Энэ нийтлэлд бид хоёр векторын хөндлөн бүтээгдэхүүний тухай ойлголтыг авч үзэх болно. Бид шаардлагатай тодорхойлолтуудыг өгч, вектор бүтээгдэхүүний координатыг олох томъёог бичиж, шинж чанаруудыг жагсаан бичнэ. Үүний дараа бид хоёр векторын векторын үржвэрийн геометрийн утга дээр анхаарлаа төвлөрүүлж, янз бүрийн ердийн жишээнүүдийн шийдлийг авч үзье.

Хуудасны навигаци.

Вектор бүтээгдэхүүний тодорхойлолт.

Вектор бүтээгдэхүүнийг тодорхойлохын өмнө гурван хэмжээст орон зайд эрэмбэлэгдсэн векторуудын гурвалсан чиглэлийг тодорхойлъё.

Нэг цэгээс векторуудыг хойш тавь. Векторын чиглэлээс хамааран гурвалсан нь баруун эсвэл зүүн байж болно. Вектороос хамгийн богино эргэлт хэрхэн явагдахыг векторын төгсгөлөөс харцгаая. Хэрэв хамгийн богино эргэлт цагийн зүүний эсрэг явагдаж байвал векторуудын гурвалсан гурвалсан үеийг дуудна зөвүгүй бол - зүүн.

Одоо бид хоёр шугаман бус вектор авч байна. Векторыг хойш тавьж, А цэгээс авч үзье. Ба ба аль алинд нь перпендикуляр хэдэн вектор байгуулъя. Мэдээжийн хэрэг, векторыг бүтээхдээ бид нэг зүйлийг нэг чиглэлд эсвэл эсрэгээр нь хоёр зүйлийг хийж чадна (зураг харна уу).

Векторын чиглэлээс хамааран векторуудын захиалсан гурвалсан гурвал нь баруун эсвэл зүүн байж болно.

Тиймээс бид вектор бүтээгдэхүүний тодорхойлолтод ойрхон байна. Энэ нь гурван хэмжээст орон зайн тэгш өнцөгт координатын системд өгөгдсөн хоёр векторт өгөгдсөн болно.

Тодорхойлолт.

Хоёр векторын вектор үржвэр ба гурван хэмжээст орон зайн тэгш өнцөгт координатын системд өгөгдсөн вектор гэж нэрлэдэг

Векторын вектор үржвэрийг дараах байдлаар тэмдэглэв.

Вектор бүтээгдэхүүний координат.

Одоо түүний векторуудын координатаар түүний координатыг олох боломжийг олгодог вектор бүтээгдэхүүний хоёр дахь тодорхойлолтыг өгье.

Тодорхойлолт.

Гурван хэмжээст орон зайн тэгш өнцөгт координатын системд хоёр векторын хөндлөн үржвэр болон нь вектор бөгөөд координатын векторууд хаана байна.

Энэхүү тодорхойлолт нь хөндлөн бүтээгдэхүүнийг координатын хэлбэрээр өгдөг.

Вектор бүтээгдэхүүнийг гуравдугаар эрэмбийн квадрат матрицын тодорхойлогч хэлбэрээр илэрхийлэх нь тохиромжтой бөгөөд эхний мөр нь нэгж векторууд, хоёр дахь мөрөнд векторын координатууд, гурав дахь нь өгөгдсөн тэгш өнцөгт координатын систем дэх векторын координатуудыг агуулна.

Хэрэв бид энэ тодорхойлогчийг эхний мөрийн элементүүдээр өргөжүүлбэл вектор бүтээгдэхүүний тодорхойлолтоос тэгшитгэлийг координатаар авна (шаардлагатай бол өгүүллийг үзнэ үү):

Загалмай бүтээгдэхүүний координатын хэлбэр нь энэ зүйлийн эхний догол мөрөнд өгсөн тодорхойлолттой бүрэн нийцэж байгааг тэмдэглэх нь зүйтэй. Үүнээс гадна хөндлөн бүтээгдэхүүний эдгээр хоёр тодорхойлолт нь тэнцүү юм. Энэ баримтын нотолгоог та өгүүллийн төгсгөлд байгаа номноос харж болно.

Вектор бүтээгдэхүүний шинж чанар.

Координат дахь хөндлөн бүтээгдэхүүнийг матрицын тодорхойлогч хэлбэрээр илэрхийлэх боломжтой тул дараахь зүйлийг үндэслэн дараахь зүйлийг хялбархан зөвтгөв. вектор бүтээгдэхүүний шинж чанар:

Жишээн дээр вектор бүтээгдэхүүний эсрэг коммутатив шинж чанарыг нотолж үзье.

Тодорхойлолтоор болон ... Хоёр мөрийг сольсон тохиолдолд матрицын тодорхойлогчийн утга өөрчлөгдөх болно гэдгийг бид мэднэ. , энэ нь вектор бүтээгдэхүүний коммутатив байдлын эсрэг шинж чанарыг нотолж байгаа юм.

Вектор бүтээгдэхүүн - жишээ ба шийдэл.

Үндсэндээ гурван төрлийн даалгавар байдаг.

Эхний төрлийн бодлогуудад хоёр векторын урт ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийг өгсөн бөгөөд вектор үржвэрийн уртыг олох шаардлагатай. Энэ тохиолдолд томъёог ашиглана .

Жишээ.

Векторуудын вектор үржвэрийн уртыг ол, хэрэв мэдэгдэж байвал .

Шийдвэр.

Векторын вектор үржвэрийн урт ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн синусын үржвэртэй тэнцүү болохыг бид тодорхойлолтоос мэдэж байна. .

Хариулт:

.

Хоёрдахь төрлийн асуудлууд нь векторуудын координаттай холбоотой бөгөөд тэдгээрт хөндлөн үржвэр, түүний урт буюу өөр векторуудын координатаар дамжуулан өөр зүйлийг хайж олох болно. болон .

Олон янзын хувилбарууд боломжтой. Жишээлбэл, векторуудын координатыг тодорхойлж болохгүй, харин тэдгээрийн координатын вектор дахь өргөтгөлийг тодорхойлно. ба, эсвэл векторууд ба тэдгээрийг эхлэх ба төгсгөлийн цэгийн координатаар тодорхойлж болно.

Ердийн жишээнүүдийг авч үзье.

Жишээ.

Хоёр векторыг тэгш өнцөгт координатын системд өгсөн болно ... Тэдний хөндлөн бүтээгдэхүүнийг олох.

Шийдвэр.

Хоёрдахь тодорхойлолтын дагуу координат дахь хоёр векторын хөндлөн үржвэрийг дараах байдлаар бичнэ.

Хэрэв хөндлөн бүтээгдэхүүнийг тодорхойлогчоор бичсэн бол бид ижил үр дүнд хүрэх болно

Хариулт:

.

Жишээ.

Векторуудын вектор үржвэрийн уртыг олж, тэгш өнцөгт декартын координатын системийн нэгж векторууд хаана байна.

Шийдвэр.

Нэгдүгээрт, бид вектор бүтээгдэхүүний координатыг олно өгөгдсөн тэгш өнцөгт координатын системд.

Векторууд ба координатуудтай тул (хэрэв шаардлагатай бол тэгш өнцөгт координатын систем дэх векторын өгүүллийн координатыг үзнэ үү) тул хөндлөн бүтээгдэхүүний хоёр дахь тодорхойлолтоор бид

Энэ бол хөндлөн бүтээгдэхүүн юм өгөгдсөн координатын систем дэх координатуудтай.

Бид вектор бүтээгдэхүүний уртыг түүний координатын квадратуудын нийлбэрийн квадрат язгуур гэж олдог (векторын уртыг олох хэсэгт векторын уртын энэ томъёог авсан болно):

Хариулт:

.

Жишээ.

Гурван цэгийн координатыг тэгш өнцөгт Декартын координатын системд өгсөн болно. Перпендикуляр ба нэгэн зэрэг векторыг ол.

Шийдвэр.

Векторууд ба координатуудтай ба тус тусдаа (цэгүүдийн координатаар векторын координатыг олох тухай өгүүллийг үзнэ үү). Хэрэв бид векторуудын вектор үржвэрийг олсон бол тодорхойлолтын дагуу энэ нь k ба k хоёуланд нь перпендикуляр вектор болно, өөрөөр хэлбэл энэ нь бидний асуудлын шийдэл болно. Түүнийг олъё

Хариулт:

- перпендикуляр векторуудын нэг.

Гурав дахь төрлийн асуудлуудад векторын үржвэрийн шинж чанарыг ашиглах ур чадварыг шалгасан болно. Шинж чанаруудыг хэрэглэсний дараа харгалзах томъёог хэрэглэнэ.

Жишээ.

Ба векторууд нь перпендикуляр бөгөөд тэдгээрийн урт нь 3 ба 4 байна. Загалмай бүтээгдэхүүний уртыг олох .

Шийдвэр.

Вектор бүтээгдэхүүний тархалтын шинж чанараар бид бичиж болно

Хосолсон шинж чанараас шалтгаалан бид сүүлийн илэрхийлэл дэх вектор бүтээгдэхүүний тэмдгийн гадна тоон коэффициентийг гаргана.

Вектор бүтээгдэхүүн ба тэгтэй тэнцүү байна болон , дараа нь.

Загалмай бүтээгдэхүүн нь харьцангуй бага байдаг тул.

Тиймээс, хөндлөн бүтээгдэхүүний шинж чанарыг ашиглан бид тэгш байдалд хүрсэн .

Нөхцөлөөр векторууд ба перпендикуляр, өөрөөр хэлбэл тэдгээрийн хоорондох өнцөг нь тэнцүү байна. Энэ нь шаардлагатай уртыг олохын тулд бидэнд бүх өгөгдөл байгаа гэсэн үг юм

Хариулт:

.

Вектор бүтээгдэхүүний геометр утга.

Тодорхойлолтын дагуу векторуудын вектор үржвэрийн урт нь ... Ахлах сургуулийн геометрийн дамжаанаас харахад гурвалжны талбай нь гурвалжны хоёр талын уртын хоорондох өнцгийн синусын үржвэрийн тал хувь болохыг бид мэднэ. Үүний үр дүнд вектор бүтээгдэхүүний урт нь нэг цэгээс тусгаарлагдсан бол вектор ба хажуу талуудтай гурвалжны талбайн хоёр дахин их байна. Өөрөөр хэлбэл, векторын вектор үржвэрийн урт ба хажуу талуудтай параллелограмм ба тэдгээрийн хоорондох өнцөг нь тэнцүү байна. Энэ бол вектор бүтээгдэхүүний геометр утга юм.

Вектор бүтээгдэхүүний талаархи ойлголтыг өгөхийн өмнө гурван хэмжээст орон зайд a →, b →, c → векторын эрэмбэлэгдсэн гурвалсан чиг баримжааны талаархи асуултыг авч үзье.

A →, b →, c → векторуудыг нэг цэгээс хойшлуулъя. Гурвалсан a →, b →, c → чиглэл нь в → векторын чиглэлээс хамааран баруун эсвэл зүүн байж болно. A → вектороос c → векторын төгсгөлөөс b → вектор хүртэлх хамгийн богино эргэлтийг хийх чиглэлээс гурвалсан a →, b →, c → хэлбэрийг тодорхойлно.

Хэрэв хамгийн богино эргэлт цагийн зүүний эсрэг байвал а →, b →, c → векторуудын гурвалсан байдлыг дуудна. зөвхэрэв цагийн зүүний дагуу бол - зүүн.

Дараа нь бид коллинеар биш хоёр векторыг авна → ба b →. Дараа нь A цэгээс A B → \u003d a → ба A C → \u003d b → векторуудыг хойшлуулъя. A B → ба A C → хоёуланд нь перпендикуляр нэгэн зэрэг A D → \u003d c → вектор байгуулъя. Тиймээс A D → \u003d c → векторыг бүтээхдээ бид нэг зүйлийг нэг чиглэлд эсвэл эсрэгээр нь хоёр зүйлийг хийж болно (зураг харна уу).

A →, b →, c → векторуудын захиалсан гурвалсан гурвал нь векторын чиглэлээс хамаарч бидний олж мэдсэнээр баруун эсвэл зүүн байж болно.

Дээрхээс харахад бид хөндлөн бүтээгдэхүүний тодорхойлолтыг танилцуулж болно. Энэ тодорхойлолтыг гурван хэмжээст орон зайн тэгш өнцөгт координатын системд тодорхойлсон хоёр векторын хувьд өгсөн болно.

Тодорхойлолт 1

A → ба b → гэсэн хоёр векторын векторын үржвэр бид гурван хэмжээст орон зайн тэгш өнцөгт координатын системд өгөгдсөн ийм векторыг дараахь байдлаар нэрлэнэ.

• хэрэв a → ба b → векторууд нь хоорондоо шулуун байвал тэг болно;
• энэ нь вектор a → ба в → вектор хоёуланд нь перпендикуляр байх болно. ∠ a → c → \u003d ∠ b → c → \u003d π 2;
• түүний уртыг томъёогоор тодорхойлно: c → \u003d a → b → sin ∠ a →, b →;
• a →, b →, c → векторуудын триплет нь өгөгдсөн координатын системтэй ижил чиглэлтэй байна.

A → ба b → векторуудын вектор үржвэр нь дараахь тэмдэглэгээтэй байна: a → × b →.

Бүтээгдэхүүний координат

Аливаа вектор нь координатын системд тодорхой координаттай байдаг тул та векторуудын өгөгдсөн координатаар түүний координатыг олох боломжийг олгох хөндлөн бүтээгдэхүүний хоёр дахь тодорхойлолтыг оруулж болно.

Тодорхойлолт 2

Гурван хэмжээст орон зайн тэгш өнцөгт координатын системд a векторын үржвэр a \u003d \u003d (a x; a y; a z) ба b → \u003d (b x; b y; b z) вектор гэж нэрлэдэг c → \u003d a → × b → \u003d (ay bz - az by) i → + (az bx - ax bz) j → + (ax by - ay bx) k →, i →, j →, k → нь координатын векторууд юм.

Вектор бүтээгдэхүүнийг гуравдахь эрэмбийн квадрат матрицын тодорхойлогч байдлаар төлөөлж болох бөгөөд эхний эгнээ нь нэгж векторуудын i →, j →, k → векторууд, хоёр дахь эгнээнд a → векторын координатууд, гуравдугаарт өгөгдсөн тэгш өнцөгт координатын систем дэх b → векторын координатууд, энэ матрицын тодорхойлогч ийм харагдаж байна: c → \u003d a → × b → \u003d i → j → k → axayazbxbybz

Эхний эгнээний элементүүд дээр энэ тодорхойлогчийг өргөжүүлснээр бид тэгш байдлыг олж авна: c → \u003d a → × b → \u003d i → j → k → axayazbxbybz \u003d ayazbybz i → - axazbxbz j → + axaybxby k → \u003d \u003d a → × b → \u003d (ay bz - az by) i → + (az bx - ax bz) j → + (ax by - ay bx) k →

Вектор бүтээгдэхүүний шинж чанар

Координат дахь вектор үржвэрийг c → \u003d a → × b → \u003d i → j → k → a x a y a z b x b y b z матрицын тодорхойлогч байдлаар төлөөлдөг болохыг мэддэг. матрицын тодорхойлогчийн шинж чанарууд дараахь вектор бүтээгдэхүүний шинж чанар:

1. эсрэг өөрчлөлт a → × b → \u003d - b → × a →;
2. хуваарилалт a (1) → + a (2) → × b \u003d a (1) → × b → + a (2) → × b → эсвэл a → × b (1) → + b (2) → \u003d a → × b (1) → + a → × b (2) →;
3. холболт ivity a → × b → \u003d λ a → × b → эсвэл a → × (λ b →) \u003d λ a → × b →, энд λ нь дурын бодит тоо юм.

Эдгээр шинж чанаруудыг батлахад хялбар байдаг.

Жишээлбэл, бид вектор бүтээгдэхүүний эсрэг коммутатив шинж чанарыг нотолж чадна.

Хөндлөнгийн эсрэг үйл ажиллагааны баталгаа

Тодорхойлолтын дагуу a → × b → \u003d i → j → k → a x a y a z b x b y b z ба b → × a → \u003d i → j → k → b x b y b z a x a y z. Хэрэв матрицын хоёр эгнээ өөрчлөгдсөн бол матрицын тодорхойлогчийн утга эсрэгээрээ өөрчлөгдөх ёстой тул a → × b → \u003d i → j → k → axayazbxbybz \u003d - i → j → k → bxbybzaxayaz \u003d - b → × a → ба вектор бүтээгдэхүүний эсрэг коммутатив чанарыг нотолж байна.

Вектор бүтээгдэхүүн - жишээ ба шийдэл

Ихэнх тохиолдолд гурван төрлийн даалгавар байдаг.

Эхний төрлийн бодлогуудад хоёр векторын урт ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийг ихэвчлэн өгдөг боловч та хөндлөн бүтээгдэхүүний уртыг олох хэрэгтэй. Энэ тохиолдолд дараахь томъёог ашиглана уу c → \u003d a → b → sin ∠ a →, b →.

Жишээ 1

Хэрэв та a → \u003d 3, b → \u003d 5, ∠ a →, b → \u003d π 4-ийг мэддэг бол a → ба b → векторуудын вектор үржвэрийн уртыг ол.

Шийдвэр

A → ба b → векторуудын вектор үржвэрийн уртын тодорхойлолтыг ашиглан бид энэ асуудлыг шийднэ: a → × b → \u003d a → b → sin ∠ a →, b → \u003d 3 5 sin π 4 \u003d 15 2 2.

Хариулт: 15 2 2 .

Хоёрдахь төрлийн асуудлууд нь векторуудын координат, тэдгээрийн хөндлөн бүтээгдэхүүн, түүний урт гэх мэт холболттой байдаг. өгөгдсөн векторуудын мэдэгдэж буй координатуудаар хайх болно a → \u003d (a x; a y; a z) болон b → \u003d (b x; b y; b z) .

Энэ төрлийн даалгаврын хувьд та даалгаврын олон сонголтыг шийдэж болно. Жишээлбэл, a → ба b → векторуудын координатыг тодорхойлж болохгүй, харин хэлбэрийн координат векторуудад тэдгээрийн өргөтгөлийг тодорхойлж болно. b → \u003d b x i → + b y j → + b z k → ба c → \u003d a → × b → \u003d (ay bz - az by) i → + (az bx - ax bz) j → + (ax by - ay bx) k →, эсвэл a → ба b → векторуудыг эхлэх ба төгсгөлийн цэгийн координатаар тодорхойлж болно.

Дараах жишээнүүдийг авч үзье.

Жишээ 2

A → \u003d (2; 1; - 3), b → \u003d (0; - 1; 1) гэсэн хоёр векторыг тэгш өнцөгт координатын системд өгсөн болно. Тэдний хөндлөн бүтээгдэхүүнийг олох.

Шийдвэр

Хоёрдахь тодорхойлолтын дагуу бид өгөгдсөн координат дахь хоёр векторын вектор үржвэрийг олно: a → × b → \u003d (ay bz - az by) i → + (az bx - ax bz) j → + (ax by - ay Bx) k → \u003d \u003d (1 1 - (- 3) (- 1)) i → + ((- 3) 0 - 2 1) j → + (2 (- 1)) - 1 0) k → \u003d \u003d - 2 i → - 2 j → - 2 k →.

Хэрэв бид вектор үржвэрийг матрицын тодорхойлогчоор бичвэл энэ жишээний шийдэл дараах байдалтай байна: a → × b → \u003d i → j → k → axayazbxbybz \u003d i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 \u003d - 2 i → - 2 j → - 2 k →.

Хариулт: a → × b → \u003d - 2 i → - 2 j → - 2 k →.

Жишээ 3

I → - j → ба i → + j → + k → векторуудын вектор үржвэрийн уртыг ол, i →, j →, k → нь тэгш өнцөгт декартын координатын системийн нэгж вектор юм.

Шийдвэр

Нэгдүгээрт, бид өгөгдсөн тэгш өнцөгт координатын системд өгөгдсөн i → - j → × i → + j → + k → вектор бүтээгдэхүүний координатыг олно.

I → - j → ба i → + j → + k → векторууд нь (1; - 1; 0) ба (1; 1; 1) тус тус координаттай болохыг мэддэг. Матрицын тодорхойлогчийг ашиглан вектор бүтээгдэхүүний уртыг олъё, тэгвэл i → - j → × i → + j → + k → \u003d i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 \u003d - i → - j → + 2 k → ...

Тиймээс вектор үржигдэхүүн i → - j → × i → + j → + k → өгөгдсөн координатын систем дэх координатуудтай (- 1; - 1; 2) байна.

Бид вектор бүтээгдэхүүний уртыг томъёогоор олно (векторын уртыг олох хэсгийг үзнэ үү): i → - j → × i → + j → + k → \u003d - 1 2 + - 1 2 + 2 2 \u003d 6.

Хариулт: i → - j → × i → + j → + k → \u003d 6. ...

Жишээ 4

Тэгш өнцөгт Декартын координатын системд A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2) гэсэн гурван цэгийн координатыг өгсөн болно. A B → ба A C → -т перпендикуляр хэдэн векторыг зэрэг ол.

Шийдвэр

A B → ба A C → векторууд дараахь координатуудтай байна (- 1; 2; 2) ба (0; 4; 1). A B → ба A C → векторуудын вектор үржвэрийг олсон нь A B → ба A C → хоёулангийнх нь тодорхойлолтын дагуу перпендикуляр вектор болох нь илэрхий бөгөөд энэ нь бидний асуудлын шийдэл юм. Үүнийг олъё A B → × A C → \u003d i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 \u003d - 6 i → + j → - 4 k →.

Хариулт: - 6 i → + j → - 4 k →. - перпендикуляр векторуудын нэг.

Гурав дахь төрлийн асуудлууд нь векторын вектор бүтээгдэхүүний шинж чанарыг ашиглахад чиглэгддэг. Үүнийг хэрэглэсний дараа бид тухайн асуудлын шийдлийг олж авах болно.

Жишээ 5

A → ба b → векторууд перпендикуляр бөгөөд урт нь тус тусдаа 3 ба 4 байна. 3 a → - b → × a → - 2 b → \u003d 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → \u003d \u003d 3 a → вектор үржүүлгийн уртыг ол. × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →.

Шийдвэр

Вектор бүтээгдэхүүний тархалтын шинж чанараар бид 3 a → - b → × a → - 2 b → \u003d 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → \u003d \u003d гэж бичиж болно. 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

Ассоциатив шинж чанараар бид тоон коэффициентийг сүүлчийн илэрхийлэл дэх вектор бүтээгдэхүүний тэмдгийн гадна талд шилжүүлнэ: 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → \u003d \u003d 3 a → × a → + 3 (- 2) a → × b → + (- 1) b → × a → + (- 1) (- 2) b → × b → \u003d \u003d 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

A → × a → ба b → × b → векторын бүтээгдэхүүн нь 0 байдаг, учир нь a → × a → \u003d a → a → sin 0 \u003d 0 ба b → × b → \u003d b → b → sin 0 \u003d 0, дараа нь 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b → \u003d - 6 a → × b → - b → × a →. ...

Векторын бүтээгдэхүүн нь үл хөдлөх чадвартай тул - 6 a → × b → - b → × a → \u003d - 6 a → × b → - (- 1) a → × b → \u003d - 5 a → × b →. ...

Вектор бүтээгдэхүүний шинж чанарыг ашиглан 3 a → - b → × a → - 2 b → \u003d \u003d - 5 a → × b → тэгшитгэлийг олж авна.

Таамаглалаар a → ба b → векторууд перпендикуляр, өөрөөр хэлбэл тэдгээрийн хоорондох өнцөг π 2 байна. Одоо олсон утгуудыг харгалзах томъёонд орлуулах л үлдлээ: 3 a → - b → × a → - 2 b → \u003d - 5 a → × b → \u003d \u003d 5 a → × b → \u003d 5 a → b → · sin (a →, b →) \u003d 5 · 3 · 4 · sin π 2 \u003d 60.

Хариулт: 3 a → - b → × a → - 2 b → \u003d 60.

Захирамжаар векторын үржвэрийн урт нь → × b → \u003d a → b → sin ∠ a →, b → -тэй тэнцүү байна. Гурвалжны талбай нь хоёр хажуугийн уртын үржвэрийн талтай тэнцүү болохыг эдгээр сургуулийн өнцгийн синусаар үржүүлсэн болохыг аль хэдийн мэддэг байсан тул (сургуулийн дамжаанаас). Үүний үр дүнд вектор бүтээгдэхүүний урт нь параллелограммын талбайтай тэнцүү байна - хоёр дахин нэмэгдсэн гурвалжин, тухайлбал a → ба b → вектор хэлбэртэй талуудын үржвэрийг нэг цэгээс хойшлуулаад син ∠ a →, b →.

Энэ бол вектор бүтээгдэхүүний геометр утга юм.

Вектор бүтээгдэхүүний физик утга

Физикийн салбаруудын нэг болох механикт вектор бүтээгдэхүүний үр дүнд орон зайн цэгтэй харьцуулсан хүчний моментийг тодорхойлж болно.

Тодорхойлолт 3

B цэг дээр А цэгийг харьцуулсан F → хүчний агшинд бид дараахь вектор бүтээгдэхүүнийг A B → × F → гэсэн үг.

Текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг сонгоод Ctrl + Enter дарна уу

Энэ хичээл дээр бид векторын өөр хоёр үйлдлийг авч үзэх болно. векторын векторын үржвэр болон векторын холимог бүтээгдэхүүн (шууд холбоорой, хэнд яг хэрэгтэй байна)... Зүгээрээ, заримдаа бүрэн аз жаргалын төлөө ийм зүйл тохиолддог векторуудын цэгийн бүтээгдэхүүн, энэ нь улам их шаарддаг. Энэ бол вектор донтолт юм. Бид аналитик геометрийн ширэнгэн ойд орж байгаа юм шиг сэтгэгдэл төрж магадгүй юм. Энэ нь худлаа. Дээд математикийн энэ хэсэгт ерөнхийдөө Буратинод хангалттай хэмжээний түлээ байдаггүй. Үнэн хэрэгтээ энэ материал нь маш нийтлэг бөгөөд энгийн байдаг скаляр бүтээгдэхүүн, ердийн даалгавар бага байх болно. Аналитик геометрийн гол зүйл бол олон хүн итгэх эсвэл аль хэдийн итгэсэн байх тул тооцоонд алдаа гаргахгүй байх явдал юм. Шид болгон давтаж хэлээрэй, тэгвэл та аз жаргалтай байх болно \u003d)

Хэрэв векторууд тэнгэрийн хаяанд очсон аянга шиг хаа нэгтээ гялалзаж байвал энэ нь хамаагүй, хичээлээс эхэл Даммитай холбоотой векторуудвекторуудын анхан шатны мэдлэгийг сэргээх эсвэл сэргээх. Илүү их бэлтгэгдсэн уншигчид мэдээлэлтэй сонгон танилцаж болох бөгөөд практик бүтээлүүдэд ихэвчлэн байдаг хамгийн бүрэн гүйцэд жишээг цуглуулахыг хичээв.

Яаж тэр даруй танд таалагдах вэ? Би жаахан байхдаа хоёр, бүр гурван бөмбөгөөр жонглёрлохыг мэддэг байсан. Энэ нь чадварлаг болсон. Одоо та бүхнийг жонглёрлох шаардлагагүй болно, яагаад гэвэл бид үүнийг авч үзэх болно зөвхөн орон зайн векторууд, хоёр координаттай хавтгай векторуудыг орхигдуулах болно. Яагаад? Эдгээр үйлдлүүд хэрхэн үүссэн нь вектор ба холимог векторыг тодорхойлж, гурван хэмжээст орон зайд ажилладаг. Энэ нь аль хэдийн хялбар болсон!

Энэ үйл ажиллагаа нь цэгэн бүтээгдэхүүнтэй адил аргаар хийгддэг хоёр вектор... Эдгээр нь дуусашгүй үсгүүд байг.

Үйлдэл өөрөө тэмдэглэсэн дараах байдлаар:. Өөр сонголтууд байдаг, гэхдээ би векторын вектор үржвэрийг квадрат хаалтанд дөрвөлжин хаалтанд ингэж тэмдэглэж хэвшсэн.

Тэр даруй асуулт: хэрэв орсон бол векторуудын цэгийн бүтээгдэхүүн хоёр вектор оролцож байгаа бөгөөд энд бас хоёр вектор үржигдэнэ ялгаа нь юу вэ? Мэдээжийн ялгаа нь юун түрүүнд ҮР ДҮНД байна:

Векторуудын цэгийн бүтээгдэхүүний үр дүн NUMBER байна:

Векторын вектор үржвэр нь ВЕКТОР үүсгэдэг:, өөрөөр хэлбэл бид векторуудыг үржүүлээд дахин вектор авна. Хаалттай клуб. Чухамдаа үйл ажиллагааны нэр. Боловсролын янз бүрийн уран зохиолын хувьд тэмдэглэгээ нь янз бүр байж болно, би үсгийг ашиглана.

Загалмай бүтээгдэхүүний тодорхойлолт

Эхлээд зурагтай тодорхойлолт, дараа нь тайлбар байх болно.

Тодорхойлолт: Вектор бүтээгдэхүүнээр шугаман бус векторууд, энэ дарааллаар авсан, VECTOR гэж нэрлэдэг, урт тоон утгаараа параллелограммтай тэнцүү байнаэдгээр векторууд дээр баригдсан; вектор векторууд руу ортогональ , бааз нь зөв чиг баримжаатай байхаар чиглүүлэгдсэн болно.

Бид тодорхойлолтыг ясаар шинжилж үздэг, олон сонирхолтой зүйл байдаг!

Тиймээс дараахь чухал зүйлийг онцлон тэмдэглэж болно.

1) Тодорхойлолтын дагуу улаан сумаар тэмдэглэсэн анхны векторууд коллинеар биш... Коллинар векторуудын хэргийг арай хожуу авч үзэх нь зөв байх.

2) Векторуудыг авна хатуу тогтоосон дарааллаар: – "А" -г "bh" -ээр үржүүлнэ, "bh" биш "a". Векторыг үржүүлэх үр дүн нь цэнхэр өнгөөр \u200b\u200bтэмдэглэгдсэн ВЕКТОР юм. Хэрэв векторуудыг урвуу дарааллаар үржүүлбэл бид урттай тэнцүү, эсрэг чиглэлтэй (час улаан өнгө) вектор авна. Энэ бол тэгш байдал үнэн юм .

3) Одоо вектор үржвэрийн геометрийн утгатай танилцъя. Энэ бол маш чухал цэг юм! Цэнхэр векторын (мөн тиймээс час улаан векторын) УРТЛАЛ нь векторууд дээр барьсан параллелограммын АГААР-тай тэнцүү байна. Зураг дээр энэ параллелограммыг хар өнгөөр \u200b\u200bсүүдэрлэжээ.

Тэмдэглэл : зураг нь бүдүүвчилсэн бөгөөд мэдээжийн хэрэг хөндлөн бүтээгдэхүүний нэрлэсэн урт нь параллелограммтай тэнцүү биш байна.

Бид геометрийн томъёоны нэгийг санаж байна. параллелограмын талбай нь тэдгээрийн хоорондох өнцгийн синусаар зэргэлдээ талуудын үржвэртэй тэнцүү байна... Тиймээс дээрх дээр үндэслэн вектор бүтээгдэхүүний Үргэлжлэх хугацааг тооцоолох томъёо хүчинтэй байна.

Томъёонд бид векторын тухай биш харин векторын УРТНЫ тухай ярьж байгааг онцлон тэмдэглэв. Хэрэгтэй зүйл юу вэ? Үүний утга нь аналитик геометрийн асуудлуудад параллелограммыг вектор бүтээгдэхүүний тухай ойлголтоор ихэвчлэн олдог гэсэн үг юм.

Хоёрдахь чухал томъёог авцгаая. Параллелограммын диагональ (улаан тасархай шугам) нь үүнийг хоёр тэнцүү гурвалжин болгон хуваадаг. Тиймээс векторууд дээр суурилсан гурвалжингийн талбайг (улаан сүүдэрлэх) дараахь томъёогоор олж болно.

4) Үүнтэй адил чухал баримт бол вектор нь векторуудад ортогональ байх явдал юм ... Мэдээжийн хэрэг эсрэг чиглэлтэй вектор (хүрэн улаан сум) нь анхны векторуудтай адил тэгш өнцөгт юм.

5) Вектор нь чиглэсэн байна суурь Энэ нь байна зөв чиг баримжаа. Тухай хичээл дээр шинэ үндэслэлд шилжих Би энэ талаар хангалттай дэлгэрэнгүй ярьсан онгоцны чиглэл, одоо бид орон зайн чиг баримжаа гэж юу болохыг олж мэдэх болно. Би таны хуруун дээр тайлбарлах болно баруун гар... Оюун санааны хувьд нэгтгэх долоовор хуруу вектортой ба дунд хуруу вектортой. Бөгжний хуруу ба ягаан алган дээр дар. Үр дүнд нь эрхий хуруу - загалмай бүтээгдэхүүн дээш харагдах болно. Энэ бол зөв чиглэсэн үндэс суурь юм (зураг дээр энэ нь байгаа юм). Одоо векторыг солих ( индекс ба дунд хуруу) Үүний үр дүнд зарим газарт эрхий хуруу нээгдэж, хөндлөн бүтээгдэхүүн аль хэдийн доошоо харагдах болно. Энэ нь бас зөв чиглэсэн үндэс суурь юм. Магадгүй танд асуулт байна уу: зүүн чиг баримжаа ямар үндэслэлтэй вэ? Ижил хуруунд "хуваарилах" зүүн гар векторуудыг байрлуулж, зайны зүүн үндэс, зүүн чиглэлийг авна (энэ тохиолдолд эрхий хуруу нь доод векторын чиглэлд байрлана)... Бодит байдлаар хэлбэл эдгээр сууриуд орон зайг янз бүрийн чиглэлд "мушгиж" эсвэл чиглүүлдэг. Энэ ойлголтыг холын эсвэл хийсвэр зүйл гэж үзэх ёсгүй - жишээлбэл, орон зайн чиг баримжаа нь хамгийн энгийн толин тусгалаар өөрчлөгдөж, хэрэв та "харагдсан шилнээс" туссан объектыг сугалж авбал "ерөнхийдөө үүнийг" эх "-тэй нэгтгэх боломжгүй болно. Дашрамд хэлэхэд гурван хуруугаа толинд авчраад тусгалаа шинжлээрэй ;-)

... одоо мэддэг болсон нь хичнээн сайхан бэ? баруун ба зүүн чиглэлтэй суурь, учир нь чиг баримжааны өөрчлөлтийн талаар зарим лекторуудын хэлсэн үг аймшигтай байна \u003d)

Коллинар векторын хөндлөн бүтээгдэхүүн

Тодорхойлолтыг нарийвчлан шинжилж үзсэн бөгөөд векторууд нь хоорондоо шулуун байх үед юу болохыг олж мэдэх болно. Хэрэв векторууд нь коллинеар байвал тэдгээрийг нэг шулуун шугам дээр байрлуулж болох бөгөөд бидний параллелограмм нь нэг шулуун шугамд "атираа" болно. Математикчдын хэлдгээр ийм газар нутаг доройтох параллелограмм тэг байна. Томъёоноос ижил зүйлийг авна - тэг эсвэл 180 градусын синус нь тэгтэй тэнцүү бөгөөд энэ нь талбай нь тэг гэсэн үг юм

Тиймээс, хэрэв тэгвэл болон ... Хөндлөн бүтээгдэхүүн нь өөрөө тэг вектортой тэнцүү боловч практик дээр үүнийг үл тоомсорлож, тэг гэж бичдэг болохыг анхаарна уу.

Онцгой тохиолдол бол векторын вектор бүтээгдэхүүн юм.

Загалмайн бүтээгдэхүүнийг ашиглан та гурван хэмжээст векторуудын харилцан хамаарлыг шалгаж болох бөгөөд бид бусад асуудлуудын дунд энэ асуудлыг шинжлэх болно.

Практик жишээг шийдэхийн тулд танд хэрэгтэй байж магадгүй юм тригонометрийн хүснэгтсинус утгыг олох.

За тэгээд гал асаая:

Жишээ 1

a) Хэрэв векторуудын вектор үржвэрийн уртыг ол

б) Хэрэв векторууд дээр барьсан параллелограммыг олох

Шийдвэр: Үгүй ээ, энэ бол үсгийн алдаа биш юм, би заалт дээрх анхны өгөгдлийг санаатайгаар ижил болгосон. Учир нь шийдлүүдийн дизайн өөр өөр байх болно!

a) Нөхцөл байдлын дагуу та олох хэрэгтэй урт вектор (вектор бүтээгдэхүүн). Холбогдох томъёоны дагуу:

Хариулт:

Асуулт нь уртын талаар байсан тул хариултанд бид хэмжээс - нэгжийг заана.

b) Нөхцөлөөр үүнийг олох шаардлагатай талбай векторууд дээр баригдсан параллелограмм. Энэхүү параллелограмын талбай нь вектор бүтээгдэхүүний урттай тэнцүү байна.

Хариулт:

Вектор бүтээгдэхүүний талаархи хариулт нь огт асуултгүй байгааг бид анхаарч үзээрэй зургийн талбайтус тус хэмжээ нь дөрвөлжин нэгж байна.

Нөхцөлөөр юу шаардагдахыг бид үргэлж харж, үүн дээр үндэслэн томъёолдог тодорхой хариулт Энэ нь шууд утгаараа юм шиг санагдаж болох ч багш нарын дунд үг үсэг бичигчид хангалттай байдаг бөгөөд магадлал өндөртэй даалгавар дахин хянагдах болно. Хэдийгээр энэ нь тийм ч хэцүү биш юм.Хэрэв хариулт нь буруу байвал тэр хүн энгийн зүйлийг ойлгодоггүй, эсвэл даалгаврын мөн чанарыг ойлгодоггүй юм шиг санагддаг. Энэ мөчийг үргэлж хяналтандаа байлгаж, дээд математикийн болон бусад хичээлийн аливаа асуудлыг шийдэж байх ёстой.

"En" гэсэн том үсэг хаашаа явсан бэ? Зарчмын хувьд үүнийг шийдэлд нэмж оруулж болох байсан, гэхдээ бичлэгийг богиносгохын тулд би тэгээгүй. Хүн бүхэн үүнийг ойлгож, ижил зүйлсийн тэмдэглэгээ болно гэж найдаж байна.

Өөрөө өөрөө хийх шийдлийн түгээмэл жишээ:

Жишээ 2

Хэрэв векторууд дээр барьсан гурвалжингийн талбайг ол

Гурвалжингийн талбайг хөндлөн үржвэрээр олох томъёог тодорхойлолтын тайлбар дээр өгсөн болно. Хичээлийн төгсгөлд шийдэл ба хариулт.

Практик дээр даалгавар нь үнэхээр нийтлэг байдаг, гурвалжин нь таныг ерөнхийдөө эрүүдэн шүүж чаддаг.

Бусад асуудлыг шийдвэрлэхийн тулд бид дараахь зүйлийг хийх хэрэгтэй.

Вектор бүтээгдэхүүний шинж чанар

Загалмай бүтээгдэхүүний зарим шинж чанарыг бид аль хэдийн авч үзсэн боловч эдгээр жагсаалтад оруулах болно.

Дурын вектор ба дурын тооны хувьд дараах шинж чанарууд хүчинтэй байна:

1) Бусад мэдээллийн эх сурвалжуудад энэ зүйлийг ихэвчлэн шинж чанаруудаар тодруулдаггүй боловч практик утгаараа энэ нь маш чухал юм. Тиймээс байг.

2) - үл хөдлөх хөрөнгийг дээр дурьдсан, заримдаа үүнийг нэрлэдэг эсрэг өөрчлөлт... Өөрөөр хэлбэл, векторуудын дараалал чухал юм.

3) - хослол эсвэл ассоциатив вектор бүтээгдэхүүний хууль. Тогтмол нь вектор бүтээгдэхүүний гадна талд үл үзэгдэх байдлаар устгагдана. Үнэндээ тэд тэнд юу хийх ёстой вэ?

4) - түгээх эсвэл түгээх вектор бүтээгдэхүүний хууль. Хаалт өргөтгөхөд ч асуудал гардаггүй.

Жагсаал болгон богино жишээг авч үзье.

Жишээ 3

Хэрэв хайвал

Шийдвэр: Нөхцөлийн дагуу хөндлөн бүтээгдэхүүний уртыг олох шаардлагатай болно. Өнгөц зураг бичье:

(1) Ассоциатив хуулиудын дагуу бид вектор үржвэрийн хуваагдлын гадна тогтмолыг шилжүүлдэг.

(2) Бид тогтмолыг модулаас гаргадаг бол модуль хасах тэмдгийг "иддэг". Урт нь сөрөг байж болохгүй.

(3) Үүний дараахь зүйл тодорхой байна.

Хариулт:

Гал дээр мод хийх цаг болжээ.

Жишээ 4

Хэрэв векторууд дээр барьсан гурвалжингийн талбайг тооцоолно уу

Шийдвэр: Гурвалжны талбайг томъёогоор олно ... Баригдах зүйл бол "tse" ба "de" векторууд өөрсдийгөө векторуудын нийлбэр хэлбэрээр төлөөлдөг. Энд алгоритм нь стандарт бөгөөд зарим талаараа хичээлийн 3, 4-р жишээг санагдуулдаг Векторуудын цэгэн бүтээгдэхүүн... Илүү тодорхой болгохын тулд шийдлийг гурван үе шатанд хуваая.

1) Эхний алхам дээр бид вектор бүтээгдэхүүнийг вектор бүтээгдэхүүний хувьд илэрхийлнэ. векторыг вектороор илэрхийлэх... Урт хугацааны талаар нэг ч үг алга!

(1) Векторын илэрхийлэлийг орлуулах.

(2) Тархацын хуулиудыг ашиглан олон гишүүнийг үржүүлэх дүрмийн дагуу хаалтыг өргөжүүлнэ.

(3) Ассоциатив хуулиудыг ашиглан векторын үржүүлгийн гадна бүх тогтмолыг шилжүүлдэг. Бага зэрэг туршлагатай бол 2 ба 3 үйлдлийг нэгэн зэрэг хийж болно.

(4) Тааламжтай шинж чанараас шалтгаалан эхний ба сүүлчийн нэр томъёо нь тэг (тэг вектор) -тай тэнцүү байна. Хоёр дахь улиралд бид вектор бүтээгдэхүүний коммутатив шинж чанарыг ашигладаг.

(5) Бид ижил төстэй нэр томъёог танилцуулж байна.

Үүний үр дүнд векторыг вектороор илэрхийлсэн бөгөөд үүнийг биелүүлэх шаардлагатай байсан зүйл бол:

2) Хоёрдахь алхам дээр бид шаардлагатай вектор бүтээгдэхүүний уртыг олно. Энэ үйлдэл нь жишээ 3-тэй төстэй юм:

3) Шаардлагатай гурвалжны талбайг ол.

2-3 үе шатыг нэг мөрөнд хийж дуусгах боломжтой.

Хариулт:

Харгалзан үзсэн асуудал нь туршилтын баримт бичигт нийтлэг байдаг тул бие даасан шийдлийн жишээг энд оруулав.

Жишээ 5

Хэрэв хайвал

Сургалтын төгсгөлд товч шийдэл ба хариулт. Өмнөх жишээнүүдийг судлахдаа хичнээн болгоомжтой байсныг харцгаая ;-)

Координат дахь векторуудын векторын үржвэр

orthonormal үндэслэлээр өгсөн, томъёогоор илэрхийлсэн:

Томъёо нь үнэхээр энгийн: тодорхойлогчийн дээд мөрөнд бид координатын векторуудыг, хоёр ба гурав дахь мөрөнд векторуудын координатыг "тавьж", хатуу дарааллаар - эхлээд "ve" векторын координат, дараа нь "double-ve" векторын координат. Хэрэв векторуудыг өөр дарааллаар үржүүлэх шаардлагатай бол мөрүүдийг солих хэрэгтэй.

Жишээ 10

Дараахь орон зайн векторууд шулуун шугаман байгаа эсэхийг шалгана уу.
ба)
б)

Шийдвэр: Шалгалтыг энэ хичээлийн нэг өгүүлбэр дээр үндэслэнэ: хэрэв векторууд нь хоорондоо шулуун байвал тэдгээрийн хөндлөн үржвэр нь тэг (вектор тэг) -тэй тэнцүү байна. .

a) Хөндлөн бүтээгдэхүүнийг олох:

Тиймээс векторууд нь коллинеар биш юм.

б) Хөндлөн бүтээгдэхүүнийг олох:

Хариулт: а) коллинеар биш, б)

Энд векторуудын вектор бүтээгдэхүүний талаархи бүх үндсэн мэдээлэл байж магадгүй юм.

Энэ хэсэг нь тийм ч том биш байх болно, учир нь векторын холимог бүтээгдэхүүнийг ашигладаг олон ажил байдаггүй. Үнэн хэрэгтээ бүх зүйл тодорхойлолт, геометрийн утга, ажлын хоёр томъёо дээр тулгуурлах болно.

Векторуудын холимог бүтээгдэхүүн нь гурван векторын үржвэр юм:

Тиймээс тэд жижиг галт тэргээр жагсаж, хүлээж байна, тэд гарахыг тэсэн ядан хүлээж байна.

Нэгдүгээрт, дахин тодорхойлолт ба зураг:

Тодорхойлолт: Холимог ажил давхар бус векторууд, энэ дарааллаар авсангэж нэрлэдэг параллелепипедийн эзэлхүүн, өгөгдсөн векторууд дээр үндэслэсэн, хэрэв зөв байвал "+" тэмдэг, хэрэв суурь үлдсэн бол "-" тэмдгээр хангана.

Зураг зурж дуусгая. Бидэнд үл үзэгдэх шугамыг тасархай шугамаар зурна.

Тодорхойлолт руу шумбах:

2) Векторуудыг авна тодорхой дарааллаар, өөрөөр хэлбэл бүтээгдэхүүн дэх векторуудын сэлгэлт нь таны таамаглаж байгаагаар үр дагаваргүйгээр өнгөрөхгүй.

3) Геометрийн утгын талаар тайлбар хийхээс өмнө би тодорхой баримтыг тэмдэглэх болно. векторын холимог бүтээгдэхүүн бол ДУГААР:. Боловсролын уран зохиолын хувьд дизайн нь арай өөр байж болох юм, би холимог бүтээл, тооцооллын үр дүнг "pe" үсгээр тэмдэглэхэд ашигладаг.

Тодорхойлолтоор холимог бүтээгдэхүүн нь параллелепипедийн эзэлхүүн юм, векторууд дээр баригдсан (дүрсийг улаан векторууд ба хар шугамуудаар зурсан). Энэ тоо нь энэ параллелепипедийн эзэлхүүнтэй тэнцүү байна.

Тэмдэглэл : зураг нь бүдүүвчилсэн байна.

4) Суурь ба орон зайн чиг баримжааны талаар шинээр санаа зовох хэрэггүй. Эцсийн хэсгийн утга нь эзлэхүүн дээр хасах тэмдэг нэмж болно гэсэн үг юм. Энгийн үгээр хэлбэл холимог бүтээл сөрөг байж болно:.

Векторууд дээр барьсан параллелепипедийн эзэлхүүнийг тооцоолох томъёо нь тодорхойлолтоос шууд гарч ирдэг.

7.1. Загалмай бүтээгдэхүүний тодорхойлолт

Заасан дарааллаар авсан гурван тэгш бус а, в, в векторууд нь зөв гурвалсан гурвалжин үүсгэдэг, хэрэв гуравдахь векторын төгсгөлөөс эхний вектороос хоёр дахь в вектор хүртэлх хамгийн богино эргэлт цагийн зүүний эсрэг, зүүн тийш цагийн зүүний дагуу харагдаж байвал (Зураг-ийг үзнэ үү). . арван зургаа).

Векторын векторын векторын үржвэр нь векторын вектор бөгөөд энэ нь:

1. a ба b векторуудад перпендикуляр, өөрөөр хэлбэл c ^ a ба c ^ б;

2. A ба векторуудад суурилуулсан параллелограммтай тэнцүү тоотой тэнцүү урттайбталуудын адил (17-р зургийг үз), өөрөөр хэлбэл.

3. a, b, c векторууд нь баруун талын гурвалсан гурвал үүсгэдэг.

Хөндлөн бүтээгдэхүүнийг x b эсвэл [a, b] гэж тэмдэглэнэ. Вектор бүтээгдэхүүний тодорхойлолт нь i векторуудын дараахь харилцааг шууд илэрхийлдэг. j болон к(18-р зургийг үз):

i x j \u003d k, j x k \u003d i, k x i \u003d j.
Жишээлбэл, үүнийг нотолж үзьеби хж \u003d к.

1) k ^ i, k ^ ж;

2) | k | \u003d 1, гэхдээ | би x j| \u003d | i | | J | нүгэл (90 °) \u003d 1;

3) i, j ба векторууд к баруун талын гурвалсан гурвалжин үүсгэх (Зураг 16-г үзнэ үү).

7.2. Вектор бүтээгдэхүүний шинж чанар

1. Хүчин зүйлийг дахин тохируулахдаа вектор бүтээгдэхүүний тэмдэг өөрчлөгдөнө; a хb \u003d (b хa) (Зураг 19-ийг үз).

A хb ба b ha векторууд нь хоорондоо шулуун шугамтай, ижил модулиудтай (параллелограммын талбай өөрчлөгдөөгүй хэвээр), харин эсрэг чиглэлүүд (эсрэг чиглэлтэй гурвалсан a, b, a хb ба a, b, b x a). Тэр бол xb = -(b xa).

2. Вектор бүтээгдэхүүн нь скаляр хүчин зүйлийн хувьд хосолсон шинж чанарыг эзэмшдэг, өөрөөр хэлбэл l (а хb) \u003d (l а) х b \u003d а х (l b).

L\u003e 0 байг. L (a xb) вектор нь a ба b векторуудад перпендикуляр байна. Вектор ( ла) х бмөн a ба векторуудад перпендикуляр байна б(векторууд а, лнэг хавтгайд хэвтэх). Тиймээс векторууд л(a xb) ба ( ла) х бколлинеар. Мэдээжийн хэрэг, тэдгээрийн чиглэлүүд давхцаж байна. Ижил урттай байна:

Тиймээс л(a хb) \u003d лxb. Энэ нь ижил төстэй байдлаар нотлогдсон болно л<0.

3. Тэг ба тэг гэсэн хоёр вектор бхэрэв тэдгээрийн хөндлөн үржвэр нь тэг вектортой тэнцүү байвал, өөрөөр хэлбэл a || b<=>a xb \u003d 0.

Тодруулбал, i * i \u003d j * j \u003d k * k \u003d 0.

4. Вектор бүтээгдэхүүн нь тархалтын шинж чанартай:

(a + b) xc \u003d a xc + б xc.

Бид үүнийг нотлох баримтгүйгээр хүлээн авах болно.

7.3. Координатын хувьд бүтээгдэхүүний илэрхийлэлийг хөндлөн харуулна

Бид векторын хөндлөн бүтээгдэхүүний хүснэгтийг ашиглах болно, jба k:

хэрэв эхний вектороос нөгөөд шилжих хамгийн богино замын чиглэл нь сумны чиглэлтэй давхцаж байвал бүтээгдэхүүн нь гуравдахь вектортой тэнцүү, хэрэв үгүй \u200b\u200bбол гуравдахь векторыг хасах тэмдгээр авна.

Хоёр вектор a \u003d a x i + a y байг j + a z кба b \u003d b x би + b y j + b z к ... Эдгээр векторуудын хөндлөн үржвэрийг олоод тэдгээрийг олон гишүүнт байдлаар (хөндлөн бүтээгдэхүүний шинж чанарын дагуу) үржүүл.

Үр дүнгийн томъёог илүү богино бичиж болно:

тэгш байдлын баруун гар тал (7.1) нь эхний эгнээний элементүүдийн хувьд гуравдугаар эрэмбийн тодорхойлогчийн тэлэлттэй тохирч байгаа тул тэгш байдал (7.2) -ийг санахад хялбар байдаг.

7.4. Векторын ажлын зарим програмууд

Коллинар векторуудыг бий болгох

Параллелограмм ба гурвалжны талбайг олох

Векторуудын вектор бүтээгдэхүүний тодорхойлолтын дагуу болонба b | a xb | \u003d | a | * | b | sin g, өөрөөр хэлбэл S хос \u003d | a x b |. Тиймээс D S \u003d 1/2 | a x b |.

Цэгтэй харьцуулсан хүчний моментийг тодорхойлох

А цэг дээр хүч үйлчлэхийг зөвшөөрье F \u003d ABүүнийг явуул ТУХАЙ- сансрын зарим цэг (Зураг 20-ийг үз).

Үүнийг физикээс мэддэг хүчний агшин F цэгээс харьцангуй ТУХАЙ векторыг нэрлэдэг М,цэгээс дамждаг ТУХАЙба:

1) цэгүүдээр дамжин өнгөрөх хавтгайд перпендикуляр O, A, B;

2) нэг мөрөнд ногдох хүчний бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байна

3) OA ба A B векторуудтай зөв гурвалсан гурвал үүсгэдэг.

Тиймээс M \u003d OA x F.

Эргэлтийн шугаман хурдыг олох

Хурд vөнцгийн хурдтай эргэдэг хатуу биетийн М цэг wтогтмол тэнхлэгийн эргэн тойронд Эйлерийн томъёогоор тодорхойлно v \u003d w хr, r \u003d ОМ, О бол тэнхлэгийн зарим тогтсон цэг (Зураг 21-ийг үзнэ үү).

ГУРВАН ЛЕКТОРЫН ХОЛБООТОЙ БҮТЭЭГДЭХҮҮН ба түүний өмч

Холимог ажил гурван векторыг тэнцүү тоо гэж нэрлэдэг. Тэмдэглэсэн ... Энд эхний хоёр векторыг вектороор үржүүлж, дараа нь үүссэн векторыг гуравдахь вектороор скаляраар үржүүлнэ. Мэдээжийн хэрэг, ийм бүтээгдэхүүн нь тодорхой тоо юм.

Холимог бүтээгдэхүүний шинж чанарыг анхаарч үзээрэй.

1. Геометрийн утга холимог ажил. Тэмдэг хүртэлх 3 векторын холимог бүтээгдэхүүн нь эдгээр векторууд дээр барьсан параллелепипедийн эзэлхүүнтэй тэнцүү байна. ...

   Тиймээс, мөн .

   

   Нотлох баримт... Нийтлэг гарал үүслээс векторуудыг хойш тавиад параллелепипед барь. Бид үүнийг тэмдэглэж, тэмдэглэж байна. Цэгэн бүтээгдэхүүний тодорхойлолтоор

   Үүнийг хүлээж аваад үүнийг тэмдэглэж байна ж параллелепипедийн өндөр, бид олж мэднэ.

   Тиймээс,

   Хэрэв тэгвэл. Улмаар,.

   Эдгээр тохиолдлыг хоёуланг нь хослуулан бид авах болно.

   Тодруулбал, энэ векторын гурвалсан зөв байвал энэ нь холимог бүтээгдэхүүн бөгөөд үлдсэн бол үлдсэн гэсэн үг гэдгийг энэ шинж чанарын нотолгооноос харж болно.

2. Аливаа векторын хувьд тэгш байдал

   Энэ үл хөдлөх хөрөнгийн нотолгоо нь үл хөдлөх хөрөнгөөс улбаатай 1. Үнэхээр үүнийг харуулахад хялбар байдаг. Үүнээс гадна "+" ба "-" тэмдгүүдийг нэгэн зэрэг авдаг ба ба векторуудын хоорондох өнцгүүд нь хурц ба мохоо байна.

3. Аливаа хоёр хүчин зүйлийг орлуулсны дараа холимог бүтээгдэхүүний тэмдэг өөрчлөгдөнө.

   Үнэхээр, хэрэв бид холимог бүтээлийг авч үзвэл, жишээлбэл, эсвэл

4. Холимог бүтээгдэхүүн, хэрэв хүчин зүйлсийн аль нэг нь тэгтэй тэнцүү эсвэл векторууд нь ижил төстэй байвал л болно.

   Нотлох баримт.

   Тиймээс 3 векторыг харилцан адилтгахад шаардлагатай бөгөөд хангалттай нөхцөл бол тэдгээрийн холимог бүтээгдэхүүний тэгтэй тэнцүү байх явдал юм. Нэмж дурдахад энэ нь хэрэв гурван вектор орон зайд үндэс суурь болно гэсэн үг юм.

   Хэрэв векторуудыг координатын хэлбэрээр өгсөн бол тэдгээрийн холимог бүтээгдэхүүнийг дараахь томъёогоор олж болохыг харуулж болно.

   .

   Тиймээс холимог бүтээгдэхүүн нь эхний мөрөнд эхний векторын координат, хоёр дахь мөрөнд хоёрдахь векторын координат, гуравдахь мөрөнд гуравдахь векторыг багтаасан гуравдугаар эрэмбийн тодорхойлогчтой тэнцүү байна.

   Жишээ.

ОРОН ЗАЙ дахь Аналитик Геометри

Тэгшитгэл F (x, y, z) \u003d 0 нь орон зайг тодорхойлдог Оксиз зарим гадаргуу, өөрөөр хэлбэл солбицол бүхий цэгүүдийн байршил x, y, z энэ тэгшитгэлийг хангах. Энэ тэгшитгэлийг гадаргуугийн тэгшитгэл гэж нэрлэдэг ба x, y, z - одоогийн координат.

Гэсэн хэдий ч ихэнхдээ гадаргууг тэгшитгэлээр тодорхойлдоггүй, харин нэг буюу өөр шинж чанартай орон зайн цэгүүдийн олонлог байдлаар тодорхойлогддог. Энэ тохиолдолд түүний геометрийн шинж чанарт үндэслэн гадаргуугийн тэгшитгэлийг олох шаардлагатай.

Онгоц.

Хэвийн онгоцны вектор.

ӨГӨГДСӨН ЦЭГЭЭР НУТАГ НУТГААР ӨНГӨРСӨН ТЕХНОЛОГИ

Орон зай дахь дурын an хавтгайг авч үзье. Түүний байрлалыг энэ хавтгайд перпендикуляр вектор ба тодорхой цэгийг зааж өгөх замаар тодорхойлно M 0(x 0, y 0, z 0) онгоцонд хэвтэж байна.

Σ хавтгайд перпендикуляр векторыг нэрлэдэг хэвийн энэ онгоцны вектор. Вектор нь координаттай байг.

Энэ цэгээр дамжин өнгөрөх plane хавтгайн тэгшитгэлийг гаргаж үзье M 0 хэвийн вектортой байх. Үүнийг хийхийн тулд σ хавтгай дээр дурын цэгийг ав M (x, y, z) векторыг авч үзье.

Аль ч цэг дээр МÎ σ нь вектор юм.Тиймээс тэдгээрийн скаляр үржвэр нь тэгтэй тэнцүү байна. Энэ тэгш байдал нь цэгийн нөхцөл юм МÎ σ. Энэ нь энэ онгоцны бүх цэгүүдэд хүчинтэй бөгөөд цэг нь болмогц зөрчигддөг М онгоцны гадна талд байх болно.

Хэрэв бид цэгийн радиус вектороор тэмдэглэвэл М, Цэгийн радиус вектор мөн үү? M 0, дараа нь тэгшитгэлийг хэлбэрээр бичиж болно

Энэ тэгшитгэлийг нэрлэдэг вектор онгоцны тэгшитгэл. Үүнийг координатын хэлбэрээр бичье. Түүнээс хойш

Тиймээс бид энэ цэгээр дамжин өнгөрөх онгоцны тэгшитгэлийг олж авлаа. Тиймээс хавтгай тэгшитгэлийг бүрдүүлэхийн тулд та хэвийн векторын координат ба хавтгай дээр хэвтэж байгаа зарим цэгийн координатыг мэдэх хэрэгтэй.

Хавтгайн тэгшитгэл нь одоогийн координатуудтай харьцуулсан 1-р зэргийн тэгшитгэл болохыг анхаарна уу x, y болон z.

Жишээ.

Онгоцны ерөнхий тэгшитгэл

Декартын координатын талаар эхний зэрэгтэй ямар ч тэгшитгэл байгааг харуулж болно x, y, z нь зарим хавтгайн тэгшитгэл юм. Энэ тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичсэн болно.

Ax + By + Cz + D=0

мөн дуудсан ерөнхий тэгшитгэл хавтгай ба координат A, B, C энд хавтгайн хэвийн векторын координатууд байна.

Ерөнхий тэгшитгэлийн тодорхой тохиолдлуудыг авч үзье. Тэгшитгэлийн нэг буюу хэд хэдэн коэффициент алга болвол хавтгай нь координатын системтэй харьцуулахад хэрхэн байрлаж байгааг олж мэдье.

А нь тэнхлэг дээрх хавтгайгаар таслагдсан шугамын урт юм Үхэр... Үүнтэй адилаар үүнийг харуулж болно б болон в - тэнхлэг дээр байгаа онгоцоор таслагдсан хэсгүүдийн урт Өө болон Оз.

Онгоц барихад хавтгай тэгшитгэлийг шугаман хэсгүүдэд ашиглах нь тохиромжтой байдаг.