Квадратичная скорость молекул. Универсальная газовая постоянная

Поставим перед собой задачу: пользуясь упрощенными представлениями о движении и взаимодействии газовых молекул, выразить давление газа через величины, характеризующие молекулу.

Рассмотрим газ, заключенный в сферическом объеме с радиусом и объемом Отвлекаясь от соударений газовых молекул, мы вправе принять следующую простую схему движения каждой молекулы.

Молекула движется прямолинейно и равномерно с некоторой скоростью ударяется о стенку сосуда и отскакивает от нее под углом, равным углу падения (рис. 83). Проходя все время хорды одинаковой длины молекула наносит стенке сосуда ударов за 1 с. При каждом ударе импульс молекулы меняется на (см. стр. 57). Изменение импульса за 1 с будет равно

Мы видим, что угол падения сократился. Если молекула падает на стенку под острым углом, то удары будут частые, но слабые; при падении под углом, близким к 90°, молекула будет наносить стенке удары реже, но зато сильнее.

Изменение импульса при каждом ударе молекулы о стенку дает свой вклад в общую силу давления газа. Можно принять в соответствии с основным законом механики, что сила давления есть не что

иное как изменение импульса всех молекул, происходящее за одну секунду: или, вынося постоянный член за скобки,

Пусть в газе содержится молекул, тогда можно ввести в рассмотрение средний квадрат скорости молекулы, который определяется формулой

Выражение для силы давления запишется теперь кратко:

Давление газа мы получим, разделив выражение силы на площадь сферы Получим

Заменяя на получим следующую интересную формулу:

Итак, давление газа пропорционально числу молекул газа и среднему значению кинетической энергии поступательного движения молекулы газа.

К важнейшему выводу мы приходим, сравнивая полученное уравнение с уравнением газового состояния. Сопоставление правых частей равенств показывает, что

т. е. средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул зависит только от абсолютной температуры и притом прямо пропорциональна ей.

Проделанный вывод показывает, что газы, подчиняющиеся закону газового состояния, являются идеальными в том смысле, что приближаются к идеальной модели собрания частиц, взаимодействие которых не существенно. Далее, этот вывод показывает, что введенное эмпирическим путем понятие абсолютной температуры как величины, пропорциональной давлению разреженного газа, имеет простой молекулярно-кинетический смысл. Абсолютная температура пропорциональна кинетической энергии поступательного движения молекул. есть число Авогадро - число молекул в одной грамм-молекуле, оно является универсальной постоянной: Обратная величина будет равна массе атома водорода:

Универсальной является также величина

Она называется постоянной Больцмана Тогда

Если представить квадрат скорости через сумму квадратов составляющих, очевидно, на любую составляющую придется в среднем энергия

Эту величину называют энергией, приходящейся на одну степень свободы.

Универсальная газовая постоянная хорошо известна из опытов с газами. Определение числа Авогадро или постоянной Больцмана (выражающихся друг через друга) является относительно сложной задачей, требующей проведения тонких измерений.

Проделанный вывод дает в наше распоряжение полезные формулы, позволяющие вычислять средние скорости молекул и число молекул в единице объема.

Так, для среднего квадрата скорости получим

Это несуществующая физическая модель газа, который состоит из большого числа молекул, размеры которых ничтожно малы по сравнению со средними расстояниями между ними. Молекулы такого газа можно считать материальными точками , это означает, что их вращательное и колебательное движения не принимаются во внимание. Движение молекул происходит без столкновений с другими молекулами, подчиняется законам Ньютона . Соударения молекул со стенками сосуда являются абсолютно упругими .

Параметры состояния газа

Давление, температура и объем - параметры состояния газа . Или их называют макропараметрами. Температура - внешняя характеристика скоростей частиц газа. Давление - внешняя характеристика соударений со стенками, например, сосуда. Объем - место, куда заключены частицы газа. Газ занимает весь предоставленный ему объем. Существуют еще внешние параметры, например тела или поля, действующие на газ из вне.

Микропараметры (маленькие, внутренние характеристики) газа - это параметры, которые мы не можем оценить без специальных экспериментов, например, скорость и направление движения каждой молекулы газа.

Состояние термодинамической системы, когда все ее параметры при неизменных внешних условиях не изменяются со временем, называют равновесным.

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории

Уравнение связывает микропараметры и макропараметры (давление, объем и температуру) идеального газа.

Рассмотрим идеальный газ, который находится в кубическом сосуде. Каждая молекула упруго сталкивается со стенкой сосуда, при этом изменятся ее импульс. Столкновение всех молекул со стенкой на макроуровне ощущается как давление газа на сосуд. В формулах будут присутствовать средние значения, потому что какая-то молекула движется быстрее, какая-то помедленнее, для того, чтобы оценить примерную скорость, будем брать средние значения.

Основное уравнение мкт имеет вид

Средний квадрат скорости молекул


Средняя квадратичная скорость v кв молекул это квадратный корень из среднего квадрата скорости

Средняя кинетическая энергия молекул

Можно вывести формулы

Температура

Это макропараметр, который характеризует способность тел к теплопередаче. Если два тела разной температуры контактируют, то произойдет переход энергии или передача теплоты от более горячего к холодному. Установится тепловое равновесие , все части будут одинаковой температуры.

Самые часто задаваемые вопросы

Возможно ли, изготовить печать на документе по предоставленному образцу? Ответ Да, возможно. Отправьте на наш электронный адрес скан-копию или фото хорошего качества, и мы изготовим необходимый дубликат.

Какие виды оплаты вы принимаете? Ответ Вы можете оплатить документ во время получения на руки у курьера, после того, как проверите правильность заполнения и качество исполнения диплома. Также это можно сделать в офисе почтовых компаний, предлагающих услуги наложенного платежа.
Все условия доставки и оплаты документов расписаны в разделе «Оплата и доставка». Также готовы выслушать Ваши предложения по условиям доставки и оплаты за документ.

Могу ли я быть уверена, что после оформления заказа вы не исчезнете с моими деньгами? Ответ В сфере изготовления дипломов у нас достаточно длительный опыт работы. У нас есть несколько сайтов, который постоянно обновляются. Наши специалисты работают в разных уголках страны, изготавливая свыше 10 документов день. За годы работы наши документы помогли многим людям решить проблемы трудоустройства или перейти на более высокооплачиваемую работу. Мы заработали доверие и признание среди клиентов, поэтому у нас совершенно нет причин поступать подобным образом. Тем более, что это просто невозможно сделать физически: Вы оплачиваете свой заказ в момент получения его на руки, предоплаты нет.

Могу я заказать диплом любого ВУЗа? Ответ В целом, да. Мы работаем в этой сфере почти 12 лет. За это время сформировалась практически полная база выдаваемых документов почти всех ВУЗов страны и за разные года выдачи. Все, что Вам нужно – выбрать ВУЗ, специальность, документ, и заполнить форму заказа.

Что делать при обнаружении в документе опечаток и ошибок? Ответ Получая документ у нашего курьера или в почтовой компании, мы рекомендуем тщательно проверить все детали. Если будет обнаружена опечатка, ошибка или неточность, Вы имеете право не забирать диплом, при этом нужно указать обнаруженные недочеты лично курьеру или в письменном виде, отправив письмо на электронную почту.
В кратчайшие сроки мы исправим документ и повторно отправим на указанный адрес. Разумеется, пересылка будет оплачена нашей компанией.
Чтобы избежать подобных недоразумений, перед тем, как заполнять оригинальный бланк, мы отправляем на почту заказчику макет будущего документа, для проверки и утверждения окончательного варианта. Перед отправкой документа курьером или почтой мы также делаем дополнительное фото и видео (в т. ч. в ультрафиолетовом свечении), чтобы Вы имели наглядное представление о том, что получите в итоге.

Что нужно сделать, чтобы заказать диплом в вашей компании? Ответ Для заказа документа (аттестата, диплома, академической справки и др.) необходимо заполнить онлайн-форму заказа на нашем сайте или сообщить свою электронную почту, чтобы мы выслали вам бланк анкеты, который нужно заполнить и отправить обратно нам.
Если вы не знаете, что указать в каком-либо поле формы заказа/анкеты, оставьте их незаполненными. Всю недостающую информацию мы потому уточним в телефонном режиме.

Последние отзывы

Виктор:

Очень доволен своим дипломом. Спасибо. Если бы Вы еще паспорта научились делать, это было бы идеально.

Карина:

Сегодня получила свой диплом. Спасибо за качественную работу. Все сроки тоже соблюдены. Обязательно буду рекомендовать Вас всем своим знакомым.

=

где = 0,001кг/моль – молярная масса водорода. Поэтому

=

2.4.2. Определить среднюю кинетическую энергию поступательного движения одной молекулы воздуха при нормальных условиях. Концентрация молекул при нормальных условиях n 0 = 2,7*10 25 м -3

Анализ и решение. Из основного уравнения молекулярно – кинетической теории газов

Дж

2.4.3. Найти среднюю кинетическую энергию вращательного движения одной молекулы кислорода при температуре Т = 350К, а так же кинетическую энергию вращательного движения всех молекул, содержащихся в m = 4г кислорода.

Анализ и решение.

Известно, что на каждую степень свободы молекулы газа приходится одинаковая средняя энергия, выражаемая формулой

=

где к – постоянная Больцмана, Т – абсолютная температура газа.

Так как вращательному движению двухатомной молекулы (молекула кислорода - двухатомная) приписываются две степени свободы, то средняя энергия вращательного движения молекулы кислорода выразится формулой

=

Учитывая, что к = 1,38*10 -23 Дж/К и Т = 350К, получим

=1,38*10 -23 * 350 Дж = 4,83*10 -21 Дж.

Кинетическая энергия вращательного движения всех молекул газа определяется равенством

w = N (1)

Число всех молекул газа можно вычислить по формуле

N = N A  (2)

где N A – число Авогадро,  - число киломолей газа.

Если учесть, что число киломолей

где m – масса газа, - масса одного киломоля газа, то формула (2) примет вид N = N A

Подставив это выражение для N в формулу (1) получим

w = N A (3)

Выразим величины, входящие в эту формулу, в единицах СИ, и подставим в формулу (3):

2.4.4. Вычислить удельные теплоемкости при постоянном объеме С V и при постоянном давлении неона и водорода, принимая эти газы за идеальные.

Анализ и решение.

Удельные теплоемкости идеальных газов выражаются формулами:

С V = (1)

С р =
(2)

где і – число степеней свободы молекулы газа, - молярная масса.

Для неона (одноатомный газ) і = 3 и = 20*10 -3 кг/моль.

Вычисляя по формулам (1) и (2), получим: С V =
Дж/кг*к

С р =
Дж/кг*к

Для водорода (двухатомный газ) і = 3 и = 2*10 -3 кг/моль. Вычисляя по тем же формулам, получим:

С V =
Дж/кг*к

С р =
Дж/кг*к

2.4.5. Найти среднюю квадратичную скорость, среднюю кинетическую энергию поступательного движения и среднюю полную кинетическую энергию молекул гелия и азота при температуре t = 27 0 С. Определить полную энергию всех молекул 100 г каждого из газов.

Анализ и решение.

Средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы любого газа однозначно определяется его термодинамической температурой:

= (1)

где к = 1,38*10 -23 Дж/К – постоянная Больцмана.

Однако средняя квадратичная скорость молекул газа зависит от массы его молекул:

(2)

где m 0 – масса одной молекулы.

Средняя полная энергия молекулы зависит не только от температуры, но и от структуры молекул – от числа i степеней свободы: = ikT/2

Полная кинетическая энергия всех молекул, равная для идеального газа его внутренней энергии, может быть найдена, как произведение на число всех молекул:

Очевидно, N = N А m/ (5)

где m – масса всего газа, отношении m/ определяет число молей, а N А – постоянная Авогадро. Выражение (4) с учетом уравнения Клапейрона – Менделеева позволит рассчитать полную энергию всех молекул газа.

Согласно равенству (1) < W о п > = 6,2*10 -21 Дж, причем средняя энергия поступательного движения одной молекулы и гелия и азота одинаковы.

Среднюю квадратичную скорость находим по формуле

, где R = 8,31Дж/к моль

Для гелия V кв = 13,7*10 2 м/с

Для азота V кв = 5,17*10 2 м/с

Гелий одноатомный газ, следовательно, i = 3, тогда < W о п > = W о = 6,2*10 -21 Дж.

Азот – двухатомный газ, следовательно, i = 5 и < W о п > = 5/2 кТ = 10,4*10 -21 Дж.

Полная энергия всех молекул после подстановки выражений (3) и (5) в (4) имеет вид

W = кТ
=

Для гелия W = 93,5 кДж, для азота W = 22,3 кДж.

Примеры решения задач. 1.3.1. Средняя квадратичная скорость молекул некоторого газа 450 м/с

1.3.1. Средняя квадратичная скорость молекул некоторого газа 450 м/с. Давление газа 50 кПа. Найти плотность газа при этих условиях.

Решение. Средняя квадратичная скорость молекул газа связана с его температурой соотношением

где R – универсальная газовая постоянная;

m – молекулярная масса газа;

T – абсолютная температура газа.

Для определения температуры газа воспользуемся уравнением Менделеева-Клапейрона

где r=m/V – плотность газа.

Следовательно

.

Подставляя численные значения имеем

1.3.2. Найти среднюю длину свободного пробега молекул воздуха при нормальных условиях. Эффективный диаметр молекул воздуха s=0,3 нм.

Решение. Средняя длина свободного пробега молекул газа

,

где – средняя арифметическая скорость молекул;

– среднее число столкновений каждой молекулы с остальными молекулами в единицу времени;

s – эффективный диаметр молекулы;

n – число молекул в единице объема (концентрация молекул). Для определения числа молекул в единице объема воспользуемся основным уравнением молекулярно-кинетической теории для давления

где k – постоянная Больцмана;

Т – температура газа.

Тогда для средней длины свободногопробегаимеем

.

Подставляячисленные значения, окончательно получаем:

м.

1.3.3. Найти среднее число столкновений в единицу времени молекул углекислого газа при температуре 100 o С, если средняя длина свободного пробега =870 мкм.

Решение. Число столкновений молекул газа в единицу времени связаносо средней длиной свободного пробега соотношением

,

где – средняя арифметическая скорость.

Следовательно,

Подставляячисленные значения имеем

1.3.4. При некотором давлении и температуре 0 o С средняя длина свободного пробега молекул кислорода 95 нм. Найти среднее число столкновений в единицу времени молекул кислорода, если давление кислорода уменьшить в 100 раз.

Решение. Среднее число столкновений в единицу времени

,

где =(8RT/pm) 1/2 – средняя арифметическая скорость молекул газа;

– средняя длина свободного пробега молекул.

При изменении давления газа длины свободного пробега обратно пропорциональныдавлению:

,

где l 1 , l 2 – длина свободного пробега молекул газа при соответствующих давлениях p 1 и p 2 .

В нашем случае:

Подставляя численные значения для , имеем

1.3.5. Какая часть молекул кислорода при t=0 o С обладает скоростями от 100 до 110 м/с?

Решение. Распределение молекул по скоростям можно определить из закона Максвелла

,

где u=v/v в – относительная скорость;

v – данная скорость;

v в =(2RT/m) 1/2 – наиболее вероятная скорость молекул;

Du – интервал относительных скоростей, малый по сравнению со скоростью u.

Тогда искомая часть молекул, которую необходимо определить (распределение молекул по скоростям)

В нашем случае v=100 м/с; v=10 м/с; Наиболее вероятная скорость v=(2RT/pm) 1/2 =376 м/с. Следовательно, u=v/v в =100/376, u 2 =0,071; Du=10/376; exp(-u 2)=0,93.

Таким образом, число молекул кислорода, скорости которых лежат в указанном интервале, равно 4%общего числа молекул.

1.3.6. Сосуд, содержащий газ, движется со скоростью v o , затем быстро останавливается. На сколько увеличится при этом средний квадрат скорости теплового движения молекул газа в случаях: одноатомного газа? Двухатомного газа? Газ считать идеальным.

Решение. Воспользуемся законом сохранения энергии. Пусть M-масса газа в сосуде. Двигаясь со скоростью v газ, как целое, обладает кинетической энергией

W к =Mv o 2 /2.

Эта формула определяет кинетическую энергию направленного движения молекул, в котором ониучаствуют вместе с сосудом. После остановки сосуда направленное движение молекул в результате их соударений со стенками сосуда очень скоропревратится в хаотическое.

Пренебрегая теплообменом между газом и стенкамисосуда за рассматриваемый промежуток времени, можно газ считать изолированной системой. Тогда из закона сохранения энергии следует, что "исчезнувшая" кинетическая энергия направленного движения молекул W должна быть равна приросту энергии хаотического движения молекул (приросту внутренней энергии DU:

Определим внутреннюю энергию газа. Для идеального одноатомного газа это есть энергия поступательного хаотического движения молекул:

где m – масса молекулы;

N – число молекул в сосуде.

Отсюда следует, что изменение внутренней энергии одноатомного газа при торможении

DU=U 2 –U 1 =M/2,

где v кв1 ,v кв2 – средние квадратичные скорости молекул газа соответственно в начале и конце торможения.

Подставив в уравнение W к =DU значения W к и DU, получим первый ответ

v 2 кв2 -v 2 кв1 =v 2 o .

Внутренняя энергия идеального двухатомного газа складывается из энергий поступательного и вращательного движения молекул. При этом три степени свободы приходятся на поступательное движение и две - на вращательное. В соответствии сзакономо равномерном распределении энергии по степенямсвободы, три пятых кинетической энергии W пойдет на увеличениеэнергии поступательного движения молекул и две пятых - на увеличение энергии их вращательного движения. Таким образом, теперь имеем

Откуда получим второй ответ:

1.3.7. Какая часть молекул водорода, находящегося при температуре T, обладает скоростями, отличающимися от наиболее вероятной скорости не свыше чем на 5,0 м/с? Задачу решить для двух значений T: 1) 400 К, 2) 900 К.

Решение. Распределение молекул по скоростям выражается законом Максвелла: число молекул DN, относительные скорости которых лежат в интервале от u до u+Du:

где N-полное число молекул газа;

– функция распределения Максвелла;

u=v/v в – относительная скорость;

v – данная скорость;

v в – наиболее вероятная скорость.

Закон распределения Максвелла оказывается справедливым при условии Du

.

Отсюда найдем ту часть молекул, относительные скорости которых лежат в интервале Du:

Прежде чем производить расчеты, необходимо убедиться в том, что выполняется условие Du

Чтобы вычислить Du, найдем сначала наиболее вероятную скорость при Т=400 К и Т=900 К по формуле:

v в1 =2×8,31×400/0,002=1,82×10 3 м/с,



v в2 =2×8,31×900/0,002=2,73×10 3 м/с.

Подставляя эти значения v в и имея в виду, что Dv=10 м/с, поскольку в задаче идетречь о скоростях, лежащих в интервале от v в =-5,0 м/с до v в =+5,0 м/с, получим:

Du 1 =1/182, Du 2 =1/273.

Так как u=1, видим, что условие Du

Теперь найдем

DN 1 /N=4/((3,14) 1/2 ×2,7×182)=0,0046,

DN 2 /N=4/((3,14) 1/2 ×2,7×273)=0,0030.

Таким образом, приувеличении температуры наиболее вероятная скорость молекул увеличивается,а числомолекул, скорости которых лежат в одном и том же интервале около наиболее вероятной, уменьшается.