорондох өнцгийн косинусаар тэнцүү байна.

• Алгебрийн утга. Алгебрийн үүднээс авч үзвэл хоёр векторын цэгийн үржвэр нь харгалзах векторуудын бүтээгдэхүүний нийлбэрийн үр дүнд олж авсан тодорхой хэмжигдэхүүн юм.

Хэрэв векторууд огторгуйд өгөгдсөн бол ижил төстэй томъёог ашиглана уу.

Үл хөдлөх хөрөнгө:

• Хэрэв та хоёр ижил векторыг скаляраар үржүүлбэл тэдгээрийн цэгийн бүтээгдэхүүн сөрөг биш байх болно.

• Хэрэв хоёр ижил векторын скаляр үржвэр нь тэгтэй тэнцүү бол эдгээр векторыг тэг гэж үзнэ.

• Хэрэв векторыг өөрөө үржүүлбэл скаляр үржвэр нь түүний модулийн квадраттай тэнцүү байна.

• Скаляр бүтээгдэхүүн нь харилцааны шинж чанартай, өөрөөр хэлбэл скаляр бүтээгдэхүүн нь векторуудын сэлгэлтээс өөрчлөгдөхгүй.

• Тэгээс бусад векторуудын скаляр үржвэр нь векторууд хоорондоо перпендикуляр байх тохиолдолд л тэг болно.

• Векторуудын скаляр үржвэрийн хувьд нэг векторыг тоогоор үржүүлэх тохиолдолд шилжилтийн хууль хүчин төгөлдөр болно.

• Цэгэн бүтээгдэхүүний тусламжтайгаар та үржүүлгийн хуваарилах шинж чанарыг ашиглаж болно.

Векторуудын хоорондох өнцөг

Вектор ба цэгийн бүтээгдэхүүн нь векторуудын хоорондын өнцгийг тооцоолоход хялбар болгодог. $ \\ Overline (a) $ ба $ \\ overline (b) $ гэсэн хоёр вектор өгөгдсөн байх ба тэдгээрийн хоорондох өнцөг нь $ \\ varphi $ байна. $ X \u003d (\\ overline (a), \\ overline (b)) $ ба $ y \u003d [\\ overline (a), \\ overline (b)) $ гэсэн утгуудыг тооцоол. Дараа нь $ x \u003d r \\ cos \\ varphi $, $ y \u003d r \\ sin \\ varphi $, энд $ r \u003d | \\ overline (a) | \\ cdot | \\ overline (b) | $ ба $ \\ varphi $ шаардлагатай болно. өнцөг, өөрөөр хэлбэл $ (x, y) $ цэг нь $ \\ varphi $ -тай тэнцүү туйлын өнцөгтэй тул $ \\ varphi $ -ийг atan2 (y, x) гэж олох боломжтой.

Гурвалжингийн талбай

Хөндлөн бүтээгдэхүүн нь хоёр векторын уртыг тэдгээрийн хоорондох өнцгийн косинусаар агуулдаг тул хөндлөн бүтээгдэхүүнийг ABC гурвалжны талбайг тооцоолоход ашиглаж болно.

$ S_ (ABC) \u003d \\ frac (1) (2) | [\\ overline (AB), \\ overline (AC)) | $.

Шугаман цэг

$ P $ цэг ба $ AB $ шулуун шугамыг ($ A $ ба $ B $ гэсэн хоёр цэгээр өгсөн) өгье. Энэ цэг нь $ AB $ шугаманд хамааралтай эсэхийг шалгах шаардлагатай.

Хэрэв $ AP $ ба $ AB $ векторууд хоорондоо шулуун байвал, өөрөөр хэлбэл $ [\\ overline (AP), \\ overline (AB)] \u003d 0 $ бол цэг нь $ AB $ шулуун шугаманд хамаарна.

Цэгийн туяанд харьяалагддаг

$ P $ цэг ба $ AB $ туяаг өгье ($ A $ цацрагийн үүсэл ба $ B $ цацрагийн цэгийг хоёр цэгээр өгсөн болно). Энэ цэг нь $ AB $ туяанд хамааралтай эсэхийг шалгах шаардлагатай.

$ P $ цэг нь $ AB $ шугамд харьяалагдах нөхцлөөр нэмэлт нөхцөл нэмэх шаардлагатай болно - $ AP $ ба $ AB $ векторууд нь хамтарсан чиглэлтэй, өөрөөр хэлбэл тэдгээр нь хоорондоо шулуун, тэдгээрийн скаляр үр дүн нь сөрөг биш, өөрөөр хэлбэл $ (\\ overline (AB), \\ overline (AP) )) \\ ge 0 $.

Цэг нь шугамын сегментэд хамаарна

$ P $ цэг ба $ AB $ сегментийг өгье. Энэ цэг нь $ AB $ сегментэд хамааралтай эсэхийг шалгах шаардлагатай.

Энэ тохиолдолд цэг нь $ AB $ туяа ба $ BA $ туяанд хоёуланд нь харьяалагдах ёстой тул дараах нөхцлүүдийг шалгах хэрэгтэй.

$ [\\ overline (AP), \\ overline (AB)] \u003d 0 $,

$ (\\ overline (AB), \\ overline (AP)) \\ ge 0 $,

$ (\\ overline (BA), \\ overline (BP)) \\ ge 0 $.

Цэгээс шугам хүртэлх зай

$ P $ цэг ба $ AB $ шулуун шугамыг ($ A $ ба $ B $ гэсэн хоёр цэгээр өгсөн) өгье. $ AB $ шулуун шугамын цэгээс зайг олох шаардлагатай.

ABP гурвалжинг авч үзье. Нэг талаас түүний талбай нь $ S_ (ABP) \u003d \\ frac (1) (2) | [\\ overline (AB), \\ overline (AP)] | $.

Нөгөө талаас түүний талбай нь $ S_ (ABP) \u003d \\ frac (1) (2) h | AB | $, $ h $ бол $ P $ цэгээс унасан өндөр, өөрөөр хэлбэл $ P $ -аас $ хүртэлх зай юм. AB $. $ H \u003d | [\\ overline (AB), \\ overline (AP)] | / | AB | $.

Гэрлийн зайг чиглүүл

$ P $ цэг ба $ AB $ туяаг өгье ($ A $ цацрагийн үүсэл ба $ B $ цацрагийн цэгийг хоёр цэгээр өгье). Цэгээс цацраг хүртэлх зайг, өөрөөр хэлбэл $ P $ цэгээс цацрагийн дурын цэг хүртэлх хамгийн богино хэсгийн уртыг олох шаардлагатай.

Энэ зай нь $ AP $ урттай эсвэл $ P $ цэгээс $ AB $ шугам хүртэлх зайтай тэнцүү байна. Тохиолдлын аль нь болохыг цэг ба цэгийн харьцангуй байрлалаар тодорхойлоход хялбар байдаг. Хэрэв PAB өнцөг нь хурц, өөрөөр хэлбэл $ (\\ overline (AB), \\ overline (AP))\u003e 0 $ бол хариулт нь $ P $ цэгээс $ AB $ шулуун хүртэлх зай байх болно, эс тэгвээс хариулт нь $ AB $ сегментийн урт байх болно.

Цэгээс шугам хүртэлх зай

$ P $ цэг ба $ AB $ сегментийг өгье. $ P $ -аас $ AB $ сегмент хүртэлх зайг олох шаардлагатай.

Хэрэв перпендикулярын суурь $ P $ -аас $ AB $ шугам руу унасан бол $ AB $ сегмент дээр унах бөгөөд үүнийг нөхцлөөр шалгаж болно.

$ (\\ overline (AP), \\ overline (AB)) \\ ge 0 $,

$ (\\ overline (BP), \\ overline (BA)) \\ ge 0 $,

тэгвэл хариулт нь $ P $ цэгээс $ AB $ шугам хүртэлх зай юм. Үгүй бол зай нь $ \\ min (AP, BP) $ болно.